{"id":28805,"date":"2021-03-30T13:00:34","date_gmt":"2021-03-30T13:00:34","guid":{"rendered":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/?p=28805"},"modified":"2024-09-22T02:03:58","modified_gmt":"2024-09-22T02:03:58","slug":"factorizacion-del-polinomio-cuadratico-y-2n-cuadratico","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/toposuranos.com\/material\/es\/factorizacion-del-polinomio-cuadratico-y-2n-cuadratico\/","title":{"rendered":"Factorizaci\u00f3n del Polinomio Cuadr\u00e1tico y 2n-Cuadr\u00e1tico"},"content":{"rendered":"<p><center><\/p>\n<h1>Factorizaci\u00f3n del Polinomio Cuadr\u00e1tico y 2n-Cuadr\u00e1tico<\/h1>\n<p><em><strong>Resumen:<\/strong><br \/>\n   En esta clase revisaremos en detalle el proceso de factorizaci\u00f3n de polinomios cuadr\u00e1ticos <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">P(x) = ax^2 + bx + c<\/span> y polinomios <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(2n)<\/span>-cuadr\u00e1ticos <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">P(x) = ax^{2n} + bx^n + c<\/span>, descomponi\u00e9ndolos en factores simples. Se desarrollar\u00e1n matem\u00e1ticamente los procedimientos y se mostrar\u00e1n ejemplos pr\u00e1cticos.<\/em><\/p>\n<p>   <strong>Objetivos de aprendizaje<\/strong><\/p>\n<ol style=\"text-align: left;\">\n<li><strong>Aprender<\/strong> a factorizar polinomios cuadr\u00e1ticos de la forma <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">P(x) = ax^2 + bx + c<\/span>.<\/li>\n<li><strong>Derivar<\/strong> y utilizar la f\u00f3rmula cuadr\u00e1tica <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x = \\displaystyle \\frac{-b \\pm \\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}<\/span> para encontrar las ra\u00edces.<\/li>\n<li><strong>Aplicar<\/strong> t\u00e9cnicas de factorizaci\u00f3n a polinomios (2n)-cuadr\u00e1ticos de la forma <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">P(x) = ax^{2n} + bx^n + c<\/span>.<\/li>\n<li><strong>Reconocer<\/strong> las condiciones necesarias para la factorizaci\u00f3n de polinomios de tipo cuadr\u00e1ticos.<\/li>\n<li><strong>Utilizar<\/strong> el m\u00e9todo de completar el cuadrado en el proceso de factorizaci\u00f3n.<\/li>\n<\/li>\n<\/ol>\n<p>   <strong>\u00cdNDICE DE CONTENIDOS:<\/strong><br \/>\n   <a href=\"#1\">Introducci\u00f3n<\/a><br \/>\n   <a href=\"#2\">Polinomio Cuadr\u00e1tico y Polinomio (2n)-cuadr\u00e1tico<\/a><br \/>\n   <a href=\"#3\">Factorizaci\u00f3n del polinomio cuadr\u00e1tico<\/a><br \/>\n   <a href=\"#4\">Expansi\u00f3n a la factorizaci\u00f3n del polinomio bi-cuadr\u00e1tico<\/a><br \/>\n   <a href=\"#5\">Ejercicios de ejemplo<\/a>\n   <\/p>\n<p>   <\/center><\/p>\n<p>   <center><br \/>\n   <iframe class=\"lazyload\" width=\"560\" height=\"315\" data-src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/ddTfUR7QBfY\" title=\"YouTube video player\" frameborder=\"0\" allow=\"accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture\" allowfullscreen=\"allowfullscreen\"><\/iframe><\/center><br \/>\n   <a name=\"1\"><\/a><\/p>\n<h2>Introducci\u00f3n<\/h2>\n<p style=\"text-align: justify;\">Aprender a factorizar el polinomio cuadr\u00e1tico es el paso inicial para comenzar a estudiar muchas otras t\u00e9cnicas de factorizaci\u00f3n. Es por esto por lo que revisaremos en profundidad esta t\u00e9cnica y expandiremos su uso tal lejos como se pueda. Al terminar habr\u00e1s aprendido no solo a factorizar el polinomio cuadr\u00e1tico (de grado 2) sino que adem\u00e1s utilizar\u00e1s estas mismas t\u00e9cnicas para factorizar cualquier polinomio (2n)-cuadr\u00e1tico.<\/p>\n<p>   <a name=\"2\"><\/a><\/p>\n<h2>Polinomio Cuadr\u00e1tico y Polinomio (2n)-cuadr\u00e1tico<\/h2>\n<p style=\"text-align: justify;\"><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=ddTfUR7QBfY&amp;t=96s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong>Un polinomio cuadr\u00e1tico es el polinomio de grado dos.