{"id":27954,"date":"2024-08-17T13:00:38","date_gmt":"2024-08-17T13:00:38","guid":{"rendered":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/?p=27954"},"modified":"2024-08-16T01:00:23","modified_gmt":"2024-08-16T01:00:23","slug":"limites-laterales-definiciones-desarrollo-y-ejercicios","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/toposuranos.com\/material\/es\/limites-laterales-definiciones-desarrollo-y-ejercicios\/","title":{"rendered":"L\u00edmites Laterales: Definiciones, Desarrollo y Ejercicios"},"content":{"rendered":"<p><center><\/p>\n<h1>L\u00edmites Laterales: Definiciones, Desarrollo y Ejercicios<\/h1>\n<p><em><strong>Resumen:<\/strong><br \/>\nEste post explica los l\u00edmites laterales y bilaterales en c\u00e1lculo, mostrando c\u00f3mo se definen y se aplican tanto intuitiva como formalmente. Se presentan ejemplos gr\u00e1ficos y algebraicos, se discuten las condiciones para usar el \u00e1lgebra de l\u00edmites en estos casos, y se incluyen ejercicios resueltos para afianzar la comprensi\u00f3n. El objetivo es ofrecer una visi\u00f3n clara y concisa de estos conceptos fundamentales en el estudio del c\u00e1lculo.<\/em><\/p>\n<p><strong>Objetivos de Aprendizaje:<\/strong><br \/>\nAl finalizar esta clase el estudiante ser\u00e1 capaz de<\/p>\n<ul style=\"text-align:left;\">\n<li><strong>Comprender<\/strong> la diferencia entre l\u00edmites laterales y bilaterales.<\/li>\n<li><strong>Definir<\/strong> formalmente los l\u00edmites laterales por la derecha e izquierda.<\/li>\n<li><strong>Aplicar<\/strong> la definici\u00f3n de l\u00edmites laterales en problemas de c\u00e1lculo.<\/li>\n<li><strong>Interpretar<\/strong> gr\u00e1ficamente los l\u00edmites laterales y bilaterales.<\/li>\n<li><strong>Reconocer<\/strong> las condiciones necesarias para que exista un l\u00edmite bilateral.<\/li>\n<li><strong>Utilizar<\/strong> el \u00e1lgebra de l\u00edmites en contextos de l\u00edmites laterales.<\/li>\n<li><strong>Resolver<\/strong> ejercicios de c\u00e1lculo relacionados con l\u00edmites laterales.<\/li>\n<\/ul>\n<p><strong>\u00cdNDICE DE CONTENIDOS:<\/strong><br \/>\n<a href=\"#1\">Introducci\u00f3n<\/a><br \/>\n<a href=\"#2\">Idea intuitiva de L\u00edmites Laterales y Bilaterales<\/a><br \/>\n<a href=\"#3\">Definici\u00f3n Formal de Limites Laterales<\/a><br \/>\n<a href=\"#4\">Condiciones para el \u00e1lgebra de L\u00edmites<\/a><br \/>\n<a href=\"#5\">Ejercicios Propuestos y Resueltos<\/a><\/p>\n<p><iframe class=\"lazyload\" width=\"560\" height=\"315\" data-src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/8lkvxEHsF6c\" title=\"YouTube video player\" frameborder=\"0\" allow=\"accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture\" allowfullscreen=\"allowfullscreen\"><\/iframe><br \/>\n<\/center><\/p>\n<p><a name=\"1\"><\/a><\/p>\n<h2>Introducci\u00f3n<\/h2>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\"><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=8lkvxEHsF6c&amp;t=138s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">Los l\u00edmites laterales aparecen cuando nos encontramos con l\u00edmites que s\u00f3lo podr\u00edan existir por la izquierda o la derecha,<\/span><\/strong><\/a> pero no desde ambos lados. Los que hemos estudiado hasta ahora son presisamente de esta \u00faltima especie: para que el l\u00edmite de la funci\u00f3n <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f<\/span><\/span> cuando <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x\\to x_0<\/span><\/span> exista, es necesario que <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f<\/span><\/span> est\u00e9 bien definida a ambos lados de <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x_0<\/span><\/span>; si tal cosa no ocurre, entonces la definici\u00f3n de l\u00edmite no funcionar\u00e1. Como las situaciones en que se dan este tipo de l\u00edmites son frecuentes, es necesario encontrar una forma de tratar con ellos. Esto es resuelto a trav\u00e9s de una definici\u00f3n formal.