{"id":27242,"date":"2021-09-25T13:00:57","date_gmt":"2021-09-25T13:00:57","guid":{"rendered":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/?p=27242"},"modified":"2024-09-16T11:50:41","modified_gmt":"2024-09-16T11:50:41","slug":"como-calcular-o-lancamento-de-projetil","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/toposuranos.com\/material\/pt\/como-calcular-o-lancamento-de-projetil\/","title":{"rendered":"Lan\u00e7amento de Proj\u00e9til"},"content":{"rendered":"<div style=\"background-color:#F3F3F3; padding:20px;\">\n<center><\/p>\n<h1>Lan\u00e7amento de Proj\u00e9til<\/h1>\n<p><em><strong>Resumo:<\/strong><br \/>\nNesta aula, revisaremos todos os aspectos cinem\u00e1ticos do lan\u00e7amento de um proj\u00e9til, um tema crucial na f\u00edsica que estende nosso estudo anterior sobre o movimento uniformemente acelerado. Abordaremos como, ao remover a restri\u00e7\u00e3o sobre a dire\u00e7\u00e3o do movimento, encontramos trajet\u00f3rias parab\u00f3licas t\u00edpicas dos proj\u00e9teis. Estudaremos como as velocidades iniciais em qualquer dire\u00e7\u00e3o, combinadas com a acelera\u00e7\u00e3o devido \u00e0 gravidade, moldam esses movimentos.<br \/>\n.<\/em><\/p>\n<p><\/center><\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><strong>OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM:<\/strong><br \/>\nAo final desta aula, o estudante ser\u00e1 capaz de:<\/p>\n<ol>\n<li><strong>Recordar<\/strong> as equa\u00e7\u00f5es fundamentais do movimento parab\u00f3lico e as defini\u00e7\u00f5es relacionadas ao lan\u00e7amento de proj\u00e9teis (como velocidade inicial, \u00e2ngulo de lan\u00e7amento, acelera\u00e7\u00e3o da gravidade).<\/li>\n<li><strong>Interpretar<\/strong> graficamente a trajet\u00f3ria de um proj\u00e9til.<\/li>\n<li><strong>Explicar<\/strong> como as diferentes fases do movimento (ascens\u00e3o, ponto m\u00e1ximo, descida) se relacionam com as equa\u00e7\u00f5es cinem\u00e1ticas.<\/li>\n<li><strong>Resolver<\/strong> problemas que envolvem o c\u00e1lculo da altura m\u00e1xima, o alcance horizontal e o tempo total de voo de um proj\u00e9til usando as equa\u00e7\u00f5es do movimento parab\u00f3lico.<\/li>\n<li><strong>Decompor<\/strong> as equa\u00e7\u00f5es de movimento de um proj\u00e9til para entender como cada componente (velocidade inicial, \u00e2ngulo de lan\u00e7amento, acelera\u00e7\u00e3o devido \u00e0 gravidade) afeta a trajet\u00f3ria total.<\/li>\n<\/ol>\n<p><center><\/p>\n<p><strong>\u00cdNDICE DE CONTE\u00daDOS<\/strong><br \/>\n<a href=\"#1\"><strong>Introdu\u00e7\u00e3o<\/strong><\/a><br \/>\n<a href=\"#2\"><strong>Desenvolvimento do lan\u00e7amento de proj\u00e9til<\/strong><\/a><br \/>\n<a href=\"#3\">Como determinar a altura m\u00e1xima alcan\u00e7ada por um proj\u00e9til?<\/a><br \/>\n<a href=\"#4\">Como determinar o alcance do lan\u00e7amento de proj\u00e9teis?<\/a><br \/>\n<a href=\"#5\">Qual \u00e2ngulo de lan\u00e7amento maximiza o alcance do proj\u00e9til?<\/a><br \/>\n<a href=\"#6\"><strong>Exerc\u00edcios Propostos<\/strong><\/a>\n<\/p>\n<p><iframe class=\"lazyload\" width=\"560\" height=\"315\" data-src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/_dXgQ_7u5GE\" title=\"YouTube video player\" frameborder=\"0\" allow=\"accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture\" allowfullscreen=\"allowfullscreen\"><\/iframe><\/center><\/p>\n<\/div>\n<p><a name=\"1\"><\/a><\/p>\n<h2>Introdu\u00e7\u00e3o<\/h2>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">Em aulas anteriores estudamos o <a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=P21bsNFF9Fw\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\">movimento retil\u00edneo uniformemente acelerado<\/a> e vimos o que acontece quando uma acelera\u00e7\u00e3o constante \u00e9 aplicada na mesma dire\u00e7\u00e3o do movimento. Quando removemos a restri\u00e7\u00e3o sobre a dire\u00e7\u00e3o, obtemos um movimento uniformemente acelerado, mas n\u00e3o mais retil\u00edneo. Nesse cen\u00e1rio, o movimento se desenvolve ao longo do bra\u00e7o de uma par\u00e1bola, e \u00e9 aqui que come\u00e7a o estudo do lan\u00e7amento de proj\u00e9til.