{"id":28710,"date":"2024-09-19T17:27:48","date_gmt":"2024-09-19T17:27:48","guid":{"rendered":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/?p=28710"},"modified":"2025-07-26T09:58:38","modified_gmt":"2025-07-26T09:58:38","slug":"braquistocrona-y-ecuacion-de-euler-lagrange-con-calculo-variacional","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/toposuranos.com\/material\/es\/braquistocrona-y-ecuacion-de-euler-lagrange-con-calculo-variacional\/","title":{"rendered":"Braquist\u00f3crona y Ecuaci\u00f3n de Euler-Lagrange con C\u00e1lculo Variacional"},"content":{"rendered":"<h1 style=\"text-align:center;\">El C\u00e1lculo Variacional en la Mec\u00e1nica Cl\u00e1sica y la Ecuaci\u00f3n de Euler-Lagrange<\/h1>\n<p style=\"text-align:center;\"><em><strong>Resumen:<\/strong><br \/>En esta clase revisaremos la obtenci\u00f3n de la ecuaci\u00f3n de Euler-Lagrange de la Mec\u00e1nica Anal\u00edtica a trav\u00e9s de la utilizaci\u00f3n de las t\u00e9cnicas del c\u00e1lculo variacional y, a partir de esto, se mostrar\u00e1 en detalle su aplicaci\u00f3n en la soluci\u00f3n del problema de la Braquist\u00f3crona.<\/em><\/p>\n<hr \/>\n<p style=\"text-align:center;\"><strong>Objetivos de Aprendizaje:<\/strong><br \/>\nAl concluir esta clase el estudiante ser\u00e1 capaz de:<\/p>\n<ol style=\"text-align:left;\">\n<li><strong>Comprender<\/strong> el principio de Hamilton de la m\u00ednima acci\u00f3n<\/li>\n<li><strong>Demostrar<\/strong> la ecuaci\u00f3n de Euler-Lagrange<\/li>\n<li><strong>Resolver<\/strong> el problema de la Braquist\u00f3crona usando la ecuaci\u00f3n de Euler-Lagrange.<\/li>\n<\/ol>\n<hr \/>\n<p style=\"text-align:center;\"><strong><u>\u00cdNDICE DE CONTENIDOS<\/u>:<\/strong><br \/>\n<a href=\"#1\">EL POR QU\u00c9 DEL C\u00c1LCULO VARIACIONAL EN LA MEC\u00c1NICA CL\u00c1SICA<\/a><br \/>\n <a href=\"#2\">FORMULACI\u00d3N DEL PROBLEMA VARIACIONAL<\/a><br \/>\n <a href=\"#3\">LA ECUACI\u00d3N DE EULER-LAGRANGE<\/a><br \/>\n <a href=\"#4\">EL PROBLEMA DE LA BRAQUIST\u00d3CRONA<\/a><br \/>\n <a href=\"#5\">REPOSITORIO DE GITHUB CON ALGORITMO DE WOLFRAM<\/a>\n<\/p>\n<hr \/>\n<p><center><iframe class=\"lazyload\" width=\"560\" height=\"315\" data-src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/JyumifjGzM0\" title=\"YouTube video player\" frameborder=\"0\" allow=\"accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share\" allowfullscreen><\/iframe><\/center><\/p>\n<hr \/>\n<p><a id=\"1\"><\/a><\/p>\n<h2>El por qu\u00e9 del c\u00e1lculo variacional en la mec\u00e1nica cl\u00e1sica<\/h2>\n<p style=\"text-align:justify;\">La f\u00edsica newtoniana presenta numerosos problemas que pueden abordarse de manera m\u00e1s efectiva utilizando el c\u00e1lculo variacional. Este enfoque es fundamental en las ecuaciones de Lagrange y en el principio de m\u00ednima acci\u00f3n de Hamilton. En esencia, este m\u00e9todo consiste en encontrar las trayectorias que maximizan o minimizan una cierta cantidad. Por ejemplo, se puede buscar la trayectoria entre dos puntos que minimice la distancia recorrida o el tiempo de viaje. Un ejemplo de este enfoque es el principio de Fermat, el cual establece que la luz sigue siempre la trayectoria que minimiza el tiempo de recorrido, lo que a su vez conduce a la <a href=\"http:\/\/toposuranos.com\/material\/es\/la-refraccion-de-la-luz-y-la-ley-de-snell\/\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">ley de Snell de la refracci\u00f3n de la luz<\/a>.<\/p>\n<p style=\"text-align:justify;\">El c\u00e1lculo variacional tiene m\u00faltiples ventajas en la mec\u00e1nica cl\u00e1sica. Por ejemplo, permite obtener soluciones anal\u00edticas exactas para sistemas con simetr\u00eda, y soluciones aproximadas a trav\u00e9s de la teor\u00eda de perturbaciones variacionales para sistemas m\u00e1s complejos. Adem\u00e1s, en situaciones donde resulta dif\u00edcil expresar las fuerzas en t\u00e9rminos de ecuaciones diferenciales, el principio de m\u00ednima acci\u00f3n proporciona un m\u00e9todo m\u00e1s eficiente para resolver problemas en mec\u00e1nica cl\u00e1sica. En resumen, el c\u00e1lculo variacional es una herramienta fundamental que ofrece una formulaci\u00f3n alternativa de las leyes de Newton, una unificaci\u00f3n de las leyes de la f\u00edsica, mayor eficiencia en la resoluci\u00f3n de problemas y mayor precisi\u00f3n en la predicci\u00f3n de resultados experimentales.