<\/p>\n<p><a name=\"2\"><\/a><\/p>\n<h2>Idea intuitiva de L\u00edmites Laterales y Bilaterales<\/h2>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\"><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=8lkvxEHsF6c&amp;t=279s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">Para que exista el l\u00edmite de una funci\u00f3n<\/span><\/strong><\/a> <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f<\/span><\/span>, cuando <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x\\to x_0<\/span><\/span>, es necesario que la funci\u00f3n est\u00e9 bien definida a ambos lados de <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x_0<\/span><\/span>. Si esto ocurre, entonces hablamos de un l\u00edmite bi-lateral. Y si adem\u00e1s tal l\u00edmite diera por resultado <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">L<\/span><\/span>, entonces no habr\u00eda problema en escribir<\/p>\n<p style=\"text-align: center; color: #000000;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\lim_{x\\to x_0}f(x) = L<\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">Ahora, imaginemos que redefinimos esta funci\u00f3n de modo tal que su dominio s\u00f3lo incluya valores mayores que <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x_0<\/span><\/span>. Si hacemos esto, notaremos que el l\u00edmite ha dejado de existir (porque existir\u00e1n valores de <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x<\/span><\/span> para los que no tendr\u00e1 sentido); sin embargo, gr\u00e1ficamente a\u00fan podriamos decir que, cuando <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x\\to x_0<\/span><\/span>, <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f(x)<\/span><\/span> sigue tendiendo a <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">L<\/span><\/span>. La idea intuitiva que estamos produciendo aqu\u00ed es la de l\u00edmite lateral por la derecha, que es lo que representar\u00edamos a trav\u00e9s de la escritura<\/p>\n<p style=\"text-align: center; color: #000000;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\lim_{x\\to x_0^+}f(x) = L<\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">y de forma completamente an\u00e1loga tendremos el l\u00edmite por la izqueirda<\/p>\n<p style=\"text-align: center; color: #000000;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\lim_{x\\to x_0^-}f(x) = L<\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">Finalmente, el l\u00edmite bilateral existir\u00e1 siempre que los l\u00edmites laterales existan y sean iguales<\/p>\n<p style=\"text-align: center; color: #000000;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\lim_{x\\to x_0^-}f(x) = \\lim_{x\\to x_0}f(x) = \\lim_{x\\to x_0^-}f(x)<\/span><\/span><\/p>\n<p><a name=\"3\"><\/a><\/p>\n<h2>Definici\u00f3n Formal de Limites Laterales<\/h2>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\"><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=8lkvxEHsF6c&amp;t=438s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">Para definir formalmente los l\u00edmites laterales es suficiente<\/span> <\/strong><\/a>con aplicar una peque\u00f1a modificaci\u00f3n sobre la definici\u00f3n original de l\u00edmite.<\/p>\n<p style=\"text-align: center; color: #000000;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\lim_{x\\to x_0} f(x) = L := \\left(\\forall \\epsilon\\gt 0 \\right)<\/span><\/span> <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\left(\\exist \\delta \\gt 0 \\right)<\/span><\/span> <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\left(\\right.<\/span><\/span> <span style=\"background-color: #88ff88;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">0\\lt|x-x_0|\\lt\\delta <\/span><\/span><\/span> <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\left.\\rightarrow |f(x)-L|\\lt\\epsilon \\right)<\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">Para los l\u00edmites laterales por la derecha la definici\u00f3n nos queda as\u00ed:<\/p>\n<p style=\"text-align: center; color: #000000;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\left(\\forall \\epsilon\\gt 0 \\right)<\/span><\/span> <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\left(\\exist \\delta \\gt 0 \\right)<\/span><\/span> <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\left(\\right.<\/span><\/span> <span style=\"background-color: #88ff88;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x_0 \\lt x \\lt x_0 + \\delta <\/span><\/span><\/span> <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\left.\\rightarrow |f(x)-L|\\lt\\epsilon \\right)<\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">Para los l\u00edmites laterales por la izquierda ser\u00e1:<\/p>\n<p style=\"text-align: center; color: #000000;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\left(\\forall \\epsilon\\gt 0 \\right)<\/span><\/span> <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\left(\\exist \\delta \\gt 0 \\right)<\/span><\/span> <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\left(\\right.<\/span><\/span> <span style=\"background-color: #88ff88;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x_0 - \\delta \\lt x \\lt x_0<\/span><\/span><\/span> <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\left.