<\/p>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">No lan\u00e7amento de proj\u00e9til, a velocidade inicial \u00e9 dada em qualquer dire\u00e7\u00e3o, enquanto a acelera\u00e7\u00e3o segue a orienta\u00e7\u00e3o t\u00edpica da gravidade. Quando o lan\u00e7amento do proj\u00e9til \u00e9 realizado diretamente para cima, obtemos um lan\u00e7amento vertical, que \u00e9 um caso de movimento uniformemente acelerado.<\/p>\n<p><a name=\"2\"><\/a><\/p>\n<h2>Desenvolvimento do Lan\u00e7amento de Proj\u00e9til<\/h2>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\"><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=_dXgQ_7u5GE&amp;t=172s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">Suponha que temos um proj\u00e9til<\/span><\/strong><\/a> lan\u00e7ado no ar a partir do solo por um canh\u00e3o com uma velocidade inicial <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">v_0<\/span> e um \u00e2ngulo de inclina\u00e7\u00e3o <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\theta.<\/span> O movimento desse proj\u00e9til pode ser modelado sem problemas extraindo suas equa\u00e7\u00f5es de trajet\u00f3ria a partir das informa\u00e7\u00f5es que acabamos de fornecer. Essas equa\u00e7\u00f5es s\u00e3o as seguintes:<\/p>\n<p style=\"text-align: center; color: #000000;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\n\\begin{array}{rl}\n\n\\vec{a}(t) &amp; = (0,-g) \\\\ \\\\\n\n\\vec{v}(t) &amp; =\\displaystyle \\int (0,-g) dt = (v_{0x}, -gt+v_{0y})\\\\ \\\\\n\n\\vec{r}(t) &amp; =\\displaystyle \\int (v_{0x}, -gt+v_{0y}) dt = \\left(v_{0x}t + x_0, -\\frac{1}{2}gt^2+v_{0y}t + y_0\\right)\n\n\\end{array}<\/span>\n<p><center><img decoding=\"async\" src=\"data:image\/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP\/\/\/yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7\" data-src=\"https:\/\/1.bp.blogspot.com\/-JQFKmGORl8A\/YVB9tKzayMI\/AAAAAAAAFks\/KPaXIUIcIVQ2yOAa_N9leIPgcZY6iv5zQCLcBGAsYHQ\/s0\/proyectil.PNG\" width=\"694\" height=\"390\" alt=\"Lan\u00e7amento de proj\u00e9teis\" class=\"alignnone size-full lazyload\" \/><noscript><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/1.bp.blogspot.com\/-JQFKmGORl8A\/YVB9tKzayMI\/AAAAAAAAFks\/KPaXIUIcIVQ2yOAa_N9leIPgcZY6iv5zQCLcBGAsYHQ\/s0\/proyectil.PNG\" width=\"694\" height=\"390\" alt=\"Lan\u00e7amento de proj\u00e9teis\" class=\"alignnone size-full lazyload\" \/><\/noscript><\/center><\/p>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">Onde <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{v}_{0} = (v_{0x},v_{0y})<\/span> \u00e9 a velocidade inicial, <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{r}_0=(x_0,y_0)<\/span> \u00e9 a posi\u00e7\u00e3o inicial, e <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">g=9,81[m\/s^2]<\/span> \u00e9 a magnitude da acelera\u00e7\u00e3o da gravidade. Agora, se observarmos o par\u00e1grafo anterior, perceberemos que n\u00e3o \u00e9 indicada diretamente a velocidade do proj\u00e9til, mas sim sua rapidez e \u00e2ngulo de lan\u00e7amento. A partir dessas informa\u00e7\u00f5es e um pouco de trigonometria, \u00e9 poss\u00edvel determinar a velocidade inicial porque:<\/p>\n<p style=\"text-align: center; color: #000000;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\n\\begin{array}{rl}\n\nv_{0x} &amp;= v_0 \\cos(\\theta) \\\\\n\nv_{0y} &amp;= v_0 \\sin(\\theta)\n\n\\end{array}<\/span>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">Onde <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">v_0 = \\|\\vec{v}_0\\|<\/span> \u00e9 a magnitude da velocidade inicial. Se adicionarmos a posi\u00e7\u00e3o inicial <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(x_0,y_0)=(0,0)<\/span>, as equa\u00e7\u00f5es de trajet\u00f3ria s\u00e3o expressas da seguinte forma:<\/p>\n<p style=\"text-align: center; color: #000000;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\n\\begin{array}{rl}\n\n\\vec{a}(t) &amp; = (0,-g) \\\\ \\\\\n\n\\vec{v}(t) &amp; =(v_{0}\\cos(\\theta), -gt+v_{0}\\sin(\\theta)\\\\ \\\\\n\n\\vec{r}(t) &amp; \\displaystyle =\\left(v_{0}\\cos(\\theta)t , -\\frac{1}{2}gt^2+v_{0}\\sin(\\theta)t \\right)\n\n\\end{array}<\/span>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">Com isso em m\u00e3os, podemos responder a algumas perguntas relacionadas ao lan\u00e7amento de proj\u00e9teis: Qu\u00e3o longe ele vai? Que altura ele alcan\u00e7ar\u00e1? Quanto tempo levar\u00e1 para cair? etc.<\/p>\n<p><a name=\"3\"><\/a><\/p>\n<h3>Como Determinar a Altura M\u00e1xima Alcan\u00e7ada por um Proj\u00e9til?<\/h3>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\"><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=_dXgQ_7u5GE&amp;t=398s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">Para responder a essa pergunta<\/span><\/strong><\/a> devemos nos perguntar: O que acontece quando o proj\u00e9til atinge sua altura m\u00e1xima? O que acontece \u00e9 que a componente vertical da sua velocidade se anula e, portanto:<\/p>\n<p style=\"text-align: center; color: #000000;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> -gt+v_{0}\\sin(\\theta) = 0 <\/span>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">Isso \u00e9 equivalente a dizer que:<\/p>\n<p style=\"text-align: center; color: #000000;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> t = \\displaystyle \\frac{v_{0}\\sin(\\theta)}{g} <\/span>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">Ou seja, o proj\u00e9til atinge a altura m\u00e1xima ap\u00f3s um tempo <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">t=v_0\\sin(\\theta)\/g<\/span> desde o lan\u00e7amento. Chamamos isso de \u00abtempo de altura m\u00e1xima\u00bb e escrevemos:<\/p>\n<p style=\"text-align: center; color: #000000;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\color{blue}{t_{alt.max} = \\frac{v_{0}\\sin(\\theta)}{g}}<\/span>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">Em seguida, a altura m\u00e1xima que o proj\u00e9til pode alcan\u00e7ar pode ser obtida substituindo <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">t=t_{alt.max}<\/span> na componente vertical da posi\u00e7\u00e3o do proj\u00e9til, obtendo:<\/p>\n<p style=\"text-align: center; color: #000000;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\begin{array}{rl}\n\ny_{alt.max} &amp; = \\displaystyle -\\frac{1}{2}gt_{alt.max}^2+v_{0}\\sin(\\theta)t_{alt.max}\\\\ \\\\\n\n&amp; =\\displaystyle-\\frac{1}{2}g \\left(\\frac{v_{0}\\sin(\\theta)}{g} \\right)^2 + v_{0}\\sin(\\theta) \\frac{v_{0}\\sin(\\theta)}{g} \\\\ \\\\\n\n&amp; =\\displaystyle-\\frac{1}{2} \\frac{v_{0}^2\\sin^2(\\theta)}{g} + \\frac{v_{0}^2\\sin^2(\\theta)}{g} \\\\ \\\\\n\n&amp; =\\displaystyle \\frac{v_{0}^2\\sin^2(\\theta)}{2g}\n\n\\end{array}<\/span>\n<p><a name=\"4\"><\/a><\/p>\n<h3>Como Determinar o Alcance do Lan\u00e7amento de Proj\u00e9teis?