{"id":27706,"date":"2021-10-06T13:00:45","date_gmt":"2021-10-06T13:00:45","guid":{"rendered":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/?p=27706"},"modified":"2024-08-11T16:33:16","modified_gmt":"2024-08-11T16:33:16","slug":"refraccion-en-interfaces-esfericas","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/toposuranos.com\/material\/es\/refraccion-en-interfaces-esfericas\/","title":{"rendered":"Refracci\u00f3n en Interfaces Esf\u00e9ricas"},"content":{"rendered":"<p><center><\/p>\n<h1>Refracci\u00f3n en Interfaces Esf\u00e9ricas<\/h1>\n<p><em><strong>Resumen:<\/strong><br \/>\nEn esta clase analizaremos la Refracci\u00f3n en Interfaces Esf\u00e9ricas, destacando c\u00f3mo la luz se comporta al pasar por superficies esf\u00e9ricas y c\u00f3mo se forman im\u00e1genes. Se presentan las ecuaciones clave para calcular la posici\u00f3n y tama\u00f1o de las im\u00e1genes. Tambi\u00e9n se exploran casos pr\u00e1cticos, como lentes y estimaci\u00f3n de profundidades aparentes.<\/em><\/p>\n<p><strong>Objetivos de Aprendizaje:<\/strong><br \/>\nAl finalizar esta clase el estudiante ser\u00e1 capaz de<\/p>\n<ol style=\"text-align:left;\">\n<li><strong>Comprender<\/strong> la refracci\u00f3n de la luz al pasar por interfaces esf\u00e9ricas.<\/li>\n<li><strong>Derivar<\/strong> y utilizar la relaci\u00f3n objeto-imagen para interfaces esf\u00e9ricas.<\/li>\n<li><strong>Aplicar<\/strong> la ley de Snell en el contexto de interfaces esf\u00e9ricas.<\/li>\n<li><strong>Determinar<\/strong> la posici\u00f3n de la imagen formada por una interfaz esf\u00e9rica.<\/li>\n<li><strong>Calcular<\/strong> la magnificaci\u00f3n de la imagen a trav\u00e9s de la refracci\u00f3n en superficies esf\u00e9ricas.<\/li>\n<li><strong>Entender<\/strong> el convenio de signos para la posici\u00f3n y tama\u00f1o de objetos e im\u00e1genes.<\/li>\n<li><strong>Relacionar<\/strong> interfaces esf\u00e9ricas con interfaces planas como un caso l\u00edmite.<\/li>\n<li><strong>Analizar<\/strong> la formaci\u00f3n de im\u00e1genes extendidas a trav\u00e9s de interfaces esf\u00e9ricas.<\/li>\n<\/ol>\n<p><strong>\u00cdNDICE DE CONTENIDOS<\/strong><br \/>\n<a href=\"#1\"><strong>Introducci\u00f3n<\/strong><\/a><br \/>\n<a href=\"#2\"><strong>La relaci\u00f3n objeto-imagen para la refracci\u00f3n en interfaces esf\u00e9ricas<\/strong><\/a><br \/>\n<a href=\"#3\">Extrayendo relaciones entre los \u00e1ngulos<\/a><br \/>\n<a href=\"#4\">Introduciendo la ley de Snell<\/a><br \/>\n<a href=\"#5\"><strong>Formaci\u00f3n de im\u00e1genes extendidas por refracci\u00f3n al otro lado de las interfaces esf\u00e9ricas<\/strong><\/a><br \/>\n<a href=\"#6\">Sintexis<\/a><br \/>\n<a href=\"#7\"><strong>Interfaces planas como caso l\u00edmite de las esf\u00e9ricas<\/strong><\/a><br \/>\n<a href=\"#8\"><strong>Ejercicios<\/strong><\/a><\/p>\n<p><iframe class=\"lazyload\" width=\"560\" height=\"315\" data-src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/13kntUA9n-I\" title=\"YouTube video player\" frameborder=\"0\" allow=\"accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture\" allowfullscreen=\"allowfullscreen\"><\/iframe><br \/>\n<\/center><\/p>\n<p><a name=\"1\"><\/a><\/p>\n<h2>Introducci\u00f3n<\/h2>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\"><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=13kntUA9n-I&amp;t=146s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">Ye hemos estudiado como funciona la refracci\u00f3n;<\/span><\/strong><\/a> es decir, lo que ocurre cuando la luz pasa de un medio a otro. Pero todo esto lo hemos realizando en el caso de que la interfaz que separa los medios es una superficie plana. Sin embargo, tanto en la naturaleza como en las aplicaciones pr\u00e1cticas, no es dif\u00edcil encontrar procesos de refracci\u00f3n en interfaces esf\u00e9ricas. Ejemplos de estas cosas son el ojo humano (y de casi cualquier animal en realidad) y la mayor\u00eda de los dispositivos \u00f3pticos utilizados tanto en la vida cotidiana como en aplicaciones industriales.