\\rightarrow |f(x)-L|\\lt\\epsilon \\right)<\/span><\/span><\/p>\n<p><a name=\"4\"><\/a><\/p>\n<h2>Condiciones para el \u00e1lgebra de L\u00edmites<\/h2>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\"><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=8lkvxEHsF6c&amp;t=801s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">Lo interesante de tener estas definiciones es que estan ambas contenidas<\/span><\/strong><\/a> a la vez en la definici\u00f3n del l\u00edmite usual, y esto es importante porque nos exime de volver a demostrar todas las propiedades que ya probamos para los l\u00edmites bilaterales. Toda el algebra de l\u00edmites funcionar\u00e1 tal y como hemos visto en clases anteriores siempre y cuando los l\u00edmites involucrados sean de la misma naturaleza (ambos por la izquierda, o ambos por la derecha, nunca mezclados), est\u00e9n dirigidos al mismo punto y existan en ese punto.<\/p>\n<p><a name=\"5\"><\/a><\/p>\n<h2>Ejercicios Propuestos y Resueltos<\/h2>\n<ol style=\"text-align: justify; color: #000000;\">\n<li><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\lim_{x\\to {\\frac{1}{2}}^- } \\sqrt{\\dfrac{x+2}{x+1}} <\/span><\/span> <a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=8lkvxEHsF6c&amp;t=994s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">[SOLUCI\u00d3N]<\/span><\/strong><\/a><\/li>\n<li><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\lim_{x\\to 1^+} \\sqrt{\\dfrac{x-1}{x+2}} <\/span><\/span><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=8lkvxEHsF6c&amp;t=1058s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><span style=\"color: #ff0000;\"> <strong>[SOLUCI\u00d3N]<\/strong><\/span><\/a><\/li>\n<li><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\lim_{x\\to 2^+} \\left(\\dfrac{x}{x+1} \\right) \\left(\\dfrac{2x+5}{x^2+x} \\right)<\/span><\/span> <a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=8lkvxEHsF6c&amp;t=1058s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><span style=\"color: #ff0000;\"><strong>[SOLUCI\u00d3N]<\/strong><\/span><\/a><\/li>\n<li><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\lim_{x\\to 1^-} \\left(\\dfrac{1}{x+1} \\right) \\left(\\dfrac{x+6}{x} \\right) \\left(\\dfrac{3-x}{x} \\right) <\/span><\/span> <a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=8lkvxEHsF6c&amp;t=1102s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><span style=\"color: #ff0000;\"><strong>[SOLUCI\u00d3N]<\/strong><\/span><\/a><\/li>\n<li><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\lim_{h\\to 0^+ } \\dfrac{\\sqrt{h^2 + 4h +5} - \\sqrt{5}}{h} <\/span><\/span> <a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=8lkvxEHsF6c&amp;t=1168s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><span style=\"color: #ff0000;\"><strong>[SOLUCI\u00d3N]<\/strong><\/span><\/a><\/li>\n<li><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\lim_{h\\to 0^-} \\dfrac{\\sqrt{6} - \\sqrt{5h^2 + 11h +6}}{h}<\/span><\/span> <a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=8lkvxEHsF6c&amp;t=1276s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">[SOLUCI\u00d3N]<\/span><\/strong><\/a><\/li>\n<li>\n<table>\n<tbody>\n<tr style=\"text-align: justify;\">\n<td>a. <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\lim_{x\\to -2^+} (x+3)\\dfrac{|x+2|}{x+2}\n\n<\/span><\/span><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>b. <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\lim_{x\\to -2^-} (x+3)\\dfrac{|x+2|}{x+2}\n\n<\/span><\/span><\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=8lkvxEHsF6c&amp;t=1378s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">[SOLUCI\u00d3N]<\/span><\/strong><\/a><\/li>\n<li>\n<table>\n<tbody>\n<tr style=\"text-align: justify;\">\n<td>a. <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\lim_{x\\to 1^+} \\dfrac{\\sqrt{2x}(x-1)}{|x-1|}\n\n<\/span><\/span><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>b. <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\lim_{x\\to 1^-}\\dfrac{\\sqrt{2x}(x-1)}{|x-1|}\n\n<\/span><\/span><\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=8lkvxEHsF6c&amp;t=1655s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">[SOLUCI\u00d3N]<\/span><\/strong><\/a><\/li>\n<\/ol>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>L\u00edmites Laterales: Definiciones, Desarrollo y Ejercicios Resumen: Este post explica los l\u00edmites laterales y bilaterales en c\u00e1lculo, mostrando c\u00f3mo se definen y se aplican tanto intuitiva como formalmente. 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