{"id":28021,"date":"2021-02-19T13:00:41","date_gmt":"2021-02-19T13:00:41","guid":{"rendered":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/?p=28021"},"modified":"2024-08-16T05:02:12","modified_gmt":"2024-08-16T05:02:12","slug":"semantique-de-la-logique-propositionnelle","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/toposuranos.com\/material\/fr\/semantique-de-la-logique-propositionnelle\/","title":{"rendered":"S\u00e9mantique de la Logique Propositionnelle"},"content":{"rendered":"<div style=\"background-color:#F3F3F3; padding:20px;\">\n<center><\/p>\n<h1>S\u00e9mantique de la Logique Propositionnelle<\/h1>\n<p><\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><strong>R\u00c9SUM\u00c9<\/strong><br \/><em>Dans cette le\u00e7on, nous \u00e9tudions la s\u00e9mantique de la logique propositionnelle, en particulier l&#8217;affectation des valeurs de v\u00e9rit\u00e9 \u00e0 une expression et la mani\u00e8re dont elles se propagent d&#8217;une expression \u00e0 une autre \u00e0 travers les connecteurs logiques. La notion de tables de v\u00e9rit\u00e9 est introduite, ainsi que les tables de v\u00e9rit\u00e9 des connecteurs d\u00e9riv\u00e9s tels que la n\u00e9gation, la disjonction, la conjonction, l&#8217;implication, la double implication et la disjonction exclusive. De plus, la d\u00e9finition d&#8217;une affectation sur un ensemble d&#8217;expressions atomiques est pr\u00e9sent\u00e9e, et il est expliqu\u00e9 comment elle s&#8217;\u00e9tend naturellement \u00e0 toutes les expressions pouvant \u00eatre construites \u00e0 partir de cet ensemble. Enfin, les d\u00e9finitions des expressions valides, satisfaisables et insatisfaisables sont \u00e9tablies, et des exemples de tautologies et de contradictions sont pr\u00e9sent\u00e9s. Cependant, il est reconnu que le calcul des tables de v\u00e9rit\u00e9 pour des expressions complexes peut \u00eatre inefficace, d&#8217;o\u00f9 la mention de la recherche de m\u00e9thodes alternatives pour r\u00e9soudre les probl\u00e8mes de validit\u00e9 ou de satisfaisabilit\u00e9.<\/em><\/p>\n<p><\/center><br \/>\n<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><strong>OBJECTIFS D&#8217;APPRENTISSAGE :<\/strong><br \/>\n\u00c0 la fin de cette le\u00e7on, l&#8217;\u00e9tudiant sera capable de :\n<\/p>\n<ol>\n<li><strong>Expliquer<\/strong> la s\u00e9mantique de la logique propositionnelle<\/li>\n<li><strong>Utiliser<\/strong> les tables de v\u00e9rit\u00e9 pour repr\u00e9senter les affectations des valeurs de v\u00e9rit\u00e9 des expressions en logique propositionnelle<\/li>\n<li><strong>Mod\u00e9liser<\/strong> une expression avec une affectation en logique propositionnelle<\/li>\n<li><strong>Appliquer<\/strong> les r\u00e8gles s\u00e9mantiques de la logique propositionnelle pour d\u00e9terminer si une expression est une tautologie, une contradiction ou une contingence<\/li>\n<\/ol>\n<p style=\"text-align:center;\"><strong>INDEX<\/strong><br \/>\n<a href=\"#1\">SUR LES AFFECTATIONS DES VALEURS DE V\u00c9RIT\u00c9<\/a><br \/>\n<a href=\"#2\">S\u00c9MANTIQUE DES CONNECTEURS EN LOGIQUE PROPOSITIONNELLE<\/a><br \/>\n<a href=\"#3\">AFFECTATIONS EN LOGIQUE PROPOSITIONNELLE<\/a><br \/>\n<a href=\"#4\">MOD\u00c8LES EN LOGIQUE PROPOSITIONNELLE<\/a><br \/>\n<a href=\"#5\">UN PROBL\u00c8ME D&#8217;EFFICACIT\u00c9 DANS LA S\u00c9MANTIQUE DE LA LOGIQUE PROPOSITIONNELLE<\/a><\/p>\n<p><center><iframe class=\"lazyload\" width=\"560\" height=\"315\" data-src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/tX_JVhn-wl0\" frameborder=\"0\" allow=\"accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture\" allowfullscreen=\"allowfullscreen\"><\/iframe><\/center><\/div>\n<p><a name=\"1\"><\/a><br \/>\n<\/br><\/br><\/p>\n<h2>Sur les Affectations des Valeurs de V\u00e9rit\u00e9<\/h2>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\"><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=tX_JVhn-wl0&amp;t=7s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">Nous avons pr\u00e9c\u00e9demment examin\u00e9<\/span><\/strong><\/a> la syntaxe et les syst\u00e8mes d\u00e9ductifs de la logique propositionnelle. Bien que cela nous ait permis d&#8217;examiner la mani\u00e8re dont on peut obtenir des expressions \u00e0 partir d&#8217;autres, nous n&#8217;avons pas encore abord\u00e9 l&#8217;affectation des valeurs de v\u00e9rit\u00e9. Comme nous avons d\u00e9j\u00e0 discut\u00e9 de tout ce qu&#8217;il y a \u00e0 dire sur les techniques de d\u00e9duction en logique propositionnelle, nous allons maintenant commencer notre \u00e9tude sur la s\u00e9mantique de la logique propositionnelle, o\u00f9 nous examinerons comment les affectations des valeurs de v\u00e9rit\u00e9 se propagent d&#8217;une expression \u00e0 une autre.<\/p>\n<p><a name=\"2\"><\/a><br \/>\n<\/br><\/br><\/p>\n<h2>S\u00e9mantique des Connecteurs en Logique Propositionnelle<\/h2>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">La s\u00e9mantique des connecteurs est introduite \u00e0 travers les <strong>tables de v\u00e9rit\u00e9,<\/strong> car elles fournissent un moyen simple et ordonn\u00e9 de repr\u00e9senter toutes les affectations possibles d&#8217;une expression.