{"id":28116,"date":"2021-04-08T13:00:52","date_gmt":"2021-04-08T13:00:52","guid":{"rendered":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/?p=28116"},"modified":"2024-08-22T08:11:35","modified_gmt":"2024-08-22T08:11:35","slug":"completitud-y-solvencia-en-la-logica-proposicional","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/toposuranos.com\/material\/es\/completitud-y-solvencia-en-la-logica-proposicional\/","title":{"rendered":"Completitud y solvencia en la l\u00f3gica proposicional"},"content":{"rendered":"<div style=\"background-color:#F3F3F3; padding:20px;\">\n<center><\/p>\n<h1>Completitud y solvencia en la l\u00f3gica proposicional<\/h1>\n<p><\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><strong>RESUMEN<\/strong><br \/><em>En esta clase se aborda la relaci\u00f3n entre la completitud y la solvencia en la l\u00f3gica proposicional. A pesar de que se han discutido ampliamente las t\u00e9cnicas de deducci\u00f3n y la sem\u00e1ntica en la l\u00f3gica proposicional, se ha prestado poca atenci\u00f3n a la relaci\u00f3n entre ambas facetas. La solvencia se refiere a la propiedad de un sistema l\u00f3gico de inferir una expresi\u00f3n G a partir de un conjunto de expresiones \u0393. Por otro lado, la completitud se refiere a la propiedad de un sistema l\u00f3gico en el que, si G es consecuencia sem\u00e1ntica de un conjunto de expresiones \u0393, entonces existe una prueba formal con premisas \u0393 a partir de la cual se puede inferir G. Se demuestra que la l\u00f3gica proposicional es solvente y completa, y se presenta una explicaci\u00f3n detallada de cada propiedad. En particular, se muestra c\u00f3mo la solvencia se deriva de la constituci\u00f3n del sistema deductivo de la l\u00f3gica proposicional, y c\u00f3mo la completitud se infiere de forma sencilla. Este an\u00e1lisis resulta de gran importancia para entender c\u00f3mo funciona la l\u00f3gica proposicional y para aplicarla de manera efectiva en diversos campos del conocimiento.<\/em><\/p>\n<p><\/center><br \/>\n<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><strong>OBJETIVOS DE APRENDIZAJE:<\/strong><br \/>\nAl finalizar esta clase, el estudiante ser\u00e1 capaz de:\n<\/p>\n<ol>\n<li><strong>Distinguir<\/strong> entre solvencia y completitud en un sistema l\u00f3gico.<\/li>\n<li><strong>Aplicar<\/strong> la tabla de verdad para los axiomas de \u0141ukasiewicz para demostrar la solvencia de la l\u00f3gica proposicional.<\/li>\n<li><strong>Explicar<\/strong> la forma en que el modus ponens puede ser reescrito usando la versi\u00f3n sem\u00e1ntica del teorema de deducci\u00f3n.<\/li>\n<li><strong>Entender<\/strong> que la solvencia y la completitud est\u00e1n relacionadas y que se pueden inferir una de la otra.<\/li>\n<li><strong>Analizar<\/strong> el concepto de tautolog\u00eda y su relaci\u00f3n con los teoremas en la l\u00f3gica proposicional.<\/li>\n<\/ol>\n<p style=\"text-align:center;\"><strong>\u00cdNDICE<\/strong><br \/>\n<a href=\"#1\">COMPLETITUD Y SOLVENCIA EN LA L\u00d3GICA PROPOSICIONAL<\/a><br \/>\n<a href=\"#2\">LA L\u00d3GICA PROPOSICIONAL ES SOLVENTE<\/a><br \/>\n<a href=\"#3\">LA L\u00d3GICA PROPOSICIONAL ES COMPLETA<\/a><br \/>\n<center><iframe class=\"lazyload\" width=\"560\" height=\"315\" data-src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/dGrwsPMHa90\" title=\"YouTube video player\" frameborder=\"0\" allow=\"accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture\" allowfullscreen=\"allowfullscreen\"><\/iframe><\/center>\n<\/div>\n<p><a name=\"1\"><\/a><\/p>\n<h2>Completitud y solvencia en la l\u00f3gica proposicional<\/h2>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\"><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=dGrwsPMHa90&amp;t=181s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">Llegados a este punto toca hablar de la completitud y la solvencia de la l\u00f3gica proposicional.