<\/p>\n<p><a id=\"2\"><\/a><\/p>\n<h2>Formulaci\u00f3n del problema variacional<\/h2>\n<p style=\"text-align:justify;\">El c\u00e1lculo variacional se centra en encontrar la funci\u00f3n <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">y(x)<\/span> que extremiza el valor del funcional:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">J(x,y(x))=\\displaystyle \\int_{x_1}^{x_2} f\\left(x,y(x),\\frac{dy(x)}{dx}\\right)dx,<\/span>\n<p style=\"text-align:justify;\">con el fin de encontrar su valor m\u00e1ximo o m\u00ednimo. En esta ecuaci\u00f3n, el funcional <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">J<\/span> depende de la funci\u00f3n <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">y(x)<\/span> y su derivada <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">dy(x)\/dx,<\/span> mientras que los l\u00edmites de integraci\u00f3n permanecen fijos. Para extremar la integral, se aplican variaciones sobre la funci\u00f3n <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">y(x)<\/span>, buscando obtener la funci\u00f3n que hace que el valor del funcional sea un extremo. Por ejemplo, si se logra que la integral alcance su valor m\u00ednimo, cualquier funci\u00f3n <em>dentro de su vecindad<\/em>, sin importar lo cerca que est\u00e9 de <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">y(x)<\/span>, aumentar\u00e1 el valor del funcional.<\/p>\n<p style=\"text-align:justify;\">Para establecer el concepto de <em>funci\u00f3n vecina<\/em>, podemos asignar una representaci\u00f3n param\u00e9trica <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">y=(\\alpha,x)<\/span> a todas las posibles funciones <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">y<\/span>, de manera que si <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\alpha=0<\/span>, entonces <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">y(0,x)=y(x)<\/span> es la funci\u00f3n que extremiza a <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">J<\/span>. Esto se puede expresar de la siguiente forma:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">y(\\alpha, x) = y(x) + \\alpha \\eta(x),<\/span>\n<p style=\"text-align:justify;\">donde <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\eta(x)<\/span> es alguna funci\u00f3n de clase <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\mathcal{C}^1<\/span> que se anula en <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x_1<\/span> y <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x_2<\/span>, de modo que la funci\u00f3n <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">y(\\alpha,x)<\/span> que incluye esta variaci\u00f3n es id\u00e9ntica a <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">y(x)<\/span> en los puntos iniciales y finales de la trayectoria de integraci\u00f3n.<\/p>\n<p style=\"text-align:justify;\">Al sustituir la funci\u00f3n <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">y(\\alpha,x)<\/span> que incluye la variaci\u00f3n <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\eta(x)<\/span> en lugar de <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">y(x)<\/span> en la integral que define el funcional <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">J<\/span>, se obtiene un nuevo funcional que depende del par\u00e1metro <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\alpha<\/span>:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">J(x,y(\\alpha, x)) = \\displaystyle \\int_{x_1}^{x_2} f\\left(x,y(\\alpha,x), \\dfrac{d}{dx}y(\\alpha,x)\\right)dx<\/span>\n<p style=\"text-align:justify;\">Para que existan extremos locales, es necesario que se cumpla la condici\u00f3n:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\left.\\dfrac{\\partial J(x,y(\\alpha,x))}{\\partial \\alpha}\\right|_{\\alpha=0} = 0<\/span>\n<p style=\"text-align:justify;\">para cualquier funci\u00f3n <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\eta(x).