<\/p>\n<h3>Table de V\u00e9rit\u00e9 de la N\u00e9gation Conjointe<\/h3>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\"><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=tX_JVhn-wl0&amp;t=282s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">Nous commencerons tout d&#8217;abord<\/span><\/strong><\/a> par le connecteur le plus fondamental de tous, qui est la n\u00e9gation conjointe. Sa table de v\u00e9rit\u00e9 est la suivante :<\/p>\n<table style=\"color: #000000;\">\n<tbody>\n<tr>\n<td style=\"text-align: center; background-color: #88ff88;\"><strong><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\alpha<\/span><\/span><\/strong><\/td>\n<td style=\"text-align: center; background-color: #88ff88;\"><strong><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\beta<\/span><\/span><\/strong><\/td>\n<td style=\"text-align: center; background-color: #88ff88;\"><strong><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(\\alpha\\downarrow\\beta)<\/span><\/span><\/strong><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"text-align: center;\">0<\/td>\n<td style=\"text-align: center;\">0<\/td>\n<td style=\"text-align: center; background-color: #ccffcc;\">1<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"text-align: center;\">0<\/td>\n<td style=\"text-align: center;\">1<\/td>\n<td style=\"text-align: center; background-color: #ccffcc;\">0<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"text-align: center;\">1<\/td>\n<td style=\"text-align: center;\">0<\/td>\n<td style=\"text-align: center; background-color: #ccffcc;\">0<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"text-align: center;\">1<\/td>\n<td style=\"text-align: center;\">1<\/td>\n<td style=\"text-align: center; background-color: #ccffcc;\">0<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">Les valeurs \u00ab1\u00bb et \u00ab0\u00bb correspondent \u00e0 \u00abVrai\u00bb et \u00abFaux\u00bb, respectivement. Chaque ligne de la table de v\u00e9rit\u00e9 est une affectation possible des variables (ou des expressions atomiques) qui composent l&#8217;expression (ou les expressions) \u00e0 \u00e9tudier. De m\u00eame, chaque colonne contenant une expression form\u00e9e par ces variables pr\u00e9sente les r\u00e9sultats possibles de ces affectations. Ainsi, l&#8217;interpr\u00e9tation de cette table nous indique que <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\alpha\\downarrow\\beta<\/span><\/span> est vrai seulement lorsque <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\alpha<\/span><\/span> et <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\beta<\/span><\/span> sont tous deux faux en m\u00eame temps, et faux dans les autres cas. C&#8217;est pourquoi le connecteur <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\downarrow<\/span><\/span> est appel\u00e9 <strong>n\u00e9gation conjointe.<\/strong><\/p>\n<h3>Tables de V\u00e9rit\u00e9 des Connecteurs D\u00e9riv\u00e9s<\/h3>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">\u00c0 partir de la s\u00e9mantique de la n\u00e9gation conjointe, il est possible de d\u00e9river celles des autres connecteurs via leurs d\u00e9finitions. Les voici :<\/p>\n<table style=\"color: #000000;\">\n<tbody>\n<tr>\n<td><span><strong>N\u00e9gation :<\/strong><\/span><\/td>\n<td><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\neg \\alpha<\/span><\/span><\/td>\n<td><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">:=<\/span><\/span><\/td>\n<td><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(\\alpha\\downarrow\\alpha)<\/span><\/span><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td><strong>Disjonction Inclusive :<\/strong><\/td>\n<td><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(\\alpha \\vee \\beta)<\/span><\/span><\/td>\n<td><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">:=<\/span><\/span><\/td>\n<td><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\neg(\\alpha\\downarrow\\beta)<\/span><\/span><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td><strong>Conjonction :<\/strong><\/td>\n<td><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(\\alpha \\wedge \\beta)<\/span><\/span><\/td>\n<td><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">:=<\/span><\/span><\/td>\n<td><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\neg(\\neg\\alpha\\vee \\neg\\beta)<\/span><\/span><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td><strong>Implication :<\/strong><\/td>\n<td><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(\\alpha \\rightarrow \\beta)<\/span><\/span><\/td>\n<td><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">:=<\/span><\/span><\/td>\n<td><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(\\neg\\alpha\\vee \\beta)<\/span><\/span><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td><strong>Double Implication :<\/strong><\/td>\n<td><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(\\alpha \\leftrightarrow \\beta)<\/span><\/span><\/td>\n<td><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">:=<\/span><\/span><\/td>\n<td><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">((\\alpha\\rightarrow \\beta)\\wedge(\\beta \\rightarrow \\alpha))<\/span><\/span><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td><strong>Disjonction Exclusive :<\/strong><\/td>\n<td><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(\\alpha \\underline{\\vee} \\beta)<\/span><\/span><\/td>\n<td><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">:=<\/span><\/span><\/td>\n<td><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\neg(\\alpha\\leftrightarrow \\beta)<\/span><\/span><\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">\u00c0 partir de ces d\u00e9finitions, il est possible de calculer les tables de v\u00e9rit\u00e9 des autres connecteurs :<\/p>\n<h4>N\u00e9gation<\/h4>\n<table style=\"color: #000000;\">\n<tbody>\n<tr>\n<td style=\"text-align: center; background-color: #88ff88;\"><strong><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\alpha<\/span><\/span><\/strong><\/td>\n<td style=\"text-align: center; background-color: #88ff88;\"><strong><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\neg \\alpha<\/span><\/span><\/strong><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"text-align: center;\">0<\/td>\n<td style=\"text-align: center; background-color: #ccffcc;\">1<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"text-align: center;\">1<\/td>\n<td style=\"text-align: center; background-color: #ccffcc;\">0<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\"><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=tX_JVhn-wl0&amp;t=335s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">De l\u00e0 d\u00e9coule<\/span><\/strong><\/a> le fait que le connecteur de n\u00e9gation a la propri\u00e9t\u00e9 d&#8217;inverser la valeur de v\u00e9rit\u00e9 de l&#8217;expression \u00e0 laquelle il est appliqu\u00e9.<\/p>\n<h4>Disjonction Inclusive<\/h4>\n<table style=\"color: #000000;\">\n<tbody>\n<tr>\n<td style=\"text-align: center; background-color: #88ff88;\"><strong><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\alpha<\/span><\/span><\/strong><\/td>\n<td style=\"text-align: center; background-color: #88ff88;\"><strong><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\beta<\/span><\/span><\/strong><\/td>\n<td style=\"text-align: center; background-color: #88ff88;\"><strong><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(\\alpha\\vee\\beta)<\/span><\/span><\/strong><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"text-align: center;\">0<\/td>\n<td style=\"text-align: center;\">0<\/td>\n<td style=\"text-align: center; background-color: #ccffcc;\">0<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"text-align: center;\">0<\/td>\n<td style=\"text-align: center;\">1<\/td>\n<td style=\"text-align: center; background-color: #ccffcc;\">1<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"text-align: center;\">1<\/td>\n<td style=\"text-align: center;\">0<\/td>\n<td style=\"text-align: center; background-color: #ccffcc;\">1<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"text-align: center;\">1<\/td>\n<td style=\"text-align: center;\">1<\/td>\n<td style=\"text-align: center; background-color: #ccffcc;\">1<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\"><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=tX_JVhn-wl0&amp;t=383s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">C&#8217;est pourquoi<\/span><\/strong><\/a> la disjonction inclusive (ou simplement \u00abdisjonction\u00bb) entre deux expressions est vraie si au moins l&#8217;une des expressions est vraie, et fausse lorsque les deux expressions sont fausses en m\u00eame temps.<\/p>\n<h4>Conjonction<\/h4>\n<table style=\"color: #000000;\">\n<tbody>\n<tr>\n<td style=\"text-align: center; background-color: #88ff88;\"><strong><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\alpha<\/span><\/span><\/strong><\/td>\n<td style=\"text-align: center; background-color: #88ff88;\"><strong><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\beta<\/span><\/span><\/strong><\/td>\n<td style=\"text-align: center; background-color: #88ff88;\"><strong><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(\\alpha\\wedge\\beta)<\/span><\/span><\/strong><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"text-align: center;\">0<\/td>\n<td style=\"text-align: center;\">0<\/td>\n<td style=\"text-align: center; background-color: #ccffcc;\">0<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"text-align: center;\">0<\/td>\n<td style=\"text-align: center;\">1<\/td>\n<td style=\"text-align: center; background-color: #ccffcc;\">0<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"text-align: center;\">1<\/td>\n<td style=\"text-align: center;\">0<\/td>\n<td style=\"text-align: center; background-color: #ccffcc;\">0<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"text-align: center;\">1<\/td>\n<td style=\"text-align: center;\">1<\/td>\n<td style=\"text-align: center; background-color: #ccffcc;\">1<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\"><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=tX_JVhn-wl0&amp;t=444s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">En cons\u00e9quence,<\/span><\/strong><\/a> la conjonction entre deux expressions est vraie seulement si les deux expressions sont vraies en m\u00eame temps, et fausse dans les autres cas. C&#8217;est pourquoi un nom appropri\u00e9 pour ce connecteur pourrait aussi \u00eatre \u00abaffirmation conjointe\u00bb.<\/p>\n<h4>Implication<\/h4>\n<table style=\"color: #000000;\">\n<tbody>\n<tr>\n<td style=\"text-align: center; background-color: #88ff88;\"><strong><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\alpha<\/span><\/span><\/strong><\/td>\n<td style=\"text-align: center; background-color: #88ff88;\"><strong><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\beta<\/span><\/span><\/strong><\/td>\n<td style=\"text-align: center; background-color: #88ff88;\"><strong><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(\\alpha\\rightarrow\\beta)<\/span><\/span><\/strong><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"text-align: center;\">0<\/td>\n<td style=\"text-align: center;\">0<\/td>\n<td style=\"text-align: center; background-color: #ccffcc;\">1<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"text-align: center;\">0<\/td>\n<td style=\"text-align: center;\">1<\/td>\n<td style=\"text-align: center; background-color: #ccffcc;\">1<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"text-align: center;\">1<\/td>\n<td style=\"text-align: center;\">0<\/td>\n<td style=\"text-align: center; background-color: #ccffcc;\">0<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"text-align: center;\">1<\/td>\n<td style=\"text-align: center;\">1<\/td>\n<td style=\"text-align: center; background-color: #ccffcc;\">1<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\"><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=tX_JVhn-wl0&amp;t=555s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">Ainsi,<\/span><\/strong><\/a> la table de v\u00e9rit\u00e9 de l&#8217;implication r\u00e9sume la notion selon laquelle une expression vraie ne peut impliquer qu&#8217;une autre expression vraie, mais une expression fausse peut impliquer n&#8217;importe quoi.