<\/p>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">En la siguiente figura tenemos la forma en que se construye un lente a trav\u00e9s de dos superficies esf\u00e9ricas.<\/p>\n<p><center><img decoding=\"async\" src=\"data:image\/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP\/\/\/yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7\" data-src=\"https:\/\/1.bp.blogspot.com\/-xuCmdVLtNcc\/YVuCvXoOfZI\/AAAAAAAAFmc\/mCuYiHaNfxM4I6RcxEJcLln6uLC5MMIKQCLcBGAsYHQ\/s0\/lente%2Bde%2Bvidrio.PNG\" width=\"661\" height=\"378\" alt=\"Lente de vidrio formado con dos superficies esf\u00e9ricas\" class=\"alignnone size-full lazyload\" \/><noscript><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/1.bp.blogspot.com\/-xuCmdVLtNcc\/YVuCvXoOfZI\/AAAAAAAAFmc\/mCuYiHaNfxM4I6RcxEJcLln6uLC5MMIKQCLcBGAsYHQ\/s0\/lente%2Bde%2Bvidrio.PNG\" width=\"661\" height=\"378\" alt=\"Lente de vidrio formado con dos superficies esf\u00e9ricas\" class=\"alignnone size-full lazyload\" \/><\/noscript><\/center><\/p>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">Para el estudio detallado de este tipo de dispositivos es necesario revisar c\u00f3mo se comporta la luz cuando pasa de un medio a otro a trav\u00e9s de una interfaz esf\u00e9rica.<\/p>\n<p><a name=\"2\"><\/a><\/p>\n<h2>La relaci\u00f3n objeto-imagen para la refracci\u00f3n en interfaces esf\u00e9ricas<\/h2>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\"><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=13kntUA9n-I&amp;t=235s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">Iniciaremos nuestro estudio indagando<\/span><\/strong><\/a> sobre c\u00f3mo se comportar\u00e1 la luz al pasar de un medio a otro a trav\u00e9s de una interfaz esf\u00e9rica. Para esto, consideraremos una esfera de radio <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">R<\/span><\/span> hecha de un material con \u00edndice de refracci\u00f3n <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">n_b<\/span><\/span> sumergido en un medio con \u00edndice de refracci\u00f3n <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">n_a.<\/span><\/span><\/p>\n<p><center><img decoding=\"async\" src=\"data:image\/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP\/\/\/yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7\" data-src=\"https:\/\/1.bp.blogspot.com\/-x0g44iZ6LDo\/YVuDO2nkD3I\/AAAAAAAAFmk\/8gQHFBnQxvEG-5B6XUAgTTZHtxntx6YogCLcBGAsYHQ\/s0\/inteface%2Besf%25C3%25A9rica.PNG\" width=\"987\" height=\"371\" alt=\"Interfaz esf\u00e9rica que separa dos medios\" class=\"alignnone size-full lazyload\" \/><noscript><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/1.bp.blogspot.com\/-x0g44iZ6LDo\/YVuDO2nkD3I\/AAAAAAAAFmk\/8gQHFBnQxvEG-5B6XUAgTTZHtxntx6YogCLcBGAsYHQ\/s0\/inteface%2Besf%25C3%25A9rica.PNG\" width=\"987\" height=\"371\" alt=\"Interfaz esf\u00e9rica que separa dos medios\" class=\"alignnone size-full lazyload\" \/><\/noscript><\/center><\/p>\n<p><a name=\"3\"><\/a><\/p>\n<h3>Extrayendo relaciones entre los \u00e1ngulos<\/h3>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">Si analizamos los \u00e1ngulos involucrados en esta figura notaremos que:<\/p>\n<p style=\"text-align: center; color: #000000;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\begin{array}{rll}\n\n{(1)}&amp; \\theta_a &amp; =\\alpha + \\phi \\\\ \\\\\n\n{(2)}&amp; \\phi &amp; =\\beta + \\theta_b\n\n\\end{array}<\/span><\/span><\/p>\n<h4>Demostraci\u00f3n<\/h4>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">La primera ecuaci\u00f3n se obtiene