<\/span>\n<p><a id=\"3\"><\/a><\/p>\n<h2>La Ecuaci\u00f3n de Euler-Lagrange<\/h2>\n<p style=\"text-align:justify;\">Al analizar la derivada <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\partial J(x,y(\\alpha,x))\/\\partial \\alpha<\/span>, se obtiene:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\begin{array}{rll}\n\n{}\\dfrac{\\partial J(x,y(\\alpha,x))}{\\partial \\alpha}\n\n&amp;=&amp;\\dfrac{\\partial}{\\partial \\alpha} \\displaystyle \\int_{x_1}^{x_2} f\\left(x,y(\\alpha,x),\\dfrac{dy(\\alpha, x)}{dx}\\right)dx \\\\ \\\\\n\n&amp;=&amp;\\displaystyle \\int_{x_1}^{x_2} \\left(\\dfrac{\\partial f}{\\partial x}\\dfrac{\\partial x}{\\partial  \\alpha} + \\dfrac{\\partial f}{\\partial y(\\alpha, x)}\\dfrac{\\partial y(\\alpha, x)}{\\partial  \\alpha}  + \\dfrac{\\partial f }{ \\partial \\frac{dy(\\alpha,x)}{dx}} \\dfrac{\\partial \\frac{dy(\\alpha,x)}{dx}}{\\partial \\alpha}\\right)dx\n\n\\end{array}<\/span>\n<p style=\"text-align:justify;\">A partir de este punto es importante notar que:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\begin{array}{rll}\n\n\\dfrac{\\partial x}{\\partial \\alpha} &amp;=&amp; 0 \\\\ \\\\\n\n\\dfrac{\\partial y(\\alpha,x)}{\\partial \\alpha} &amp;=&amp; \\dfrac{\\partial}{\\partial \\alpha} \\left(y(x) + \\alpha \\eta(x) \\right) = \\eta(x) \\\\ \\\\\n\n\\dfrac{\\partial}{\\partial \\alpha}\\left( \\dfrac{dy(\\alpha, x)}{dx} \\right)&amp;=&amp; \\dfrac{\\partial}{\\partial \\alpha} \\left(\\dfrac{dy(x)}{dx} + \\alpha\\dfrac{d\\eta(x)}{dx} \\right) = \\dfrac{d\\eta}{dx}\n\n\\end{array}<\/span>\n<p style=\"text-align:justify;\">Por lo que la expresi\u00f3n se reduce como se muestra a continuaci\u00f3n:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\begin{array}{rll}\n\n{} \\dfrac{\\partial J(x,y(\\alpha,x))}{\\partial \\alpha} &amp;=&amp; \\displaystyle \\int_{x_1}^{x_2} \\left(\\dfrac{\\partial f}{\\partial y(\\alpha,x)}\\eta(x) + \\dfrac{\\partial f}{\\partial  \\frac{dy(\\alpha,x)}{dx}} \\dfrac{d\\eta(x)}{dx} \\right)dx \\\\ \\\\\n\n&amp;=&amp;\\displaystyle \\int_{x_1}^{x_2} \\dfrac{\\partial f}{\\partial y(\\alpha,x)}\\eta(x) dx +  \\int_{x_1}^{x_2} \\dfrac{\\partial f}{\\partial  \\frac{dy(\\alpha,x)}{dx}} \\dfrac{d\\eta(x)}{dx} dx\n\n\\end{array}<\/span>\n<p style=\"text-align:justify;\">Luego, si observamos la segunda integral, veremos que se puede simplificar utilizando integraci\u00f3n por partes:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\begin{array}{rll}\n\n\\displaystyle \\int_{x_1}^{x_2} \\dfrac{\\partial f}{\\partial  \\frac{dy(\\alpha,x)}{dx}} \\dfrac{d\\eta}{dx} dx\n\n&amp;=&amp; \\left. \\dfrac{\\partial f}{\\partial \\frac{dy(\\alpha,x)}{dx}} \\eta(x)\\right|_{x_1}^{x_2} - \\displaystyle \\int_{x_1}^{x_2}\\eta(x) \\dfrac{d}{dx}\\left( \\dfrac{\\partial f}{\\partial \\frac{dy(\\alpha, x)}{dx}} \\right) dx\\\\ \\\\\n\n&amp;=&amp; - \\displaystyle \\int_{x_1}^{x_2}\\eta(x) \\dfrac{d}{dx}\\left( \\dfrac{\\partial f}{\\partial \\frac{dy(\\alpha, x)}{dx}} \\right)dx\n\n\\end{array}<\/span>\n<p style=\"text-align:justify;\">Y por lo tanto<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\begin{array}{rll}\n\n{} \\dfrac{\\partial J(x,y(\\alpha,x))}{\\partial \\alpha}\n\n&amp;=&amp; \\displaystyle \\int_{x_1}^{x_2} \\left[ \\eta(x) \\dfrac{\\partial f}{\\partial y(\\alpha, x)}  - \\eta(x) \\dfrac{d}{dx}\\left( \\dfrac{\\partial f}{\\partial \\frac{dy(\\alpha,x)}{dx}} \\right) \\right]dx \\\\ \\\\\n\n&amp;=&amp; \\displaystyle \\int_{x_1}^{x_2} \\left[ \\dfrac{\\partial f}{\\partial y(\\alpha, x)}  -  \\dfrac{d}{dx}\\left( \\dfrac{\\partial f}{\\partial \\frac{dy(\\alpha,x)}{dx}} \\right) \\right] \\eta(x) dx\n\n\\end{array}<\/span>\n<p style=\"text-align:justify;\">As\u00ed que, por la condici\u00f3n de que <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\left.\\dfrac{\\partial J (x,y(\\alpha, x))}{\\partial \\alpha}\\right|_{\\alpha=0} = 0,<\/span> y como <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\eta(x)<\/span> es una funci\u00f3n cualquiera sujeta a la \u00fanica condici\u00f3n de anularse en <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x_1<\/span> y <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x_2<\/span>, se tiene:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\n\\dfrac{\\partial f}{\\partial y(0, x)}  -  \\dfrac{d}{dx}\\left( \\dfrac{\\partial f}{\\partial \\frac{dy(0,x)}{dx}}\\right) = \\dfrac{\\partial f}{\\partial y(x)}  -  \\dfrac{d}{dx}\\left( \\dfrac{\\partial f}{\\partial \\frac{dy(x)}{dx}}\\right) = 0.\n\n<\/span>\n<p style=\"text-align:justify;\">Finalmente, \u00abdescargando la notaci\u00f3n\u00bb en esta \u00faltima expresi\u00f3n se llega a lo que se conoce como Ecuaci\u00f3n de Euler-Lagrange:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\boxed{\\dfrac{\\partial f}{\\partial y}= \\dfrac{d}{dx}\\left( \\dfrac{\\partial f}{\\partial y^\\prime} \\right)},<\/span>\n<p style=\"text-align:justify;\">y esto representa de una forma mucho m\u00e1s sencilla la condici\u00f3n necesaria para que el funcional <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">J<\/span> alcance un valor extremo.