<\/strong><\/a> A partir de esto tenemos que un polinomio cuadr\u00e1tico es cualquier funci\u00f3n de la forma<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">P(x) = ax^{2}+bx +c <\/span>\n<p style=\"text-align: justify;\">con <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a,b,c\\in\\mathbb{R}<\/span> y <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a\\neq 0<\/span>. Nuestro estudio, sin embargo, no se centrar\u00e1 s\u00f3lo en factorizar los polinomios de esta forma, sino que apuntaremos a una forma generalizada del cual el cuadr\u00e1tico es s\u00f3lo un caso particular. Hablamos del polinomio (2n)-cuadr\u00e1tico. Esta generalizaci\u00f3n engloba a todos los polinomios que se pueden escribir de la forma<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">P(x) = ax^{2n}+bx^n +c <\/span>\n<p style=\"text-align: justify;\">donde adem\u00e1s de asumir <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a,b,c\\in\\mathbb{R}<\/span> y <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a\\neq 0<\/span>, se toma un <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">n\\in\\mathbb{N}<\/span> cualquiera. Ejemplos de este tipo de polinomio ser\u00edan:<\/p>\n<ul style=\"text-align: justify;\">\n<li><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">P(x) = 3x^2 -x + 1<\/span><\/li>\n<li><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">Q(x) = 7x^4 +5x^2 + 3<\/span><\/li>\n<li><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">R(x) = -4x^6 +12x^3 + 2<\/span><\/li>\n<li><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">S(x) = 21x^8 -75 x^4 -9<\/span><\/li>\n<\/ul>\n<p style=\"text-align: justify;\">y as\u00ed en general.<\/p>\n<p>   <a name=\"3\"><\/a><\/p>\n<h2>Factorizaci\u00f3n del polinomio cuadr\u00e1tico<\/h2>\n<p style=\"text-align: justify;\"><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=ddTfUR7QBfY&amp;t=193s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong>Como ya hemos visto, un polinomio de grado 2 tiene la forma general<\/strong><\/a><\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">P(x) = ax^{2}+bx +c \\;\\; , \\;\\; a\\neq 0 <\/span>\n<p style=\"text-align: justify;\">La factorizaci\u00f3n es el proceso que separa un polinomio complejo en el producto de dos polinomios m\u00e1s sencillos. Por esto, si es posible factorizar, entonces existen constantes <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\alpha,\\beta,\\gamma,\\delta \\in\\mathbb{R}<\/span>, con <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\alpha, \\gamma \\neq 0<\/span> tales que:<\/p>\n<table style=\"text-align: justify;\">\n<tbody>\n<tr>\n<td style=\"text-align: right;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">P(x) = ax^2 + bx + c <\/span><\/td>\n<td style=\"text-align: left;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">= (\\alpha x + \\beta)(\\gamma x + \\delta) <\/span><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td><\/td>\n<td style=\"text-align: left;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">= \\alpha \\gamma \\left(x +\\displaystyle \\frac{\\beta}{\\alpha}\\right)\\left(x + \\frac{\\delta}{\\gamma}\\right) <\/span><\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p style=\"text-align: justify;\">Como tenemos una igualdad entre lo de la izquierda y lo de la derecha, entonces tendremos que cuando se anula un lado el otro por necesidad tambi\u00e9n se anular\u00e1. Resulta que el lado derecho se anula cuando <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x=-\\beta\/\\alpha<\/span> o cuando <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x=-\\delta\/\\gamma<\/span>. Veamos ahora para qu\u00e9 valores se anula el lado izquierdo de \u00e9sta igualdad. Tendremos que<\/p>\n<table style=\"text-align: justify;\">\n<tbody>\n<tr>\n<td style=\"text-align: right;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">ax^2 + bx + c<\/span><\/td>\n<td style=\"text-align: left;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> = 0<\/span><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"text-align: right;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">ax^2 + bx <\/span><\/td>\n<td style=\"text-align: left;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> = -c<\/span><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"text-align: right;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x^2 + \\displaystyle \\frac{b}{a}x <\/span><\/td>\n<td style=\"text-align: left;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> = - \\displaystyle \\frac{c}{a}<\/span><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"text-align: right; background-color: #ffc0c0;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x^2 + \\displaystyle \\frac{b}{a}x + \\frac{b^2}{4a^2}<\/span><\/td>\n<td style=\"text-align: left; background-color: #ffc0c0;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> =\\displaystyle \\frac{b^2}{4a^2} -\\frac{c}{a} = \\frac{ab^2 - 4a^2 c}{4a^3} = \\frac{b^2 - 4ac }{4a^2}<\/span><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"text-align: right;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\left(x + \\displaystyle \\frac{b}{2a}\\right)^2<\/span><\/td>\n<td style=\"text-align: left;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> = \\displaystyle \\frac{b^2 - 4ac }{4a^2} <\/span><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"text-align: right;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> x + \\displaystyle \\frac{b}{2a} <\/span><\/td>\n<td style=\"text-align: left;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> = \\pm \\sqrt{\\displaystyle \\frac{b^2 - 4ac }{4a^2}} = \\frac{\\pm\\sqrt{b^2 - 4ac }}{2a} <\/span><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"text-align: right; background-color: #a0ffa0;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> x <\/span><\/td>\n<td style=\"text-align: left; background-color: #a0ffa0;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> = \\displaystyle \\frac{-b \\pm\\sqrt{b^2 - 4ac }}{2a} <\/span> \u2705<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p style=\"text-align: justify;\">A partir de este razonamiento, tendremos que las constantes en letras griegas de la factorizaci\u00f3n deber\u00e1n satisfacer (sin p\u00e9rdida de generalidad) las siguientes condiciones:<\/p>\n<ul style=\"text-align: justify;\">\n<li><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\alpha\\gamma = a<\/span><\/li>\n<li><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\frac{\\beta}{\\alpha} = - \\left(\\frac{-b + \\sqrt{b^2 - 4ac }}{2a} \\right)<\/span><\/li>\n<li><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\frac{\\delta}{\\gamma} = - \\left(\\frac{-b - \\sqrt{b^2 - 4ac }}{2a} \\right)<\/span><\/li>\n<\/ul>\n<p style=\"text-align: justify;\">Y con esto ya tenemos una t\u00e9cnica que nos permitir\u00e1 factorizar cualquier polinomio de grado 2, y si tal no se puede factorizar, entonces te avisar\u00e1 a trav\u00e9s del n\u00famero dentro de la ra\u00edz: si tal n\u00famero es negativo, entonces no se podr\u00e1 factorizar (con n\u00fameros reales). Todo esto lo podemos simplificar introduciendo el convenio de notaci\u00f3n:<\/p>\n<ul style=\"text-align: justify;\">\n<li><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x_1 =\\displaystyle \\frac{-b + \\sqrt{b^2 - 4ac }}{2a} <\/span><\/li>\n<li><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x_2 =\\displaystyle \\frac{-b - \\sqrt{b^2 - 4ac }}{2a} <\/span><\/li>\n<\/ul>\n<p style=\"text-align: justify;\">Que a su vez se resume en la vieja y confiable<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\color{blue}{x_{1,2} = \\displaystyle \\frac{-b \\pm \\sqrt{b^2 - 4ac }}{2a}}<\/span> \u2705<\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">De modo que la factorizaci\u00f3n finalmente nos quedar\u00e1 de la forma<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\color{blue}{P(x) = ax^2 +bx + c = a(x-x_1)(x - x_2)}<\/span>\u2705<\/p>\n<p>   <a name=\"4\"><\/a><\/p>\n<h2>Expansi\u00f3n a la factorizaci\u00f3n del polinomio bi-cuadr\u00e1tico<\/h2>\n<p style=\"text-align: justify;\"><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=ddTfUR7QBfY&amp;t=997s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong>Esta t\u00e9cnica se puede utilizar tambi\u00e9n para factorizar el polinomio bi-cuadr\u00e1tico<\/strong><\/a> de la siguiente manera:<\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">Q(x) = ax^4 + bx^2 + c = a(x^2)^2 + bx^2 + c =a (x^2 - x_1^2)(x^2-x_2^2) <\/span>\n<p style=\"text-align: justify;\">Donde <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> x^2_{1,2} = \\displaystyle \\dfrac{-b \\pm \\sqrt{b^2 - 4ac }}{2a}<\/span>. De este modo, ahora podr\u00e1s escribir<\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">Q(x) = ax^4 + bx^2 + c = a\\left(x^2 - \\displaystyle \\dfrac{-b + \\sqrt{b^2 - 4ac }}{2a}\\right) \\left(x^2- \\dfrac{-b - \\sqrt{b^2 - 4ac }}{2a}\\right) <\/span>\n<p style=\"text-align: justify;\">En este punto debes tener cuidado, ya que lo que viene a continuaci\u00f3n tiene sus