a partir de que la suma de los \u00e1ngulos internos de un tri\u00e1ngulo son igual a dos \u00e1ngulos rectos:<\/p>\n<p><center><img decoding=\"async\" src=\"data:image\/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP\/\/\/yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7\" data-src=\"https:\/\/1.bp.blogspot.com\/-0ILYFKDJRo0\/YVvJaKwoZxI\/AAAAAAAAFms\/arUYkIwSz18wvNntSE_WHuknjoYolOXSQCLcBGAsYHQ\/s0\/triangulorectangulo-optica.PNG\" width=\"346\" height=\"148\" class=\"alignnone size-full lazyload\" \/><noscript><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/1.bp.blogspot.com\/-0ILYFKDJRo0\/YVvJaKwoZxI\/AAAAAAAAFms\/arUYkIwSz18wvNntSE_WHuknjoYolOXSQCLcBGAsYHQ\/s0\/triangulorectangulo-optica.PNG\" width=\"346\" height=\"148\" class=\"alignnone size-full lazyload\" \/><\/noscript><\/center><\/p>\n<p style=\"text-align: center; color: #000000;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\begin{array}{rl}\n\n&amp; \\alpha + \\phi + (\\pi - \\theta_a) = \\pi\\\\ \\\\\n\n\\equiv &amp; \\alpha + \\phi - \\theta_a = 0 \\\\ \\\\\n\n\\equiv &amp; \\color{blue}{\\theta_a = \\alpha + \\phi}\n\n\\end{array}<\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">La segunda se obtiene de forma an\u00e1loga:<\/p>\n<p><center><img decoding=\"async\" src=\"data:image\/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP\/\/\/yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7\" data-src=\"https:\/\/1.bp.blogspot.com\/-R5siuLq4gJs\/YVvJ22k7m6I\/AAAAAAAAFm0\/D6gmIAHjXFY4cNmUwrnq4yvxQ_2PcBSjgCLcBGAsYHQ\/s0\/triangulorectangulo-optica2.PNG\" width=\"329\" height=\"216\" class=\"alignnone size-full lazyload\" \/><noscript><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/1.bp.blogspot.com\/-R5siuLq4gJs\/YVvJ22k7m6I\/AAAAAAAAFm0\/D6gmIAHjXFY4cNmUwrnq4yvxQ_2PcBSjgCLcBGAsYHQ\/s0\/triangulorectangulo-optica2.PNG\" width=\"329\" height=\"216\" class=\"alignnone size-full lazyload\" \/><\/noscript><\/center><\/p>\n<p style=\"text-align: center; color: #000000;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\begin{array}{rl}\n\n&amp; \\beta + \\theta_b + (\\pi - \\phi) = \\pi\\\\ \\\\\n\n\\equiv &amp;  \\beta + \\theta_b - \\phi = 0\\\\ \\\\\n\n\\equiv &amp; \\color{blue}{\\phi = \\beta + \\theta_b }\n\n\\end{array}<\/span><\/span><\/p>\n<p><a name=\"4\"><\/a><\/p>\n<h3>Introduciendo la ley de Snell<\/h3>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">A partir de la figura se tienen tambi\u00e9n las siguientes expresiones:<\/p>\n<p><center><img decoding=\"async\" src=\"data:image\/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP\/\/\/yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7\" data-src=\"https:\/\/1.bp.blogspot.com\/-x0g44iZ6LDo\/YVuDO2nkD3I\/AAAAAAAAFmk\/8gQHFBnQxvEG-5B6XUAgTTZHtxntx6YogCLcBGAsYHQ\/s0\/inteface%2Besf%25C3%25A9rica.PNG\" width=\"987\" height=\"371\" alt=\"Interfaz esf\u00e9rica que separa dos medios\" class=\"alignnone size-full lazyload\" \/><noscript><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/1.bp.blogspot.com\/-x0g44iZ6LDo\/YVuDO2nkD3I\/AAAAAAAAFmk\/8gQHFBnQxvEG-5B6XUAgTTZHtxntx6YogCLcBGAsYHQ\/s0\/inteface%2Besf%25C3%25A9rica.PNG\" width=\"987\" height=\"371\" alt=\"Interfaz esf\u00e9rica que separa dos medios\" class=\"alignnone size-full lazyload\" \/><\/noscript><\/center><\/p>\n<p style=\"text-align: center; color: #000000;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\begin{array}{rll}\n\n{(3)}&amp;\\tan(\\alpha) &amp;=\\displaystyle \\frac{h}{s+\\delta}\\\\ \\\\\n\n{(4)}&amp;\\tan(\\beta) &amp;=\\displaystyle \\frac{h}{s^\\prime - \\delta}\\\\ \\\\\n\n{(5)}&amp;\\tan(\\phi) &amp;=\\displaystyle \\frac{h}{R - \\delta}\n\n\\end{array}<\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">Y a partir de la ley de Snell tenemos<\/p>\n<p