<\/p>\n<h4>Double Implication<\/h4>\n<table style=\"color: #000000;\">\n<tbody>\n<tr>\n<td style=\"text-align: center; background-color: #88ff88;\"><strong><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\alpha<\/span><\/span><\/strong><\/td>\n<td style=\"text-align: center; background-color: #88ff88;\"><strong><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\beta<\/span><\/span><\/strong><\/td>\n<td style=\"text-align: center; background-color: #88ff88;\"><strong><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(\\alpha\\leftrightarrow\\beta)<\/span><\/span><\/strong><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"text-align: center;\">0<\/td>\n<td style=\"text-align: center;\">0<\/td>\n<td style=\"text-align: center; background-color: #ccffcc;\">1<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"text-align: center;\">0<\/td>\n<td style=\"text-align: center;\">1<\/td>\n<td style=\"text-align: center; background-color: #ccffcc;\">0<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"text-align: center;\">1<\/td>\n<td style=\"text-align: center;\">0<\/td>\n<td style=\"text-align: center; background-color: #ccffcc;\">0<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"text-align: center;\">1<\/td>\n<td style=\"text-align: center;\">1<\/td>\n<td style=\"text-align: center; background-color: #ccffcc;\">1<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\"><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=tX_JVhn-wl0&amp;t=641s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">La double implication<\/span><\/strong><\/a> forme une expression vraie d\u00e8s que les deux expressions qui la composent ont les m\u00eames valeurs de v\u00e9rit\u00e9, et fausse dans les autres cas.<\/p>\n<h4>Disjonction Exclusive<\/h4>\n<table style=\"color: #000000;\">\n<tbody>\n<tr>\n<td style=\"text-align: center; background-color: #88ff88;\"><strong><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\alpha<\/span><\/span><\/strong><\/td>\n<td style=\"text-align: center; background-color: #88ff88;\"><strong><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\beta<\/span><\/span><\/strong><\/td>\n<td style=\"text-align: center; background-color: #88ff88;\"><strong><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(\\alpha\\underline{\\vee}\\beta)<\/span><\/span><\/strong><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"text-align: center;\">0<\/td>\n<td style=\"text-align: center;\">0<\/td>\n<td style=\"text-align: center; background-color: #ccffcc;\">0<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"text-align: center;\">0<\/td>\n<td style=\"text-align: center;\">1<\/td>\n<td style=\"text-align: center; background-color: #ccffcc;\">1<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"text-align: center;\">1<\/td>\n<td style=\"text-align: center;\">0<\/td>\n<td style=\"text-align: center; background-color: #ccffcc;\">1<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"text-align: center;\">1<\/td>\n<td style=\"text-align: center;\">1<\/td>\n<td style=\"text-align: center; background-color: #ccffcc;\">0<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\"><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=tX_JVhn-wl0&amp;t=702s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">La disjonction exclusive<\/span><\/strong><\/a> entre deux expressions est vraie lorsque l&#8217;une, et seulement l&#8217;une, des expressions est vraie, et fausse dans les autres cas.<\/p>\n<p><a name=\"3\"><\/a><br \/>\n<\/br><\/br><\/p>\n<h2>Affectations en Logique Propositionnelle<\/h2>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\"><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=tX_JVhn-wl0&amp;t=857s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">Avec ce qui pr\u00e9c\u00e8de<\/span><\/strong><\/a>, nous avons une notion simple de ce qu&#8217;est une affectation; cependant, pour les d\u00e9veloppements futurs, nous aurons besoin de quelque chose de plus pr\u00e9cis. Si <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">S=\\{A_1, A_2, \\cdots, A_n\\}<\/span><\/span> est un ensemble d&#8217;expressions atomiques et <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\mathcal{F}(S)<\/span><\/span> l&#8217;ensemble de toutes les expressions qui peuvent \u00eatre construites \u00e0 partir des expressions de <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">S<\/span><\/span>, alors nous avons la d\u00e9finition suivante :<\/p>\n<p><\/br><\/p>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\"><span style=\"color: #880000;\"><strong>D\u00c9FINITION :<\/strong><\/span> Une <strong>affectation<\/strong> sur <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">S<\/span><\/span> est