{"id":27569,"date":"2021-08-26T13:00:48","date_gmt":"2021-08-26T13:00:48","guid":{"rendered":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/?p=27569"},"modified":"2024-08-07T08:23:02","modified_gmt":"2024-08-07T08:23:02","slug":"problemas-resueltos-de-espejos-planos","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/toposuranos.com\/material\/es\/problemas-resueltos-de-espejos-planos\/","title":{"rendered":"Problemas Resueltos de Espejos Planos"},"content":{"rendered":"<p><center><\/p>\n<h1>Espejos planos, problemas resueltos<\/h1>\n<p><em><strong>Resumen:<\/strong><br \/>\nEn esta clase revisaremos algunos problemas resueltos de espejos planos. Se determina el \u00e1ngulo de reflexi\u00f3n <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\gamma<\/span><\/span> en funci\u00f3n del \u00e1ngulo <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\theta<\/span><\/span> entre dos espejos planos unidos por una bisagra y se calculan ejemplos espec\u00edficos. Se examinan valores cr\u00edticos de <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\alpha<\/span><\/span> para que el rayo rebote una vez en cada espejo y se valida la f\u00f3rmula para <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\gamma<\/span><\/span>. Tambi\u00e9n se identifican \u00e1ngulos de incidencia que hacen que el rayo se regrese sobre s\u00ed mismo, calculando una secuencia de \u00e1ngulos de retorno <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\alpha_n = n\\theta<\/span><\/span>.<br \/>\n<\/em><br \/>\n<u><strong>Objetivos de Aprendizaje<\/strong><\/u><br \/>\nAl finalizar esta clase, el estudiante ser\u00e1 capaz de:<\/p>\n<ol style=\"text-align:left;\">\n<li><strong>Comprender<\/strong> las f\u00f3rmulas fundamentales de la \u00f3ptica de espejos planos.<\/li>\n<li><strong>Aplicar<\/strong> la ley de reflexi\u00f3n en problemas con espejos planos.<\/li>\n<li><strong>Determinar<\/strong> el \u00e1ngulo de reflexi\u00f3n <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\gamma<\/span><\/span> en funci\u00f3n del \u00e1ngulo <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\theta<\/span><\/span> entre dos espejos planos.<\/li>\n<li><strong>Analizar<\/strong> los l\u00edmites de las f\u00f3rmulas para espejos y sus condiciones de validez.<\/li>\n<\/ol>\n<p><strong>\u00cdNDICE DE CONTENIDOS<\/strong><br \/>\n<a href=\"#1\"><strong>Introducci\u00f3n<\/strong><\/a><br \/>\n<a href=\"#2\"><strong>Espejos unidos por una bisagra<\/strong><\/a><br \/>\n<a href=\"#3\">Examinando los l\u00edmites de un razonamiento<\/a><br \/>\n<a href=\"#4\">\u00c1ngulos de retorno<\/a><\/p>\n<p><iframe class=\"lazyload\" width=\"560\" height=\"315\" data-src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/sX--0tertWI\" title=\"YouTube video player\" frameborder=\"0\" allow=\"accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture\" allowfullscreen=\"allowfullscreen\"><\/iframe><\/center><\/p>\n<p><a name=\"1\"><\/a><\/p>\n<h2>Introducci\u00f3n<\/h2>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">En la <a href=\"http:\/\/toposuranos.com\/material\/es\/reflexion-en-espejos-planos-y-esfericos\/\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\">clase anterior<\/a> revisamos la mayor\u00eda de las f\u00f3rmulas relacionadas con la \u00f3ptica de los espejos planos y esf\u00e9ricos; sin embargo, para lograr una mejor comprensi\u00f3n de estos temas es necesario revisar la forma en que estas aparecen en la resoluci\u00f3n de los problemas asociados a estos temas. Es por esto que dedicaremos esta parte exclusivamente para revisar la soluci\u00f3n de algunos problemas. En esta oportunidad nos centraremos exclusivamente en los espejos planos.