<\/span><\/strong><\/a> Ocurre que hasta ahora se ha hablado bastante sobre las t\u00e9cnicas de deducci\u00f3n y de la sem\u00e1ntica de la l\u00f3gica proposicional, pero todo se ha hecho de un modo en que pareciera que estas son dos facetas completamente independientes sin ninguna relaci\u00f3n entre s\u00ed. La realidad es completamente opuesta.<\/p>\n<table>\n<tbody>\n<tr>\n<td>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\"><strong>SOLVENCIA:<\/strong> Por un lado se dice que un sistema l\u00f3gico es solvente cuando, siempre que una expresi\u00f3n G se pueda inferir a partir de un conjunto de expresiones <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\Gamma<\/span><\/span>, se tendr\u00e1 que por lo tanto G es consecuencia (sem\u00e1ntica) de <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\Gamma<\/span><\/span><\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\"><strong>COMPLETITUD:<\/strong> Por otro lado, se dir\u00e1 que es completo cuando, si G es consecuencia sem\u00e1ntica un conjunto de expresiones <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\Gamma<\/span><\/span>, entonces existe una prueba formal con premisas <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\Gamma<\/span><\/span> a partir de la cual se puede inferir G.<\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p><img decoding=\"async\" src=\"data:image\/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP\/\/\/yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7\" data-src=\"https:\/\/1.bp.blogspot.com\/-VKgbesdSWbQ\/YG6s7C9kkdI\/AAAAAAAAE2g\/K5hUDwI6KkAs5FNmmkTZ1RRV_LqV_kxlQCLcBGAsYHQ\/s0\/completitud%2By%2Bsolvencia.PNG\" alt=\"Completitud y Solvencia de la L\u00f3gica Proposicional\" class=\" aligncenter lazyload\" width=\"285\" height=\"220\" \/><noscript><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/1.bp.blogspot.com\/-VKgbesdSWbQ\/YG6s7C9kkdI\/AAAAAAAAE2g\/K5hUDwI6KkAs5FNmmkTZ1RRV_LqV_kxlQCLcBGAsYHQ\/s0\/completitud%2By%2Bsolvencia.PNG\" alt=\"Completitud y Solvencia de la L\u00f3gica Proposicional\" class=\" aligncenter lazyload\" width=\"285\" height=\"220\" \/><\/noscript><\/p>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">Revisando estas ideas veremos que la completitud y la solvencia se satisfacen para la l\u00f3gica proposicional.<\/p>\n<p><a name=\"2\"><\/a><\/p>\n<h2>La l\u00f3gica proposicional es solvente<\/h2>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\"><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=dGrwsPMHa90&amp;t=292s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">Es sencillo obtener la solvencia de la l\u00f3gica proposicional<\/span><\/strong><\/a> observando la constituci\u00f3n de su sistema deductivo. Si hacemos la tabla de verdad para los axiomas de \u0141ukasiewicz veremos que estos tienen una estructura tal que siempre dan verdadero como valor de verdad, es decir:<\/p>\n<table style=\"text-align: justify; color: #000000;\">\n<tbody>\n<tr>\n<td><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\models (\\alpha \\rightarrow (\\beta \\rightarrow \\alpha))<\/span><\/span><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\models ((\\alpha \\rightarrow (\\beta \\rightarrow \\gamma))\\rightarrow ((\\alpha \\rightarrow \\beta) \\rightarrow (\\alpha \\rightarrow \\gamma)))<\/span><\/span><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\models ((\\neg\\beta \\rightarrow \\neg\\alpha)\\rightarrow(\\alpha \\rightarrow \\beta))<\/span><\/span><\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">De forma similar, el modus ponens se puede reescribir de la forma <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\{\\alpha,(\\alpha\\rightarrow \\beta)\\}\\models \\beta.