une fonction <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\mathcal{A}: S \\longrightarrow \\{0,1\\}<\/span><\/span><\/p>\n<p><\/br><\/p>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">En d&#8217;autres termes, une affectation sur <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">S<\/span><\/span> fournit une valeur de v\u00e9rit\u00e9 \u00e0 chaque expression atomique de <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">S<\/span><\/span>. Une affectation <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\mathcal{A}<\/span><\/span> sur <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">S<\/span><\/span> s&#8217;\u00e9tend naturellement \u00e0 tous les \u00e9l\u00e9ments de <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\mathcal{F}(S)<\/span><\/span>. Si nous avons une expression <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">F\\in \\mathcal{F}(S)<\/span><\/span>, alors une affectation <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\mathcal{A}<\/span><\/span> sur <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">S<\/span><\/span> correspond \u00e0 une seule ligne de la table de v\u00e9rit\u00e9 de <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">F<\/span><\/span> et <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\mathcal{A}(F)<\/span><\/span> est la valeur de v\u00e9rit\u00e9 de <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">F<\/span><\/span> dans cette ligne.<\/p>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">Une affectation <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\mathcal{A}<\/span><\/span> sur <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">S<\/span><\/span> peut \u00e9galement s&#8217;\u00e9tendre \u00e0 certaines expressions qui ne sont pas dans <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\mathcal{F}(S)<\/span><\/span>. Si <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">F_0<\/span><\/span> est une expression qui ne fait pas partie de <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\mathcal{F}(S)<\/span><\/span> et que <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">S_0<\/span><\/span> est l&#8217;ensemble des sous-formules atomiques de <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">F_0<\/span><\/span>, alors si toutes les extensions de <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\mathcal{A}<\/span><\/span> \u00e0 <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">S\\cup S_0<\/span><\/span> ont la m\u00eame valeur pour <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">F_0<\/span><\/span>, alors <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\mathcal{A}(F_0)<\/span><\/span> est d\u00e9fini comme cette valeur.<\/p>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\"><span style=\"color: #000088;\">EXEMPLE :<\/span> Si <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">A<\/span><\/span> et <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">B<\/span><\/span> sont des expressions atomiques et que <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\mathcal{A}<\/span><\/span> est une affectation sur <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\{A,B\\}<\/span><\/span> d\u00e9finie par <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\mathcal{A}(A)=1<\/span><\/span> et <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\mathcal{A}(B)=0<\/span><\/span>, alors nous aurons :<\/p>\n<p style=\"text-align: center; color: #000000;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\mathcal{A}(A\\wedge B)=0<\/span><\/span> et <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\mathcal{A}(A\\vee B)=1<\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">Et m\u00eame si une affectation sur une variable <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">C<\/span><\/span> n&#8217;a pas \u00e9t\u00e9 \u00e9tablie, on peut dire que :<\/p>\n<p style=\"text-align: center; color: #000000;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\mathcal{A}(A\\wedge (C\\vee \\neg C))=1<\/span><\/span> et <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\mathcal{A}(B\\vee (C\\wedge \\neg C))=0<\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">Cela se produit avec les deux derni\u00e8res expressions car, quelle que soit l&#8217;affectation de <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">C<\/span><\/span>, il se trouvera toujours que<\/p>\n<p style=\"text-align: center; color: #000000;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\mathcal{A}(C\\vee\\neg C)=1<\/span><\/span> et <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\mathcal{A}(C\\wedge\\neg C)=0<\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">Chose que nous pouvons v\u00e9rifier rapidement en calculant leurs tables de v\u00e9rit\u00e9.