<\/p>\n<p><a name=\"2\"><\/a><\/p>\n<h2>Espejos unidos por una bisagra<\/h2>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\"><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=sX--0tertWI&amp;t=64s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">Dos espejos planos unidos por<\/span><\/strong><\/a> un extremo sostienen entre si un \u00e1ngulo <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\theta.<\/span><\/span> Si un rayo de luz incide en uno de los espejos con un \u00e1ngulo <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\alpha<\/span><\/span> respecto a la normal de modo tal que la luz rebota s\u00f3lo una vez en cada espejo y se interseca consigo mismo formando un \u00e1ngulo <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\gamma:<\/span><\/span><\/p>\n<p><center><img decoding=\"async\" src=\"data:image\/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP\/\/\/yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7\" data-src=\"https:\/\/1.bp.blogspot.com\/-CA7kLZjaxyo\/YSMSe1ea97I\/AAAAAAAAFc8\/i5snILhLzT8XlVM88Hs8JDZiJvum5zmlgCLcBGAsYHQ\/s0\/ESPEJOPLANO1.PNG\" width=\"400\" height=\"100\" alt=\"\u00e1ngulos en espejos planos\" class=\"alignnone size-full lazyload\" \/><noscript><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/1.bp.blogspot.com\/-CA7kLZjaxyo\/YSMSe1ea97I\/AAAAAAAAFc8\/i5snILhLzT8XlVM88Hs8JDZiJvum5zmlgCLcBGAsYHQ\/s0\/ESPEJOPLANO1.PNG\" width=\"400\" height=\"100\" alt=\"\u00e1ngulos en espejos planos\" class=\"alignnone size-full lazyload\" \/><\/noscript><\/center><\/p>\n<ol style=\"text-align: justify; color: #000000;\">\n<li type=\"a\">Encuentre una f\u00f3rmula que permita determinar el \u00e1ngulo <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\gamma<\/span><\/span> en t\u00e9rmino de los dem\u00e1s datos.<\/li>\n<li type=\"a\">Si el rayo de luz incide en el primer espejo con un \u00e1ngulo <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\alpha=30^o<\/span><\/span> y el \u00e1ngulo entre los espejos es <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\theta=50^o<\/span><\/span> \u00bfCu\u00e1l ser\u00e1 el \u00e1ngulo <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\gamma<\/span><\/span>?<\/li>\n<\/ol>\n<span class=\"collapseomatic \" id=\"id6a81912c4f79c\"  tabindex=\"0\" title=\"SOLUCI\u00d3N\"    >SOLUCI\u00d3N<\/span><div id=\"target-id6a81912c4f79c\" class=\"collapseomatic_content \">\n<ol style=\"text-align: justify; color: #000000;\">\n<li type=\"a\">Definiendo el \u00e1ngulo <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\beta<\/span><\/span> entre la normal del segundo espejo y el rayo de luz reflejado desde el primer espejo, y utilizando la ley de reflexi\u00f3n en espejos planos podemos completar la figura de la siguiente manera:<br \/>\n<center><img decoding=\"async\" src=\"data:image\/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP\/\/\/yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7\" data-src=\"https:\/\/1.bp.blogspot.com\/-zheSpWUbupU\/YSMU24o_WkI\/AAAAAAAAFdE\/iOtRNY_vBWMWaY24ycU8llcenhsBRVpDQCLcBGAsYHQ\/s0\/espejoplano2.PNG\" width=\"400\" height=\"100\" alt=\"angulo entre espejos planos\" class=\"alignnone size-full lazyload\" \/><noscript><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/1.bp.blogspot.com\/-zheSpWUbupU\/YSMU24o_WkI\/AAAAAAAAFdE\/iOtRNY_vBWMWaY24ycU8llcenhsBRVpDQCLcBGAsYHQ\/s0\/espejoplano2.PNG\" width=\"400\" height=\"100\" alt=\"angulo entre espejos planos\" class=\"alignnone size-full lazyload\" \/><\/noscript><\/center><br \/>\nTeniendo esto en mente, ahora es posible realizar el siguiente razonamiento:<\/p>\n<table>\n<tbody>\n<tr>\n<td style=\"width: 50px;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(1)<\/span><\/span><\/td>\n<td style=\"width: 350px;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(90^o - \\alpha) + (90^o - \\beta) + \\theta = 180^o<\/span><\/span><\/td>\n<td>; Porque la suma de los \u00e1ngulos interiores de un