<\/p>\n<p><a id=\"4\"><\/a><\/p>\n<h2>El problema de La Braquist\u00f3crona<\/h2>\n<h3>Formulaci\u00f3n del problema<\/h3>\n<p style=\"text-align:justify;\">El problema de la braquist\u00f3crona es un cl\u00e1sico de la f\u00edsica mec\u00e1nica que se resuelve mediante el c\u00e1lculo variacional. La situaci\u00f3n planteada es la siguiente: Supongamos que tenemos un objeto material que se mueve bajo el efecto de un campo de fuerzas constante y que se desplaza desde un punto inicial <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(x_1,y_1)<\/span> a otro punto final <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(x_2,y_2)<\/span>, donde el punto inicial se encuentra a una mayor altura que el punto final. La pregunta que se plantea es: \u00bfCu\u00e1l es la trayectoria que la part\u00edcula debe seguir para llegar al punto final en el menor tiempo posible?<\/p>\n<h3>Formulaci\u00f3n de la soluci\u00f3n<\/h3>\n<p style=\"text-align:justify;\">Para resolver el problema de la braquist\u00f3crona, es \u00fatil considerar la situaci\u00f3n de forma simple. Por lo tanto, se puede fijar el punto de partida <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(x_1, y_1)<\/span> en el origen de coordenadas, mientras que el punto de llegada <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(x_2,y_2)<\/span> se encuentra a la derecha del origen y por debajo del eje <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\hat{x}<\/span>.<\/p>\n<div style=\"text-align:center;\"><img decoding=\"async\" src=\"data:image\/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP\/\/\/yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7\" data-src=\"http:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-content\/uploads\/2024\/09\/probbraquistocrona.png\" alt=\"c\u00e1lculo variacional - problema de la braquist\u00f3crona\" width=\"711\" height=\"505\" class=\"aligncenter size-full wp-image-28729 lazyload\" \/><noscript><img decoding=\"async\" src=\"http:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-content\/uploads\/2024\/09\/probbraquistocrona.png\" alt=\"c\u00e1lculo variacional - problema de la braquist\u00f3crona\" width=\"711\" height=\"505\" class=\"aligncenter size-full wp-image-28729 lazyload\" srcset=\"https:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-content\/uploads\/2024\/09\/probbraquistocrona.png 711w, https:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-content\/uploads\/2024\/09\/probbraquistocrona-300x213.png 300w\" sizes=\"(max-width: 711px) 100vw, 711px\" \/><\/noscript><\/div>\n<p style=\"text-align:justify;\">En esta situaci\u00f3n, se puede considerar un campo de fuerza que act\u00faa hacia abajo (en la direcci\u00f3n <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">-\\hat{y}<\/span>) generado por la gravedad, y suponer que el movimiento se realiza sin fricci\u00f3n. En este contexto, se restringe la part\u00edcula a seguir diferentes trayectorias que conectan los puntos de salida y llegada con el objetivo de encontrar cu\u00e1l de ellas minimiza el tiempo de viaje.<\/p>\n<h3>Examinando la energ\u00eda<\/h3>\n<p style=\"text-align:justify;\">Para resolver este problema, podemos aprovechar la conservaci\u00f3n de energ\u00eda del sistema gravitacional. La energ\u00eda total del sistema permanecer\u00e1 constante, considerando tanto la energ\u00eda cin\u00e9tica <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">E_{cin}=\\frac{1}{2}mv^2<\/span> como la energ\u00eda potencial gravitatoria <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">E_{pot,g}<\/span>, donde <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">m<\/span> es la masa de la part\u00edcula y <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">v<\/span> es su velocidad. Para la energ\u00eda potencial se ha tomado como referencia el origen, de modo que <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">E_{pot,g}(y=0)=0<\/span>, mientras que en cualquier otra altura <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">y<\/span> se tiene que <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">E_{pot,g}(y)=mgy.