style=\"text-align: center; color: #000000;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\begin{array}{rl}\n\n{(6)} &amp;  n_a\\sin(\\theta_a) = n_b \\sin(\\theta_b)\\end{array}<\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">Ahora, si tomamos la aproximaci\u00f3n en que <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\theta_a<\/span><\/span> y <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\theta_b<\/span><\/span> son peque\u00f1os, entonces <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\alpha, \\beta<\/span><\/span> y <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\phi<\/span><\/span> tambi\u00e9n lo ser\u00e1n y ocurrir\u00e1 que:<\/p>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">A partir de la figura se tienen tambi\u00e9n las siguientes expresiones:<\/p>\n<p style=\"text-align: center; color: #000000;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\begin{array}{rl}\n\n\\sin(\\theta_a) &amp;\\approx \\theta_a \\\\ \\\\\n\n\\sin(\\theta_b) &amp;\\approx \\theta_b \\\\ \\\\\n\n\\delta &amp;\\approx 0 \\\\ \\\\\n\n\\tan(\\alpha) &amp;\\approx \\alpha \\\\ \\\\\n\n\\tan(\\beta) &amp;\\approx \\beta \\\\ \\\\\n\n\\tan(\\phi) &amp;\\approx \\phi\n\n\\end{array}<\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">Luego, de esto y la ley de Snell se tiene:<\/p>\n<p style=\"text-align: center; color: #000000;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\begin{array}{rl}\n\n{(7)} &amp; n_a \\theta_a \\approx n_b \\theta_b \\\\ \\\\\n\n\\equiv &amp;  \\theta_b \\approx \\displaystyle \\frac{n_a}{n_b} \\theta_a\n\n\\end{array}<\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">Ahora, de (7), (1) y (2) se tiene<\/p>\n<p style=\"text-align: center; color: #000000;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\begin{array}{rl}\n\n{(8)} &amp; \\phi - \\beta \\approx \\displaystyle \\frac{n_a}{n_b}(\\alpha + \\phi) \\\\ \\\\\n\n\\equiv &amp; \\phi \\approx \\beta + \\displaystyle  \\frac{n_a}{n_b}(\\alpha + \\phi) \\\\ \\\\\n\n{}\\equiv &amp;  n_b\\phi \\approx n_b\\beta + n_a \\alpha + n_a\\phi \\\\ \\\\\n\n\\equiv &amp; \\color{blue}{n_a \\alpha + n_b\\beta \\approx (n_b - n_a) \\phi }\n\n\\end{array}<\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">Finalmente, de (8), las aproximaciones y las ecuaciones (3), (4) y (5), se llega a:<\/p>\n<p style=\"text-align: center; color: #000000;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\begin{array}{rl}\n\n{(9)} &amp; \\displaystyle n_a \\left( \\frac{\\color{red}{h}}{S + \\underbrace{\\delta}_{\\to 0}} \\right) + n_b \\left(\\frac{\\color{red}{h}}{S^\\prime - \\underbrace{\\delta}_{\\to 0} } \\right) \\approx (n_b - n_a) \\left(\\frac{\\color{red}{h}}{R-\\underbrace{\\delta}_{\\to 0}}\\right) \\\\ \\\\\n\n\\equiv &amp; \\displaystyle \\color{blue}{\\frac{n_a}{S } + \\frac{ n_b}{S^\\prime } \\approx \\frac{n_b - n_a}{R} }\n\n\\end{array}<\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">Esto \u00faltimo es lo que llamamos <strong>Relaci\u00f3n Objeto-Imagen para la refracci\u00f3n en Interfaces Esf\u00e9ricas.<\/strong><\/p>\n<p><a name=\"5\"><\/a><\/p>\n<h2>Formaci\u00f3n de im\u00e1genes extendidas por refracci\u00f3n al otro lado de las interfaces esf\u00e9ricas<\/h2>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\"><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=13kntUA9n-I&amp;t=1211s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">Ahora veamos lo que ocurre cuando cambiamos<\/span><\/strong><\/a> la fuente de luz puntual por un objeto extendido. Esto es ilustrado en la siguiente figura:<\/p>\n<p><center><img