restricciones. Si <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x_1^2<\/span> no un n\u00famero positivo, entonces podr\u00e1s usar suma por diferencia para separar <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(x^2 - x_1^2) = (x-x_1)(x + x_1)<\/span>; en caso contrario te encontrar\u00e1s con n\u00fameros complejos y por lo tanto ya no podr\u00e1s seguir factorizando en los reales. Si las ra\u00edces quedan todas bien definidas, entonces podr\u00e1s escribir:<\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\begin{array}{rl}\n\nQ(x) &amp;= ax^4 + bx^2 + c \\\\ \\\\\n\n     &amp; = a \\left(x -\\displaystyle \\sqrt{\\frac{-b + \\sqrt{b^2 - 4ac }}{2a}}\\right) \\left(x + \\displaystyle \\sqrt{\\frac{-b + \\sqrt{b^2 - 4ac }}{2a}}\\right) \\\\ \\\\\n\n&amp; \\left(x- \\displaystyle \\sqrt{\\frac{-b - \\sqrt{b^2 - 4ac }}{2a}}\\right) \\left(x+ \\sqrt{\\displaystyle \\frac{-b - \\sqrt{b^2 - 4ac }}{2a}}\\right)\n\n\\end{array}<\/span>\n<p style=\"text-align: justify;\">En caso contrario, te detendr\u00e1s en el paso anterior.<\/p>\n<h3>Generalizaci\u00f3n a la factorizaci\u00f3n del polinomio (2n)-cuadr\u00e1tico<\/h3>\n<p style=\"text-align: justify;\"><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=ddTfUR7QBfY&amp;t=1521s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong>Con esto ya se entiende hacia donde apunta el m\u00e9todo, para factorizar el polinomio (2n)-cuadr\u00e1tico<\/strong><\/a> s\u00f3lo hay que replantear la forma en que se escribe y utilizar los m\u00e9todos anteriores ah\u00ed donde las ra\u00edces queden bien definidas. De este modo tendremos que:<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">R(x) = a(x^n)^{2}+b (x^n) +c = a(x^n-x_1^n)(x^n-x_2^n) <\/span>\n<p style=\"text-align: justify;\">Donde <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x^n_{1,2} =\\displaystyle \\frac{-b \\pm \\sqrt{b^2 - 4ac }}{2a}<\/span>. Luego con esto, separamos con suma por diferencia ah\u00ed donde no nos aparezcan n\u00fameros complejos.<\/p>\n<p>   <a name=\"5\"><\/a><\/p>\n<h2>Ejercicios de ejemplo:<\/h2>\n<p style=\"text-align: justify;\">Ahora es tu turno de probar estas t\u00e9cnicas con algunos ejercicios. Los polinomios que aparecen a continuaci\u00f3n son elegidos completamente al azar, de modo que te vendr\u00e1n bastante bien para reconocer las posibles dificultades que se pueden encontrar al factorizar estas cosas<\/p>\n<h3>Primer Round<\/h3>\n<p style=\"text-align: justify;\">Estos polinomios son los que puse de ejemplo al inicio de \u00e9sta entrada<\/p>\n<ol style=\"text-align: justify;\">\n<li><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">P(x) = 3x^2 -x + 1<\/span><\/li>\n<li><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">Q(x) = 7x^4 +5x^2 + 3<\/span><\/li>\n<li><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">R(x) = -4x^6 +12x^3 + 2<\/span><\/li>\n<li><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">S(x) = 21x^8 -75 x^4 -9<\/span><\/li>\n<\/ol>\n<h3>Segundo Round<\/h3>\n<p style=\"text-align: justify;\">Y estos son algunos otros un poco m\u00e1s dificiles.<\/p>\n<ol style=\"text-align: justify;\">\n<li><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">P(x) = 78x^2 -21x - 13<\/span><\/li>\n<li><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">Q(x) = 27x^4 +5x^2 - 14<\/span><\/li>\n<li><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">R(x) = 9x^6 +12x^3 - 16<\/span><\/li>\n<li><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">S(x) = -9x^8 -2 x^4 + 10<\/span><\/li>\n<li><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">T(x) = 5x^{12} -2 x^6 - 15<\/span><\/li>\n<\/ol>\n<h3>Soluci\u00f3n de los Ejercicios<\/h3>\n<p>   <center><iframe class=\"lazyload\" width=\"560\" height=\"315\" data-src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/ilNTFyF7Hmo\" title=\"YouTube video player\" frameborder=\"0\" allow=\"accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture\" allowfullscreen><\/iframe><\/center><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Factorizaci\u00f3n del Polinomio Cuadr\u00e1tico y 2n-Cuadr\u00e1tico Resumen: En esta clase revisaremos en detalle el proceso de factorizaci\u00f3n de polinomios cuadr\u00e1ticos y polinomios -cuadr\u00e1ticos , descomponi\u00e9ndolos en factores simples. 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