<\/span>\n<p style=\"text-align:justify;\">Como la part\u00edcula parte del origen con velocidad cero, su energ\u00eda total es igual a cero. Entonces, se tiene:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">E_{cin} + E_{pot,g}=0<\/span>\n<p style=\"text-align:justify;\">Como la part\u00edcula cae por debajo del punto de referencia, su energ\u00eda potencial ser\u00e1 negativa y su energ\u00eda cin\u00e9tica ser\u00e1 positiva. De esta manera, podemos despejar la velocidad <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">v<\/span> a partir de la ecuaci\u00f3n de conservaci\u00f3n de energ\u00eda y obtener:<\/p>\n<p style=\"text-align:center\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\begin{array}{rl}\n\n{} &amp;\\dfrac{1}{2}mv^2 + (-mgy) = 0 \\\\ \\\\\n\n\\vdash &amp;\\dfrac{1}{2}mv^2 = mgy \\\\ \\\\\n\n\\vdash &amp;v^2 = 2gy \\\\ \\\\\n\n\\vdash &amp;v = \\sqrt{2gy}\n\n\\end{array}<\/span>\n<p style=\"text-align:justify;\">De esta forma, podemos calcular la velocidad de la part\u00edcula en cualquier punto de su trayectoria en funci\u00f3n de la altura <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">y<\/span> a la que se encuentre.<\/p>\n<h3>Examinando el tiempo de trayecto<\/h3>\n<p style=\"text-align:justify;\">Una vez que hemos obtenido la rapidez de movimiento, podemos construir el elemento de tiempo de recorrido utilizando el elemento de desplazamiento <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">ds=\\sqrt{dx^2 + dy^2}<\/span> de la siguiente manera:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\begin{array}{rl}\n\n{} dt &amp;= \\dfrac{ds}{v} = \\dfrac{\\sqrt{dx^2 + dy^2}}{\\sqrt{2gy}}\\\\ \\\\\n\n&amp;= \\sqrt{\\dfrac{dx^2 + dy^2}{2gy} }\n\n\\end{array}<\/span>\n<p style=\"text-align:justify;\">De modo que el tiempo de desplazamiento entre los puntos <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(x_1,y_1)<\/span> y <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(x_2,y_2)<\/span> se puede obtener integrando<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\begin{array}{rl}\n\n{} t &amp;= \\displaystyle \\int_{(x_1,y_1)}^{(x_2,y_2)} dt \\\\ \\\\\n\n&amp;= \\displaystyle \\int_{(x_1,y_1)}^{(x_2,y_2)} \\sqrt{\\dfrac{dx^2 + dy^2}{2gy}} \\\\ \\\\\n\n&amp;= \\displaystyle \\dfrac{1}{\\sqrt{2g}}\\int_{y_1}^{y_2} \\sqrt{\\dfrac{1+ \\left(\\dfrac{dx}{dy}\\right)^2 }{y}}dy \\\\ \\\\\n\n\\end{array}<\/span>\n<h3>Formulaci\u00f3n del problema variacional<\/h3>\n<p style=\"text-align:justify;\">Con esta \u00faltima expresi\u00f3n hemos logrado expresar el tiempo como un funcional de la forma<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\n{}t = J(y,x(y)) = \\displaystyle \\int_{y_1}^{y_2} f\\left(y,x(y),\\dfrac{dx(y)}{dy} \\right) dy\n\n<\/span>\n<p style=\"text-align:justify;\">donde<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f\\left(y,x(y), \\dfrac{dx(y)}{dy}\\right) = \\sqrt{\\dfrac{1+ \\left(\\dfrac{dx(y)}{dy} \\right)^2}{y}} <\/span>\n<p style=\"text-align:justify;\">En este punto podemos pasar por alto el factor <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\sqrt{2g},<\/span> porque optimizar <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">J<\/span> es exactamente lo mismo que optimizar <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\sqrt{2g}J<\/span>.<\/p>\n<p style=\"text-align:justify;\">Con lo anterior, podemos ahora construir la ecuaci\u00f3n de Euler-Lagrange siguiendo el mismo procedimiento utilizado anteriormente, llegando finalmente a:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\dfrac{\\partial f}{\\partial x} = \\dfrac{d}{dy} \\dfrac{\\partial f}{\\partial x^\\prime}<\/span>\n<p style=\"text-align:justify;\">Sin embargo, aqu\u00ed podemos ver que <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\dfrac{\\partial f}{\\partial x} = 0,<\/span> por lo que se tendr\u00e1 que<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\dfrac{d}{dy}\\dfrac{\\partial f}{\\partial x^\\prime} = 0,<\/span>\n<p style=\"text-align:justify;\">o en otras palabras<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\dfrac{\\partial f}{\\partial x^\\prime} = \\dfrac{1}{\\sqrt{2a}},<\/span>\n<p style=\"text-align:justify;\">donde <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a<\/span> es una constante arbitraria escrita de esa manera porque es \u00abconveniente\u00bb para desarrollos posteriores.