<\/span><\/span> lo que se puede obtener usando la versi\u00f3n sem\u00e1ntica del teorema de deducci\u00f3n. De hecho, por \u00e9ste medio tendremos que <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\{(\\alpha\\rightarrow \\beta)\\}\\models (\\alpha\\rightarrow \\beta),<\/span><\/span> y luego <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\models ((\\alpha\\rightarrow \\beta)\\rightarrow (\\alpha\\rightarrow \\beta)),<\/span><\/span> que por supuesto es una tautolog\u00eda m\u00e1s que evidente.<\/p>\n<p><a name=\"3\"><\/a><\/p>\n<h2>La l\u00f3gica proposicional es completa<\/h2>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\"><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=dGrwsPMHa90&amp;t=487s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">La completitud de la l\u00f3gica proposicional nos dice que,<\/span><\/strong><\/a> si B es consecuencia sem\u00e1ntica A, entonces a partir de A se infiere B. En otras palabras: todas las expresiones verdaderas tienen una demostraci\u00f3n. Esto es lo que llamamos completitud. Esto se puede inferir de un modo sencillo.<\/p>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">Esto se puede inferir de un modo sencillo. Supongamos que a partir de A no se puede inferir B, o mejor dicho <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\neg(A\\vdash B)<\/span><\/span>, por el teorema de deducci\u00f3n esto es equivalente a decir que: <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\neg (\\vdash A\\rightarrow B)<\/span><\/span>; ahora, si recurrimos a la solvencia, esto nos conduce a que <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\neg(\\models A \\rightarrow B)<\/span><\/span>, que por el reciproco del teorema de deducci\u00f3n (versi\u00f3n sem\u00e1ntica) es equivalente a <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\neg(A\\models B)<\/span><\/span>. En s\u00edntesis, lo que tenemos es que<\/p>\n<p style=\"text-align: center; color: #000000;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\neg(A\\vdash B) \\Rightarrow \\neg(A\\models B) <\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">Que es equivalente a decir<\/p>\n<p style=\"text-align: center; color: #000000;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(A\\models B) \\Rightarrow (A\\vdash B) <\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">Esto quiere decir que, si A modela a B, entonces a partir de A se infiere B. Y si utilizamos los respectivos teoremas de deducci\u00f3n podemos obtener<\/p>\n<p style=\"text-align: center; color: #000000;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(\\models A\\rightarrow B) \\Rightarrow (\\vdash A \\rightarrow B) <\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">Es decir: si una expresi\u00f3n es tautolog\u00eda, entonces es un teorema; y como hemos visto, los teoremas son el resultado de una demostraci\u00f3n.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Completitud y solvencia en la l\u00f3gica proposicional RESUMENEn esta clase se aborda la relaci\u00f3n entre la completitud y la solvencia en la l\u00f3gica proposicional. A pesar de que se han discutido ampliamente las t\u00e9cnicas de deducci\u00f3n y la sem\u00e1ntica en la l\u00f3gica proposicional, se ha prestado poca atenci\u00f3n a la relaci\u00f3n entre ambas facetas. 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Licenciado en F\u00edsica, Magister en Ingenier\u00eda Industrial y Docente Universitario. Me dedico a desmitificar la f\u00edsica y las matem\u00e1ticas. Mi objetivo es hacer que estos campos sean f\u00e1cilmente comprensibles para todos, proporcionando las herramientas para explorar no solo el mundo que nos rodea, sino tambi\u00e9n las profundidades de nuestra propia existencia y el orden natural que nos conecta con el cosmos.