tri\u00e1ngulo es <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">180^o<\/span><\/span><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\equiv<\/span><\/td>\n<td><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> \\alpha + \\beta = \\theta <\/span><\/span><\/td>\n<td> <\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(2)<\/span><\/span><\/td>\n<td><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> 2\\alpha +2\\beta + \\gamma = 180 <\/span><\/span><\/td>\n<td>; Porque la suma de los \u00e1ngulos interiores de un tri\u00e1ngulo es <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">180^o<\/span><\/span><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\equiv<\/span><\/td>\n<td><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> \\gamma = 180 - 2(\\alpha + \\beta)<\/span><\/span><\/td>\n<td> <\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(3)<\/span><\/span><\/td>\n<td><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\color{blue}{\\gamma = 180 - 2\\theta}<\/span><\/span><\/td>\n<td>; De (1,2)<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p>Por lo tanto, se infiere que el \u00e1ngulo <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\gamma<\/span><\/span> s\u00f3lo ser\u00e1 funci\u00f3n del \u00e1ngulo <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\theta<\/span><\/span> que forman los espejos y su f\u00f3rmula ser\u00e1 <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\gamma(\\theta) = 180^0 - 2\\theta<\/span><\/span><\/li>\n<li type=\"a\">A partir de lo razonado en el inciso anterior se tiene que <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\gamma = 180^o - 2\\cdot 50^o = 80^o <\/span><\/span><\/li>\n<\/ol>\n<\/div>\n<p><a name=\"3\"><\/a><\/p>\n<h3>Examinando los l\u00edmites de un razonamiento<\/h3>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\"><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=sX--0tertWI&amp;t=464s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">El ejercicio anterior tiene un delicado<\/span><\/strong><\/a> problema. Si observa el enunciado ver\u00e1 que se exige que el rayo de luz s\u00f3lo debe rebotar una vez en cada espejo; sin embargo, para que eso ocurra no cualquier valor de <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\alpha<\/span><\/span> sirve. Encuentre los valores de <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\alpha<\/span><\/span> que satisfacen tal condici\u00f3n y que por lo tanto, permiten que la f\u00f3rmula obtenida en el ejercicio anterior tenga validez.<\/p>\n<p><center><img decoding=\"async\" src=\"data:image\/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP\/\/\/yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7\" data-src=\"https:\/\/1.bp.blogspot.com\/-FIE6EKNxu1Q\/YSM34HUa-NI\/AAAAAAAAFdM\/DVM38fUBrxggrGsXoJcAI4SgDC2u5gm1gCLcBGAsYHQ\/s0\/espejosplanos3.PNG\" width=\"1021\" height=\"485\" alt=\"Rayos de luz rebotando en espejos planos\" class=\"alignnone size-full lazyload\" \/><noscript><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/1.bp.blogspot.com\/-FIE6EKNxu1Q\/YSM34HUa-NI\/AAAAAAAAFdM\/DVM38fUBrxggrGsXoJcAI4SgDC2u5gm1gCLcBGAsYHQ\/s0\/espejosplanos3.PNG\" width=\"1021\" height=\"485\" alt=\"Rayos de luz rebotando en espejos planos\" class=\"alignnone size-full lazyload\" \/><\/noscript><\/center><span class=\"collapseomatic \" id=\"id6a81912c4fccd\"  tabindex=\"0\" title=\"SOLUCI\u00d3N\"    >SOLUCI\u00d3N<\/span><div id=\"target-id6a81912c4fccd\" class=\"collapseomatic_content \">\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">Tenemos que <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\alpha<\/span><\/span> alcanza el valor \u00abcr\u00edtico\u00bb cuando hace que <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\beta=0^o;<\/span><\/span> y cuando esto ocurre, podemos