<\/p>\n<table style=\"color: #000000;\">\n<tbody>\n<tr>\n<td style=\"text-align: center; background-color: #88ff88;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">C<\/span><\/span><\/td>\n<td style=\"text-align: center; background-color: #88ff88;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\neg C<\/span><\/span><\/td>\n<td style=\"text-align: center; background-color: #88ff88;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(C\\wedge \\neg C)<\/span><\/span><\/td>\n<td style=\"text-align: center; background-color: #88ff88;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(C \\vee \\neg C)<\/span><\/span><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"text-align: center;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">0<\/span><\/span><\/td>\n<td style=\"text-align: center;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">1<\/span><\/span><\/td>\n<td style=\"text-align: center;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">0<\/span><\/span><\/td>\n<td style=\"text-align: center;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">1<\/span><\/span><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"text-align: center;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">1<\/span><\/span><\/td>\n<td style=\"text-align: center;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">0<\/span><\/span><\/td>\n<td style=\"text-align: center;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">0<\/span><\/span><\/td>\n<td style=\"text-align: center;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">1<\/span><\/span><\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p>\u25a0 Fin de l&#8217;exemple<\/p>\n<p><a name=\"4\"><\/a><br \/>\n<\/br><\/br><\/p>\n<h2>Mod\u00e8les en Logique Propositionnelle<\/h2>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\"><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=tX_JVhn-wl0&amp;t=1323s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">Consid\u00e9rons une affectation<\/span><\/strong><\/a> <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\mathcal{A}<\/span><\/span> sur un ensemble d&#8217;expressions <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">S<\/span><\/span>. Si <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">F\\in S<\/span><\/span> est telle que <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\mathcal{A}(F)=1<\/span><\/span>, alors on dit que l&#8217;affectation <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\mathcal{A}<\/span><\/span> mod\u00e9lise <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">F<\/span><\/span>, ou que l&#8217;expression <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">F<\/span><\/span> est soutenue par l&#8217;affectation <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\mathcal{A}<\/span><\/span>, et on le repr\u00e9sente par l&#8217;\u00e9criture suivante :<\/p>\n<p style=\"text-align: center; color: #000000;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\mathcal{A}\\models F<\/span><\/span>.<\/p>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">Et, \u00e0 partir de cela, les d\u00e9finitions suivantes sont \u00e9tablies :<\/p>\n<p><\/br><\/p>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\"><span style=\"color: #880000;\"><strong>D\u00c9FINITION :<\/strong><\/span> On dit qu&#8217;une expression est <strong>valide<\/strong> lorsqu&#8217;elle est soutenue par toute affectation. Si <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">F<\/span><\/span> est valide, on \u00e9crit <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\models F <\/span><\/span>. Les expressions valides sont \u00e9galement appel\u00e9es <strong>tautologie.<\/strong><\/p>\n<p><\/br><\/p>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\"><span style=\"color: #000088;\">EXEMPLE :<\/span> L&#8217;expression <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(C\\vee \\neg C)<\/span><\/span>, que nous avons d\u00e9j\u00e0 vue, est une <strong>tautologie.<\/strong><\/p>\n<p>\u25a0 Fin de l&#8217;exemple<\/p>\n<p><\/br><\/p>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\"><span style=\"color: #880000;\"><strong>D\u00c9FINITION :<\/strong><\/span> On dit qu&#8217;une expression est <strong>satisfaisable<\/strong> si elle est soutenue par une affectation. Les expressions satisfaisables qui ne sont pas des tautologies sont appel\u00e9es <strong>contingences.<\/strong><\/p>\n<p><\/br><\/p>\n<p><\/br><\/p>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\"><span style=\"color: #880000;\"><strong>D\u00c9FINITION :<\/strong><\/span> On dit qu&#8217;une expression est <strong>insatisfaisable<\/strong> si elle n&#8217;est soutenue par aucune affectation. Les expressions insatisfaisables sont appel\u00e9es <strong>contradictions.<\/strong> Si <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">F<\/span><\/span> est une contradiction, on \u00e9crit <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\not\\models F <\/span><\/span>.<\/p>\n<p><\/br><\/p>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\"><span style=\"color: #000088;\">EXEMPLE :<\/span> L&#8217;expression <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(C\\wedge \\neg C)<\/span><\/span>, que nous avons d\u00e9j\u00e0 vue, est une <strong>contradiction.<\/strong><\/p>\n<p>\u25a0 Fin de l&#8217;exemple<\/p>\n<h3>Exemples de Tautologies et de Contradictions<\/h3>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">Supposons que nous voulions savoir si une expression est valide ou non. Ce que nous venons de poser est un <strong>probl\u00e8me de d\u00e9cision<\/strong> dans la S\u00e9mantique de la Logique Propositionnelle. Un probl\u00e8me de d\u00e9cision est tout probl\u00e8me qui, \u00e9tant donn\u00e9 une certaine entr\u00e9e, a pour r\u00e9sultat un \u00aboui\u00bb ou un \u00abnon\u00bb. Si l&#8217;on nous donne une expression <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">F<\/span><\/span> et que l&#8217;on se demande si elle est valide ou non, alors nous sommes confront\u00e9s \u00e0 un probl\u00e8me de d\u00e9cision que l&#8217;on appelle <strong>probl\u00e8me de validit\u00e9.<\/strong> De m\u00eame, si l&#8217;on se demande si elle est satisfaisable ou non, nous sommes confront\u00e9s \u00e0 un <strong>probl\u00e8me de satisfaisabilit\u00e9.