\",\"sameAs\":[\"http:\\\/\\\/toposuranos.com\\\/material\"],\"url\":\"https:\\\/\\\/toposuranos.com\\\/material\\\/author\\\/giorgio-reveco\\\/\"}]}<\/script>\n<!-- \/ Yoast SEO plugin. -->","yoast_head_json":{"title":"Completitud y solvencia en la l\u00f3gica proposicional - toposuranos.com\/material","description":"Comprende al fin la relaci\u00f3n entre completitud y solvencia en la l\u00f3gica proposicional, c\u00f3mo estas propiedades fundamentales aseguran la validez y coherencia en sistemas l\u00f3gicos","robots":{"index":"index","follow":"follow","max-snippet":"max-snippet:-1","max-image-preview":"max-image-preview:large","max-video-preview":"max-video-preview:-1"},"canonical":"https:\/\/toposuranos.com\/material\/es\/completitud-y-solvencia-en-la-logica-proposicional\/","og_locale":"es_ES","og_type":"article","og_title":"Completitud y solvencia en la l\u00f3gica proposicional","og_description":"Comprende al fin la relaci\u00f3n entre completitud y solvencia en la l\u00f3gica proposicional, c\u00f3mo estas propiedades fundamentales aseguran la validez y coherencia en sistemas l\u00f3gicos","og_url":"https:\/\/toposuranos.com\/material\/es\/completitud-y-solvencia-en-la-logica-proposicional\/","og_site_name":"toposuranos.com\/material","article_publisher":"https:\/\/www.facebook.com\/groups\/toposuranos","article_published_time":"2021-04-08T13:00:52+00:00","article_modified_time":"2024-08-22T08:11:35+00:00","og_image":[{"width":1280,"height":720,"url":"https:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-content\/uploads\/2024\/08\/semantic.jpg","type":"image\/jpeg"}],"author":"giorgio.reveco","twitter_card":"summary_large_image","twitter_title":"Completitud y solvencia en la l\u00f3gica proposicional","twitter_description":"Comprende al fin la relaci\u00f3n entre completitud y solvencia en la l\u00f3gica proposicional, c\u00f3mo estas propiedades fundamentales aseguran la validez y coherencia en sistemas l\u00f3gicos","twitter_image":"https:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-content\/uploads\/2024\/08\/semantic.jpg","twitter_creator":"@topuranos","twitter_site":"@topuranos","twitter_misc":{"Escrito por":"giorgio.reveco","Tiempo de lectura":"1 minuto"},"schema":{"@context":"https:\/\/schema.org","@graph":[{"@type":"Article","@id":"https:\/\/toposuranos.com\/material\/es\/completitud-y-solvencia-en-la-logica-proposicional\/#article","isPartOf":{"@id":"https:\/\/toposuranos.com\/material\/es\/completitud-y-solvencia-en-la-logica-proposicional\/"},"author":{"name":"giorgio.reveco","@id":"https:\/\/toposuranos.com\/material\/#\/schema\/person\/e15164361c3f9a2a02cf6c234cf7fdc1"},"headline":"Completitud y solvencia en la l\u00f3gica proposicional","datePublished":"2021-04-08T13:00:52+00:00","dateModified":"2024-08-22T08:11:35+00:00","mainEntityOfPage":{"@id":"https:\/\/toposuranos.com\/material\/es\/completitud-y-solvencia-en-la-logica-proposicional\/"},"wordCount":933,"commentCount":0,"publisher":{"@id":"https:\/\/toposuranos.com\/material\/#organization"},"image":{"@id":"https:\/\/toposuranos.com\/material\/es\/completitud-y-solvencia-en-la-logica-proposicional\/#primaryimage"},"thumbnailUrl":"https:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-content\/uploads\/2024\/08\/semantic.jpg","articleSection":["L\u00f3gica Matem\u00e1tica","L\u00f3gica Proposicional","Matem\u00e1tica"],"inLanguage":"es","potentialAction":[{"@type":"CommentAction","name":"Comment","target":["https:\/\/toposuranos.com\/material\/es\/completitud-y-solvencia-en-la-logica-proposicional\/#respond"]}]},{"@type":"WebPage","@id":"https:\/\/toposuranos.com\/material\/es\/completitud-y-solvencia-en-la-logica-proposicional\/","url":"https:\/\/toposuranos.com\/material\/es\/completitud-y-solvencia-en-la-logica-proposicional\/","name":"Completitud y solvencia en la l\u00f3gica proposicional - 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