tomar un \u00e1ngulo <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x<\/span><\/span> que permite el siguiente razonamiento:<\/p>\n<p><center><img decoding=\"async\" src=\"data:image\/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP\/\/\/yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7\" data-src=\"https:\/\/1.bp.blogspot.com\/-b_rcYFH-moo\/YSM--pA_6sI\/AAAAAAAAFdU\/VQRBmlh7I-oAhjuWi83GOphA1JKQHrrbACLcBGAsYHQ\/s0\/espejoplano4.PNG\" width=\"288\" height=\"319\" alt=\"rayo rebotando en espejos planos con \u00e1ngulo cr\u00edtico\" class=\"alignnone size-full lazyload\" \/><noscript><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/1.bp.blogspot.com\/-b_rcYFH-moo\/YSM--pA_6sI\/AAAAAAAAFdU\/VQRBmlh7I-oAhjuWi83GOphA1JKQHrrbACLcBGAsYHQ\/s0\/espejoplano4.PNG\" width=\"288\" height=\"319\" alt=\"rayo rebotando en espejos planos con \u00e1ngulo cr\u00edtico\" class=\"alignnone size-full lazyload\" \/><\/noscript><\/center><\/p>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">Debe ocurrir lo que indican las siguientes dos ecuaciones:<\/p>\n<p style=\"text-align: center; color: #000000;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\alpha + x = 90^o<\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: center; color: #000000;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\theta + x = 90^o<\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">Y esto s\u00f3lo es posible si:<\/p>\n<p style=\"text-align: center; color: #000000;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\alpha = \\theta<\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">Es decir: el valor <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\alpha=\\theta<\/span><\/span> es el valor del \u00e1ngulo de incidencia cr\u00edtico tal que, si es superado, entonces el rayo rebotar\u00e1 m\u00e1s de dos veces en un espejo y en consecuencia, invalidar\u00eda la f\u00f3rmula obtenida en el ejercicio anterior. A partir de estos resultados podemos corregir el resultado del ejercicio anterior escribiendo:<\/p>\n<p style=\"text-align: center; color: #000000;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\gamma(\\theta, \\alpha) = 180^0 - 2\\theta \\;\\;\\;\\; ; \\;\\;\\;\\; \\alpha \\in ]0,\\theta[ <\/span><\/span><\/p>\n<\/div>\n<p><a name=\"4\"><\/a><\/p>\n<h3>\u00c1ngulos de retorno<\/h3>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\"><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=sX--0tertWI&amp;t=809s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">A partir de estos resultados podemos ver que,<\/span><\/strong><\/a> para ciertos \u00e1ngulos de incidencia, el rayo de luz se regresa sobre si mismo. Esto ocurre cuando <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\alpha = 0^o<\/span><\/span> o cuando <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\alpha = \\theta,<\/span><\/span> donde <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\theta<\/span><\/span> es el \u00e1ngulo formado entre los dos espejos planos. \u00bfExistir\u00e1n m\u00e1s \u00e1ngulos de retorno?; y si los hay \u00bfc\u00f3mo se podr\u00edan calcular?<\/p>\n<span class=\"collapseomatic \" id=\"id6a81912c4ff21\"  tabindex=\"0\" title=\"SOLUCI\u00d3N\"    >SOLUCI\u00d3N<\/span><div id=\"target-id6a81912c4ff21\" class=\"collapseomatic_content \">\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">Para resolver este problema debemos imaginar la situaci\u00f3n que ocurrir\u00e1 cuando el rayo de luz incide en el primer espejo con un \u00e1ngulo respecto a la normal <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\alpha\\in ]\\theta, 180^o[<\/span><\/span>. Cuando tal cosa ocurre, tenemos una situaci\u00f3n como la que se muestra en la siguiente figura:<\/p>\n<p><center><img