<\/p>\n<h3>Resoluci\u00f3n del problema variacional<\/h3>\n<p style=\"text-align:justify;\">Al sustituir la funci\u00f3n <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f<\/span> en esta \u00faltima expresi\u00f3n se tiene:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\begin{array}{rl}\n\n{} &amp;\\dfrac{\\partial }{\\partial x^\\prime} \\sqrt{\\dfrac{1+ x^{\\prime 2}}{y}}  = \\dfrac{1}{\\sqrt{2a}} \\\\ \\\\\n\n\\vdash &amp; \\dfrac{1}{2}\\left( \\dfrac{1 + x^{\\prime 2} }{y} \\right)^{-1\/2} \\left(\\dfrac{2x^\\prime}{y} \\right) = \\dfrac{1}{\\sqrt{2a}} \\\\ \\\\\n\n\\vdash &amp; \\dfrac{1}{2}\\sqrt{\\dfrac{y}{1 + x^{\\prime 2}}} \\left(\\dfrac{2x^\\prime}{y} \\right) = \\dfrac{1}{\\sqrt{2a}} \\\\ \\\\\n\n\\vdash &amp; \\sqrt{\\dfrac{4x^{\\prime 2} y}{4y^2 (1 + x^{\\prime 2})} }  = \\sqrt{\\dfrac{1}{2a}} \\\\ \\\\\n\n\\vdash &amp;  \\dfrac{y x^{\\prime 2} }{y^2 (1 + x^{\\prime 2})}   = \\dfrac{1}{ 2a} \\\\ \\\\\n\n\\vdash &amp; 2ayx^{\\prime 2} = y^2 + y^2 x^{\\prime 2} \\\\ \\\\\n\n\\vdash &amp;  x^{\\prime 2} (2ay - y^2) = y^2 \\\\ \\\\\n\n\\vdash &amp; \\left(\\dfrac{dx}{dy}\\right)^2 = \\dfrac{y^2}{2ay - y^2} \\\\ \\\\\n\n\\vdash &amp; \\dfrac{dx}{dy} = \\pm \\sqrt{\\dfrac{y^2}{2ay - y^2}} \\\\ \\\\\n\n\\vdash &amp; dx = \\pm \\dfrac{y\\,dy}{\\sqrt{2ay - y^2}} \\\\ \\\\\n\n\\vdash &amp; x = \\displaystyle  \\pm \\int \\dfrac{y}{\\sqrt{2ay - y^2}}\\,dy\n\n\\end{array}<\/span>\n<p style=\"text-align:justify;\">Para resolver esta integral, una opci\u00f3n a considerar es la realizaci\u00f3n de la siguiente sustituci\u00f3n<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\begin{array}{rl}\n\n{} y &amp;= a[1-\\cos(\\theta)] \\\\\n\n dy &amp;= a\\sin(\\theta) d\\theta\n\n\\end{array}<\/span>\n<p style=\"text-align:justify;\">Con esto se tiene:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\begin{array}{rl}\n\n{} x= &amp; \\pm \\displaystyle \\int \\dfrac{y}{\\sqrt{2ay - y^2}}\\,dy = \\displaystyle \\int \\dfrac{a[1-\\cos(\\theta)]a\\sin(\\theta)}{\\sqrt{2a^2[1-\\cos(\\theta)] - a^2[1-\\cos(\\theta)]^2 }}\\,d\\theta \\\\ \\\\\n\n&amp; = \\pm \\displaystyle \\int \\dfrac{a^2[1-\\cos(\\theta)]\\sin(\\theta)}{\\sqrt{a^2[1-\\cos(\\theta)]\\left\\{ 2 - [1-\\cos(\\theta)] \\right\\} }}\\,d\\theta \\\\ \\\\\n\n&amp; = \\pm \\displaystyle \\int \\dfrac{a[1-\\cos(\\theta)]\\sin(\\theta)}{\\sqrt{[1-\\cos(\\theta)]  [1 + \\cos(\\theta)]  }}\\,d\\theta \\\\ \\\\\n\n&amp; = \\pm \\displaystyle \\int \\dfrac{a[1-\\cos(\\theta)]\\sin(\\theta)}{\\sqrt{ 1-\\cos^2(\\theta)}}\\,d\\theta \\\\ \\\\\n\n&amp; = \\pm \\displaystyle \\int \\dfrac{a[1-\\cos(\\theta)]\\sin(\\theta)}{\\sin(\\theta)}\\,d\\theta \\\\ \\\\\n\n&amp; = \\pm \\displaystyle \\int a[1-\\cos(\\theta)]\\,d\\theta \\\\ \\\\\n\n&amp; = \\pm a(\\theta - \\sin(\\theta)) + C\n\n\\end{array}<\/span>\n<p style=\"text-align:justify;\">Podemos observar que la curva braquist\u00f3crona se puede expresar como una curva param\u00e9trica en coordenadas polares, que coincide con un cicloide que tiene su punto de partida en el origen.<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\begin{array}{rl}\n\n{} x(\\theta) &amp;= \\pm a(\\theta - \\sin(\\theta)) \\\\\n\n   y(\\theta) &amp;= a(1-\\cos(\\theta))\n\n\\end{array}<\/span>\n<p style=\"text-align:justify;\">La constante de integraci\u00f3n <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">C<\/span> se ha anulado para satisfacer la condici\u00f3n inicial de que la trayectoria comienza en el origen. Adem\u00e1s, podemos observar que hay un par de ecuaciones que brindan soluciones posibles al problema, donde la constante <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a<\/span> se puede ajustar para que la curva pase por el punto <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(x_2,y_2)<\/span> al final del recorrido. Estas ecuaciones son:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><strong>Opci\u00f3n 1:<\/strong> <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\boxed{\\begin{array}{rl}\n\n{} x(\\theta) &amp;= a(\\theta - \\sin(\\theta)) \\\\\n\n   y(\\theta) &amp;= a(1-\\cos(\\theta))\n\n\\end{array}}<\/span>\n<p style=\"text-align:center;\"><strong>Opci\u00f3n 2:<\/strong> <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\boxed{\\begin{array}{rl}\n\n{} x(\\theta) &amp;= - a(\\theta - \\sin(\\theta)) \\\\\n\n   y(\\theta) &amp;= a(1-\\cos(\\theta))\n\n\\end{array}}<\/span> <\/p>\n<p style=\"text-align:justify;\">La soluci\u00f3n viable para este problema viene dada por la segunda opci\u00f3n, y ajustando la constante <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a<\/span> como un valor negativo, obtenemos una curva que cumple con las condiciones necesarias para ser soluci\u00f3n.