decoding=\"async\" src=\"data:image\/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP\/\/\/yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7\" data-src=\"https:\/\/1.bp.blogspot.com\/-Nnk1qsJET0k\/YVvLLFbEWPI\/AAAAAAAAFm8\/zWNnZMpqHSMT_38PJgKqIhqzLO53CCMSwCLcBGAsYHQ\/s0\/objeto-extendido-frente-interfaz-esferica.PNG\" width=\"1005\" height=\"409\" alt=\"objeto extendido frente a una interfaz esf\u00e9rica\" class=\"alignnone size-full lazyload\" \/><noscript><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/1.bp.blogspot.com\/-Nnk1qsJET0k\/YVvLLFbEWPI\/AAAAAAAAFm8\/zWNnZMpqHSMT_38PJgKqIhqzLO53CCMSwCLcBGAsYHQ\/s0\/objeto-extendido-frente-interfaz-esferica.PNG\" width=\"1005\" height=\"409\" alt=\"objeto extendido frente a una interfaz esf\u00e9rica\" class=\"alignnone size-full lazyload\" \/><\/noscript><\/center><\/p>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">El an\u00e1lisis anterior ya nos indica la relaci\u00f3n entre <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">S<\/span><\/span> y <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">S^\\prime,<\/span><\/span> ahora s\u00f3lo nos falta encontrar la relaci\u00f3n entre los tama\u00f1os del objeto y la imagen.<\/p>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">De la figura tenemos que:<\/p>\n<p style=\"text-align: center; color: #000000;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\begin{array}{rl}\n\n\\tan(\\theta_a) &amp; =\\displaystyle \\frac{y}{S} \\\\ \\\\\n\n\\tan(\\theta_b) &amp; =\\displaystyle - \\frac{y^\\prime}{S^\\prime}\n\n\\end{array}\n\n<\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">Esto lo combinaremos con la ley de Snell<\/p>\n<p style=\"text-align: center; color: #000000;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">n_a\\sin(\\theta_a) = n_b\\sin(\\theta_b). <\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">Y para esto nos basaremos en el hecho de que para \u00e1ngulos peque\u00f1os se cumple la aproximaci\u00f3n<\/p>\n<p style=\"text-align: center; color: #000000;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\begin{array}{rl}\n\n\\sin(\\theta_a) &amp; \\approx \\tan(\\theta_a) \\\\ \\\\\n\n\\sin(\\theta_b) &amp; \\approx \\tan(\\theta_b)\n\n\\end{array}\n\n<\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">De modo que podemos escribir<\/p>\n<p style=\"text-align: center; color: #000000;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\begin{array}{rl}\n\n&amp;\\displaystyle n_a \\frac{y}{S} \\approx- n_b \\dfrac{y^\\prime}{S^\\prime} \\\\ \\\\\n\n\\equiv &amp; \\displaystyle \\dfrac{y^\\prime}{y} \\approx - \\dfrac{n_a S^\\prime}{n_b S} \\\\ \\\\\n\n\\end{array}\n\n<\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">Ahora, recordando lo que hemos visto para espejos esf\u00e9ricos, tenemos algo an\u00e1logo. En este punto podemos (volver a) definir el factor de magnificaci\u00f3n <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">m<\/span><\/span> a trav\u00e9s de:<\/p>\n<p style=\"text-align: center; color: #000000;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\nm=\\displaystyle \\frac{y^\\prime}{y}\n\n<\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">de modo que:<\/p>\n<p style=\"text-align: center; color: #000000;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\n\\displaystyle \\color{blue}{m\\approx -\\frac{n_a S^\\prime}{n_b S}}\n\n<\/span><\/span><\/p>\n<p><a name=\"6\"><\/a><\/p>\n<h3>Sintexis<\/h3>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">Resumiendo, hasta ahora hemos extra\u00eddo dos resultados que nos permiten inferir la formaci\u00f3n de las im\u00e1genes cuando la luz emitida de un objeto pasa por una interfaz esf\u00e9rica. Estos son las siguientes ecuaciones:<\/p>\n<p style=\"text-align: center; color: #000000;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\n\\begin{array}{rl}\n\n\\displaystyle \\dfrac{n_a}{S} + \\dfrac{n_b}{S^\\prime} &amp; \\approx \\dfrac{n_b - n_a}{R} \\\\ \\\\\n\nm &amp; \\displaystyle \\approx - \\dfrac{n_a S^\\prime}{n_b S}\n\n\\end{array}\n\n<\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">Con estas dos ecuaciones puedes calcular tanto la posici\u00f3n de la imagen como la oritentaci\u00f3n y tama\u00f1o de la imagen, y funcionar\u00e1n independiente de si la superficie de interfaz es c\u00f3ncava o convexa. En este punto, sin embargo, es necesario puntualizar sobre el convenio de los signos.