decoding=\"async\" src=\"data:image\/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP\/\/\/yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7\" data-src=\"https:\/\/1.bp.blogspot.com\/-T3bmPeT9SHU\/YSNnIfiDnzI\/AAAAAAAAFdc\/68ireIOvkuYdVvLw0dZD4oqeP2YL8Ml3QCLcBGAsYHQ\/s0\/espejo5.PNG\" width=\"650\" height=\"294\" alt=\"rayo contra espejos planos\" class=\"alignnone size-full lazyload\" \/><noscript><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/1.bp.blogspot.com\/-T3bmPeT9SHU\/YSNnIfiDnzI\/AAAAAAAAFdc\/68ireIOvkuYdVvLw0dZD4oqeP2YL8Ml3QCLcBGAsYHQ\/s0\/espejo5.PNG\" width=\"650\" height=\"294\" alt=\"rayo contra espejos planos\" class=\"alignnone size-full lazyload\" \/><\/noscript><\/center><\/p>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">Como la suma de los \u00e1ngulos interiores de un tri\u00e1ngulo es <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">180^o<\/span><\/span>:<\/p>\n<p style=\"text-align: center; color: #000000;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(90^o - \\alpha) + (90^o + \\beta) + \\theta = 180<\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">Al simplificar esta relaci\u00f3n podemos obtener el \u00e1ngulo <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\beta<\/span><\/span> en t\u00e9rminos de <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\alpha<\/span><\/span> y <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\theta.<\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: center; color: #000000;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\beta=\\alpha - \\theta<\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">Esta expresi\u00f3n es importante porque si <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\beta=\\theta,<\/span><\/span> entonces por el razonamiento del ejercicio anterior el rayo deber\u00eda regresar sobre si mismo en la pr\u00f3xima reflexi\u00f3n. As\u00ed que <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\alpha=2\\theta.<\/span><\/span> Por lo tanto, este razonamiento se puede extender de forma inductiva a trav\u00e9s de:<\/p>\n<ul style=\"text-align: justify; color: #000000;\">\n<li><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\alpha_0 = 0^o<\/span><\/span><\/li>\n<li><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\alpha_1 = \\theta<\/span><\/span><\/li>\n<li><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\alpha_{n-1} = \\alpha_n - \\theta<\/span><\/span><\/li>\n<\/ul>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">Y, a partir de esto, tenemos la secuencia de \u00e1ngulos de retorno:<\/p>\n<ul style=\"text-align: justify; color: #000000;\">\n<li style=\"list-style-type: none;\">\n<ul style=\"text-align: justify; color: #000000;\">\n<li><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\alpha_0 = 0^o<\/span><\/span><\/li>\n<li><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\alpha_1 = \\theta<\/span><\/span><\/li>\n<li><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\alpha_{2} = 2\\theta<\/span><\/span><\/li>\n<\/ul>\n<\/li>\n<\/ul>\n<p><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vdots<\/span><\/span><\/p>\n<ul style=\"text-align: justify; color: #000000;\">\n<li><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\alpha_{n} = n\\theta<\/span><\/span><\/li>\n<\/ul>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">Ademas de esto, debemos notar que tanto el \u00e1ngulo entre los espejos planos como cada uno de los \u00e1ngulos de incidencia deben ser agudos.<\/p>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Espejos planos, problemas resueltos Resumen: En esta clase revisaremos algunos problemas resueltos de espejos planos. Se determina el \u00e1ngulo de reflexi\u00f3n en funci\u00f3n del \u00e1ngulo entre dos espejos planos unidos por una bisagra y se calculan ejemplos espec\u00edficos. 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