<\/p>\n<p><center><img decoding=\"async\" src=\"data:image\/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP\/\/\/yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7\" data-src=\"http:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-content\/uploads\/2024\/09\/solbraquis.png\" alt=\"Ejemplo de soluci\u00f3n posible, un arco de cicloide\" width=\"497\" height=\"329\" class=\"aligncenter size-full wp-image-28731 lazyload\" \/><noscript><img decoding=\"async\" src=\"http:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-content\/uploads\/2024\/09\/solbraquis.png\" alt=\"Ejemplo de soluci\u00f3n posible, un arco de cicloide\" width=\"497\" height=\"329\" class=\"aligncenter size-full wp-image-28731 lazyload\" srcset=\"https:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-content\/uploads\/2024\/09\/solbraquis.png 497w, https:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-content\/uploads\/2024\/09\/solbraquis-300x199.png 300w\" sizes=\"(max-width: 497px) 100vw, 497px\" \/><\/noscript><\/center><\/p>\n<h3>Ajuste final de la soluci\u00f3n<\/h3>\n<p style=\"text-align:justify;\">Despu\u00e9s de los \u00faltimos ajustes realizados, la curva braquist\u00f3crona tiene la forma param\u00e9trica:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\begin{array}{rl}\n\nx(\\theta) &amp;= b(\\theta - \\sin(\\theta)) \\\\\n\ny(\\theta) &amp;= -b(1-\\cos(\\theta))\n\n\\end{array}<\/span>\n<p style=\"text-align:justify;\">Se sustituy\u00f3 <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a=-b<\/span>, donde <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">0\\lt b<\/span>. La curva tiene un per\u00edodo <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">2b\\pi<\/span> y debe cumplir con la condici\u00f3n <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x_2 \\in ]0,2b\\pi[<\/span> e <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">y_2 \\in ]-2b,0[<\/span>. Esto \u00faltimo es crucial, porque exige que la curva braquist\u00f3crona se represente como un solo arco de cicloide, ya que la soluci\u00f3n dejar\u00e1 de ser v\u00e1lida si la part\u00edcula regresa al reposo al volver a un punto de altura cero.<\/p>\n<p style=\"text-align:justify;\">Para ajustar estas ecuaciones al problema, necesitamos encontrar los valores de <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\theta<\/span> y <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">b<\/span> que satisfagan el sistema:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\begin{array}{rl}\n\n{} x_2 &amp;= b(\\theta - \\sin(\\theta))\\\\\n\n y_2 &amp;= - b(1-\\cos(\\theta))\n\n\\end{array}<\/span>\n<p style=\"text-align:justify;\">Este sistema no lineal no parece tener soluciones anal\u00edticas, por lo que utilizaremos m\u00e9todos num\u00e9ricos en Wolfram Mathematica. A continuaci\u00f3n, se presenta una serie de pasos para resolver el problema:<\/p>\n<h4>Paso 1: Establecer sistema<\/h4>\n<p style=\"text-align:justify;\">Establecer las ecuaciones que forman el sistema a resolver<\/p>\n<p><code>eq1 = x2 == b*(theta - Sin[theta])<br \/>\neq2 = y2 == -b*(1 - Cos[theta])<\/code><\/p>\n<h4>Paso 2: definir el punto de llegada<\/h4>\n<p style=\"text-align:justify;\">Establecer el punto al que llegar\u00e1 la part\u00edcula al final de su trayecto. En este caso lo estableceremos en <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(x_2,y_2)=(1,-2)<\/span>. Estos valores los puedes modificar para probar otras configuraciones semejantes.<\/p>\n<p><code>x2val = 1; y2val = -2;<\/code><\/p>\n<h4>Paso 3: Calcular num\u00e9ricamente los valores buscados<\/h4>\n<p style=\"text-align:justify;\">Usar la funci\u00f3n \u00abFindRoot\u00bb para calcular num\u00e9ricamente la soluci\u00f3n del problema<\/p>\n<p><code>sol = FindRoot[{eq1, eq2} \/. {x2 -> x2val, y2 -> y2val}, {{b,1}, {theta, 1}}]<\/code><\/p>\n<p style=\"text-align:justify;\">Aqu\u00ed se ha usado los valores <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">b=1<\/span> y <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\theta=1<\/span> como punto de partida para la aproximaci\u00f3n num\u00e9rica de la soluci\u00f3n. Con esto, se obtiene como soluci\u00f3n <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">b\\approx 2.4056<\/span> y <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\theta \\approx 1.40138<\/span>\n<h4>Paso 4: Corroboraci\u00f3n de resultados<\/h4>\n<p style=\"text-align:justify;\">Recordemos que, para que estas respuestas tengan sentido f\u00edsico, es necesario que <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x_2 \\in ]0,2b\\pi[<\/span> e <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">y_2 \\in ]-2b, 0[<\/span>. Podemos corroborar que esto ocurre as\u00ed r\u00e1pidamente a trav\u00e9s del siguiente procedimiento<\/p>\n<p