<\/strong> En logique propositionnelle, les tables de v\u00e9rit\u00e9 offrent une approche syst\u00e9matique pour r\u00e9soudre ces probl\u00e8mes de d\u00e9cision : si toutes les valeurs de v\u00e9rit\u00e9 possibles de <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">F<\/span><\/span> sont \u00ab1\u00bb, alors <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">F<\/span><\/span> est valide ; si seules certaines sont \u00ab1\u00bb, alors elle est satisfaisable ; et enfin, si toutes sont \u00ab0\u00bb, alors elle est insatisfaisable.<\/p>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\"><span style=\"color: #000088;\">EXEMPLE :<\/span> Consid\u00e9rons l&#8217;expression <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">((A\\wedge (A \\rightarrow B)) \\rightarrow B)<\/span><\/span>. Pour d\u00e9terminer si cette expression est valide, satisfaisable ou contradictoire, faisons sa table de v\u00e9rit\u00e9.<\/p>\n<table style=\"color: #000000;\">\n<tbody>\n<tr>\n<td style=\"text-align: center; background-color: #eeeeee;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">A<\/span><\/span><\/td>\n<td style=\"text-align: center; background-color: #eeeeee;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">B<\/span><\/span><\/td>\n<td style=\"text-align: center; background-color: #eeeeee;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(A\\rightarrow B)<\/span><\/span><\/td>\n<td style=\"text-align: center; background-color: #eeeeee;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(A\\wedge(A\\rightarrow B))<\/span><\/span><\/td>\n<td style=\"text-align: center; background-color: #88ff88;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">((A\\wedge(A\\rightarrow B))\\rightarrow B)<\/span><\/span><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"text-align: center;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">0<\/span><\/span><\/td>\n<td style=\"text-align: center;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">0<\/span><\/span><\/td>\n<td style=\"text-align: center;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">1<\/span><\/span><\/td>\n<td style=\"text-align: center;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">0<\/span><\/span><\/td>\n<td style=\"text-align: center; background-color: #aaffaa;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">1<\/span><\/span><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"text-align: center;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">0<\/span><\/span><\/td>\n<td style=\"text-align: center;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">1<\/span><\/span><\/td>\n<td style=\"text-align: center;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">1<\/span><\/span><\/td>\n<td style=\"text-align: center;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">0<\/span><\/span><\/td>\n<td style=\"text-align: center; background-color: #aaffaa;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">1<\/span><\/span><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"text-align: center;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">1<\/span><\/span><\/td>\n<td style=\"text-align: center;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">0<\/span><\/span><\/td>\n<td style=\"text-align: center;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">0<\/span><\/span><\/td>\n<td style=\"text-align: center;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">0<\/span><\/span><\/td>\n<td style=\"text-align: center; background-color: #aaffaa;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">1<\/span><\/span><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"text-align: center;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">1<\/span><\/span><\/td>\n<td style=\"text-align: center;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">1<\/span><\/span><\/td>\n<td style=\"text-align: center;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">1<\/span><\/span><\/td>\n<td style=\"text-align: center;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">1<\/span><\/span><\/td>\n<td style=\"text-align: center; background-color: #aaffaa;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">1<\/span><\/span><\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">Avec cela, nous voyons que <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">((A\\wedge(A\\rightarrow B))\\rightarrow B)<\/span><\/span> a une valeur de v\u00e9rit\u00e9 \u00ab1\u00bb pour toutes les affectations possibles, donc l&#8217;expression est une tautologie.<\/p>\n<p>\u25a0 Fin de l&#8217;exemple<\/p>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\"><span style=\"color: #000088;\">EXEMPLE :<\/span> Consid\u00e9rons maintenant l&#8217;expression <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(((A\\rightarrow B)\\rightarrow A)\\wedge \\neg A)<\/span><\/span>. Le calcul de la table de v\u00e9rit\u00e9 nous donne ce qui suit :<\/p>\n<table style=\"color: #000000;\">\n<tbody>\n<tr>\n<td style=\"text-align: center; background-color: #eeeeee;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">A<\/span><\/span><\/td>\n<td style=\"text-align: center; background-color: #eeeeee;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">B<\/span><\/span><\/td>\n<td style=\"text-align: center; background-color: #eeeeee;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(A\\rightarrow B)<\/span><\/span><\/td>\n<td style=\"text-align: center; background-color: #eeeeee;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">((A\\rightarrow