<\/p>\n<h4>Convenio de signos<\/h4>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\"><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=13kntUA9n-I&amp;t=1682s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">Con estas dos ecuaciones puedes calcula<\/span><\/strong><\/a>r tanto la posici\u00f3n de la imagen como la oritentaci\u00f3n y tama\u00f1o de la imagen, y funcionar\u00e1n independiente de si la superficie de interfaz es c\u00f3ncava o convexa. En este punto, sin embargo, es necesario puntualizar sobre el convenio de los signos.<\/p>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">La interfaz separa el espacio en dos regiones, una donde podemos encontrar el objeto y la otra donde se encuentra la imagen. En funci\u00f3n de esto se tiene que:<\/p>\n<ul style=\"text-align: justify; color: #000000;\">\n<li><strong>Posici\u00f3n del objeto <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">S<\/span><\/span>:<\/strong> Positivo si est\u00e1 del lado del objeto, negativo si est\u00e1 del lado de la imagen.<\/li>\n<li><strong>Posici\u00f3n de la imagen <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">S^\\prime<\/span><\/span> y el radio de curvatura <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">R<\/span><\/span>:<\/strong> Positivo si est\u00e1 del lado de la imagen, negativo si est\u00e1 del lado del objeto.<\/li>\n<li><strong>Tama\u00f1o del objeto y la imagen, <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">y<\/span><\/span> e <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">y^\\prime<\/span><\/span>:<\/strong> Positivo si est\u00e1 sobre el eje \u00f3ptico, negativo si est\u00e1 debajo el eje \u00f3ptico.<\/li>\n<\/ul>\n<p><a name=\"7\"><\/a><\/p>\n<h2>Interfaces planas como caso l\u00edmite de las esf\u00e9ricas<\/h2>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\"><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=13kntUA9n-I&amp;t=1897s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">Todo lo que hemos desarrollado para interfaces<\/span><\/strong><\/a> esf\u00e9ricas tambi\u00e9n sirve para entender un poco mejor las interfaces planas. De hecho, podemos entender una interfaz plana como un trozo de una interfaz esf\u00e9rica con un radio de curvatura muy grande; de hecho, si tomamos l\u00edmites sobre la relaci\u00f3n objeto-imagen para interfaces esf\u00e9ricas cuando el radio tiende a infinito se tiene:<\/p>\n<p style=\"text-align: center; color: #000000;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\frac{n_a}{S } + \\frac{ n_b}{S^\\prime} = \\lim_{R\\to \\infty} \\frac{n_a}{S } + \\frac{ n_b}{S^\\prime } \\approx \\lim_{R\\to \\infty} \\frac{n_b - n_a}{R} = 0\n\n<\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">Y si a partir de esto calculamos el factor de magnificaci\u00f3n, obtenemos:<\/p>\n<p style=\"text-align: center; color: #000000;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">m=1\n\n<\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">Es decir, que la imagen conserva su tama\u00f1o y orientaci\u00f3n, lo que si var\u00eda es su posici\u00f3n observada.