style=\"text-align:justify;\">Primero extraemos los valores de <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">b<\/span> y <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\theta<\/span> obtenidos como soluci\u00f3n<\/p>\n<p><code>bval = sol[[1, 2]]; thetaval = sol[[2, 2]];<\/code><\/p>\n<p style=\"text-align:justify;\">Y luego ordenamos que se realice la confirmaci\u00f3n<\/p>\n<p><code>If[0 < x2val < 2*Pi*bval &#038;&#038; -2*bval < y2val < 0, \"Valores v\u00e1lidos\", \"Valores inv\u00e1lidos\"]<\/code><\/p>\n<p style=\"text-align:justify;\">Si todo ha salido bien, deber\u00edamos obtener \"valores v\u00e1lidos\" en la salida. Este trozo de c\u00f3digo te ayudar\u00e1 a revisar si la situaci\u00f3n f\u00edsica est\u00e1 modelada correctamente.<\/p>\n<p style=\"text-align:justify;\">Con estos procedimientos tenemos por fin completamente ajustada nuestra curva soluci\u00f3n, que conecta los puntos <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(x_1,y_1)=(0,0)<\/span> y <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(x_2,y_2)=(1,-2)<\/span>. La curva resultante es:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\begin{array}{rl}\n\n{} x(\\theta) &amp;\\approx 2.4056(\\theta - \\sin(\\theta)) \\\\\n\n y(\\theta) &amp;\\approx -2.4056(1-\\cos(\\theta))\n\n\\end{array}\\;\\;;\\theta\\in [0, 1.40138]<\/span>\n<p style=\"text-align:justify;\">Que gr\u00e1ficamente se ve as\u00ed:<\/p>\n<p><center><img decoding=\"async\" src=\"data:image\/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP\/\/\/yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7\" data-src=\"http:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-content\/uploads\/2024\/09\/sol2braquis.png\" alt=\"\" width=\"296\" height=\"345\" class=\"aligncenter size-full wp-image-28733 lazyload\" \/><noscript><img decoding=\"async\" src=\"http:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-content\/uploads\/2024\/09\/sol2braquis.png\" alt=\"\" width=\"296\" height=\"345\" class=\"aligncenter size-full wp-image-28733 lazyload\" srcset=\"https:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-content\/uploads\/2024\/09\/sol2braquis.png 296w, https:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-content\/uploads\/2024\/09\/sol2braquis-257x300.png 257w\" sizes=\"(max-width: 296px) 100vw, 296px\" \/><\/noscript><\/center><\/p>\n<p><a id=\"5\"><\/a><\/p>\n<h2>Repositorio de Github con algoritmo de Wolfram<\/h2>\n<p style=\"text-align:justify;\">El c\u00f3digo completo de la soluci\u00f3n al problema de la braquist\u00f3crona, incluyendo el algoritmo desarrollado en Wolfram Mathematica, est\u00e1 disponible para su descarga y consulta en mi repositorio de GitHub. Este repositorio incluye un archivo <code>.nb<\/code> con el c\u00f3digo en formato de notebook interactivo, as\u00ed como una versi\u00f3n en texto plano <code>.m<\/code> para aquellos que prefieren ver el c\u00f3digo directamente.<\/p>\n<p style=\"text-align:justify;\"><strong>Puedes descargar el repositorio desde GitHub <a href=\"https:\/\/github.com\/girebz\/Braquist-crona\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">aqu\u00ed<\/a>.<\/strong><\/p>\n<p style=\"text-align:justify;\">Adem\u00e1s del c\u00f3digo, el repositorio contiene un archivo \"README\" con instrucciones detalladas sobre c\u00f3mo usar y entender el algoritmo, as\u00ed como una explicaci\u00f3n paso a paso de la soluci\u00f3n al problema de la braquist\u00f3crona. \u00a1Espero que lo encuentres \u00fatil!<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>El C\u00e1lculo Variacional en la Mec\u00e1nica Cl\u00e1sica y la Ecuaci\u00f3n de Euler-Lagrange Resumen:En esta clase revisaremos la obtenci\u00f3n de la ecuaci\u00f3n de Euler-Lagrange de la Mec\u00e1nica Anal\u00edtica a trav\u00e9s de la utilizaci\u00f3n de las t\u00e9cnicas del c\u00e1lculo variacional y, a partir de esto, se mostrar\u00e1 en detalle su aplicaci\u00f3n en la soluci\u00f3n del problema de [&hellip;]<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":28745,"comment_status":"open","ping_status":"closed","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"iawp_total_views":51,"footnotes":""},"categories":[633,934],"tags":[],"class_list":["post-28710","post","type-post","status-publish","format-standard","has-post-thumbnail","hentry","category-fisica","category-mecanica-clasica"],"yoast_head":"<!-- This site is optimized with the Yoast SEO plugin v26.7 - 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