B)\\rightarrow A)<\/span><\/span><\/td>\n<td style=\"text-align: center; background-color: #eeeeee;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\neg A<\/span><\/span><\/td>\n<td style=\"text-align: center; background-color: #88ff88;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(((A\\rightarrow B)\\rightarrow A)\\wedge \\neg A)<\/span><\/span><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"text-align: center;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">0<\/span><\/span><\/td>\n<td style=\"text-align: center;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">0<\/span><\/span><\/td>\n<td style=\"text-align: center;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">1<\/span><\/span><\/td>\n<td style=\"text-align: center;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">0<\/span><\/span><\/td>\n<td style=\"text-align: center;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">1<\/span><\/span><\/td>\n<td style=\"text-align: center; background-color: #aaffaa;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">0<\/span><\/span><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"text-align: center;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">0<\/span><\/span><\/td>\n<td style=\"text-align: center;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">1<\/span><\/span><\/td>\n<td style=\"text-align: center;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">1<\/span><\/span><\/td>\n<td style=\"text-align: center;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">0<\/span><\/span><\/td>\n<td style=\"text-align: center;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">1<\/span><\/span><\/td>\n<td style=\"text-align: center; background-color: #aaffaa;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">0<\/span><\/span><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"text-align: center;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">1<\/span><\/span><\/td>\n<td style=\"text-align: center;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">0<\/span><\/span><\/td>\n<td style=\"text-align: center;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">0<\/span><\/span><\/td>\n<td style=\"text-align: center;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">1<\/span><\/span><\/td>\n<td style=\"text-align: center;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">0<\/span><\/span><\/td>\n<td style=\"text-align: center; background-color: #aaffaa;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">0<\/span><\/span><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"text-align: center;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">1<\/span><\/span><\/td>\n<td style=\"text-align: center;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">1<\/span><\/span><\/td>\n<td style=\"text-align: center;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">1<\/span><\/span><\/td>\n<td style=\"text-align: center;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">1<\/span><\/span><\/td>\n<td style=\"text-align: center;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">0<\/span><\/span><\/td>\n<td style=\"text-align: center; background-color: #aaffaa;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">0<\/span><\/span><\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">Donc, le r\u00e9sultat est une contradiction.<\/p>\n<p>\u25a0 Fin de l&#8217;exemple<\/p>\n<p><a name=\"5\"><\/a><br \/>\n<\/br><\/br><\/p>\n<h2>Un Probl\u00e8me d&#8217;Efficacit\u00e9 dans la S\u00e9mantique de la Logique Propositionnelle<\/h2>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">En th\u00e9orie, nous pouvons d\u00e9terminer si une expression est valide, contingente ou insatisfaisable simplement en calculant sa table de v\u00e9rit\u00e9, ce qui n&#8217;est pas particuli\u00e8rement difficile ; malheureusement, la facilit\u00e9 d&#8217;ex\u00e9cution se fait au d\u00e9triment de l&#8217;efficacit\u00e9. Si nous avons une expression <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">F<\/span><\/span> compos\u00e9e de <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">n<\/span><\/span> expressions atomiques, alors nous devrons calculer une table de v\u00e9rit\u00e9 avec <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">2^n<\/span><\/span> lignes ; ainsi, par exemple, si <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">F<\/span><\/span> est compos\u00e9e de 23 expressions atomiques, alors sa table de v\u00e9rit\u00e9 aura 8.388.608 lignes \u00e0 calculer. En proc\u00e9dant de cette mani\u00e8re, bien que m\u00e9canique et facile \u00e0 r\u00e9aliser, le calcul devient rapidement impraticable \u00e0 mesure que la complexit\u00e9 des expressions augmente. Pour cette raison, l&#8217;un de nos objectifs futurs sera de trouver un moyen de r\u00e9soudre les probl\u00e8mes de validit\u00e9 ou de satisfaisabilit\u00e9 sans avoir besoin de calculer des tables de v\u00e9rit\u00e9. La recherche de telles m\u00e9thodes est l&#8217;un des probl\u00e8mes centraux de toute logique.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>S\u00e9mantique de la Logique Propositionnelle R\u00c9SUM\u00c9Dans cette le\u00e7on, nous \u00e9tudions la s\u00e9mantique de la logique propositionnelle, en particulier l&#8217;affectation des valeurs de v\u00e9rit\u00e9 \u00e0 une expression et la mani\u00e8re dont elles se propagent d&#8217;une expression \u00e0 une autre \u00e0 travers les connecteurs logiques. 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