<\/p>\n<p><a name=\"8\"><\/a><\/p>\n<h2>Ejercicios<\/h2>\n<p><center><iframe class=\"lazyload\" width=\"560\" height=\"315\" data-src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/bwGJYhN3Gv8\" title=\"YouTube video player\" frameborder=\"0\" allow=\"accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture\" allowfullscreen><\/iframe><\/center><\/p>\n<ol style=\"text-align: justify; color: #000000;\">\n<li>Frente a una varilla de vidrio cilindrica se situa una part\u00edcula tal y como se muestra a continuaci\u00f3n<center><img decoding=\"async\" src=\"data:image\/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP\/\/\/yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7\" data-src=\"https:\/\/1.bp.blogspot.com\/-ayoBx1gP-cM\/YVvMd0Dv6rI\/AAAAAAAAFnE\/TBz3MtCOMvw5SxoNk0XlR70M11UCopfbACLcBGAsYHQ\/s0\/varilla-de-vidrio1.PNG\" width=\"945\" height=\"327\" class=\"alignnone size-full lazyload\" \/><noscript><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/1.bp.blogspot.com\/-ayoBx1gP-cM\/YVvMd0Dv6rI\/AAAAAAAAFnE\/TBz3MtCOMvw5SxoNk0XlR70M11UCopfbACLcBGAsYHQ\/s0\/varilla-de-vidrio1.PNG\" width=\"945\" height=\"327\" class=\"alignnone size-full lazyload\" \/><\/noscript><\/center>Si la part\u00edcula est\u00e1 a 30[cm] de la varilla y la punta de \u00e9sta es aproximadamente esf\u00e9rica con un radio <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">R=1,5[cm],<\/span><\/span> calcule la posici\u00f3n de la imagen generada dentro de la varilla.<\/li>\n<li>Consideremos la misma varilla del ejercicio anterior, pero ahora \u00e9sta se encuentra bajo del agua. Si frente a ella se coloca una aguja de <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">1[cm]<\/span><\/span> de altura a la misma distancia de <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">30[cm],<\/span><\/span> calcule el lugar y la altura de la imagen.<center><img decoding=\"async\" src=\"data:image\/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP\/\/\/yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7\" data-src=\"https:\/\/1.bp.blogspot.com\/-2Zr1OfLvpAU\/YVvM1MQr1UI\/AAAAAAAAFnM\/9HCljhcB8Ss97L3tLzyXM2E3JzqioJNHgCLcBGAsYHQ\/s0\/varilla-de-vidrio2.PNG\" width=\"948\" height=\"446\" class=\"alignnone size-full lazyload\" \/><noscript><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/1.bp.blogspot.com\/-2Zr1OfLvpAU\/YVvM1MQr1UI\/AAAAAAAAFnM\/9HCljhcB8Ss97L3tLzyXM2E3JzqioJNHgCLcBGAsYHQ\/s0\/varilla-de-vidrio2.PNG\" width=\"948\" height=\"446\" class=\"alignnone size-full lazyload\" \/><\/noscript><\/center><\/li>\n<li>Una persona mira hacia el fondo de una piscina con el objetivo de estimar su profundidad. Como gu\u00eda utiliza una flecha pintada en el fondo. \u00bfQu\u00e9 relaci\u00f3n existe entre la profundidad real y la aparente?<center><img decoding=\"async\" src=\"data:image\/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP\/\/\/yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7\" data-src=\"https:\/\/1.bp.blogspot.com\/-G8Lr7rWgyCw\/YVvNQqC6rLI\/AAAAAAAAFnU\/mF2xOr5TPPgG62N8FZqQYijhYQg8_co0ACLcBGAsYHQ\/s0\/profundidad-real-y-aparente.PNG\" width=\"957\" height=\"658\" class=\"alignnone size-full lazyload\" \/><noscript><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/1.bp.blogspot.com\/-G8Lr7rWgyCw\/YVvNQqC6rLI\/AAAAAAAAFnU\/mF2xOr5TPPgG62N8FZqQYijhYQg8_co0ACLcBGAsYHQ\/s0\/profundidad-real-y-aparente.PNG\" width=\"957\" height=\"658\" class=\"alignnone size-full lazyload\" \/><\/noscript><\/center><\/li>\n<\/ol>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Refracci\u00f3n en Interfaces Esf\u00e9ricas Resumen: En esta clase analizaremos la Refracci\u00f3n en Interfaces Esf\u00e9ricas, destacando c\u00f3mo la luz se comporta al pasar por superficies esf\u00e9ricas y c\u00f3mo se forman im\u00e1genes. Se presentan las ecuaciones clave para calcular la posici\u00f3n y tama\u00f1o de las im\u00e1genes. 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