<\/h3>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\"><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=_dXgQ_7u5GE&amp;t=653s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">Se voc\u00ea quer saber a dist\u00e2ncia<\/span><\/strong><\/a> que o proj\u00e9til percorre at\u00e9 tocar o solo, tudo o que voc\u00ea precisa fazer \u00e9 perguntar \u00e0s equa\u00e7\u00f5es de trajet\u00f3ria associadas ao lan\u00e7amento de proj\u00e9teis. Mas como fazemos isso? Simples: O que acontece quando o proj\u00e9til toca o solo? O que acontece \u00e9 que a coordenada de posi\u00e7\u00e3o associada \u00e0 altura se torna zero, ou seja:<\/p>\n<p style=\"text-align: center; color: #000000;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle -\\frac{1}{2}gt^2+v_{0}\\sin(\\theta)t = 0\n\n<\/span>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">Aqui podemos resolver para o tempo em que o proj\u00e9til toca o solo, o que acontece duas vezes: no momento do lan\u00e7amento e quando ele cai, pois as solu\u00e7\u00f5es poss\u00edveis para esta equa\u00e7\u00e3o s\u00e3o:<\/p>\n<p style=\"text-align: center; color: #000000;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\n\\begin{array}{rl}\n\nt &amp; = 0\\\\ \\\\\n\nt &amp; = \\displaystyle \\frac{2v_0 \\sin(\\theta)}{g}\n\n\\end{array}\n\n<\/span>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">Chamamos o resultado n\u00e3o nulo de \u00abtempo de queda\u00bb e escrevemos:<\/p>\n<p style=\"text-align: center; color: #000000;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\color{blue}{t_{caida} = \\displaystyle \\frac{2v_0 \\sin(\\theta)}{g}}<\/span>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">Se voc\u00ea revisar acima, perceber\u00e1 que <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">t_{caida} = 2t_{alt.max}<\/span> porque o tempo que o proj\u00e9til leva para atingir sua altura m\u00e1xima \u00e9 o mesmo que leva para cair de seu ponto mais alto. Isso indica uma certa simetria no movimento do proj\u00e9til. Na verdade, essa simetria j\u00e1 \u00e9 evidente quando voc\u00ea percebe que a coordenada associada \u00e0 altura tem a forma de uma par\u00e1bola.<\/p>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">Conhecendo o tempo de queda, agora \u00e9 poss\u00edvel calcular a dist\u00e2ncia que o proj\u00e9til percorreu quando toca o solo simplesmente substituindo-a na primeira coordenada de posi\u00e7\u00e3o:<\/p>\n<p style=\"text-align: center; color: #000000;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\begin{array}{rl}\n\nx_{caida} &amp;= v_{0}\\cos(\\theta)t_{caida} \\\\ \\\\\n\n&amp; = \\displaystyle v_{0}\\cos(\\theta)\\frac{2v_0 \\sin(\\theta)}{g} \\\\ \\\\\n\n&amp; = \\displaystyle \\frac{v_0^2 \\sin(2\\theta)}{g} \\\\ \\\\\n\n\\end{array}<\/span>\n<p><a name=\"5\"><\/a><\/p>\n<h3>Qual \u00c2ngulo de Lan\u00e7amento Maximiza o Alcance do Proj\u00e9til?<\/h3>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\"><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=_dXgQ_7u5GE&amp;t=999s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">Se voc\u00ea quer saber qual \u00e2ngulo<\/span><\/strong><\/a> de lan\u00e7amento maximiza o alcance do proj\u00e9til, ou deseja provar que o que voc\u00ea sabe \u00e9 de fato correto, tudo o que voc\u00ea precisa fazer \u00e9 tomar das express\u00f5es que demonstramos aquela que permite formular a pergunta de forma matem\u00e1tica. J\u00e1 calculamos a dist\u00e2ncia de queda na se\u00e7\u00e3o anterior, e resulta que \u00e9 uma fun\u00e7\u00e3o do \u00e2ngulo de lan\u00e7amento:<\/p>\n<p style=\"text-align: center; color: #000000;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\n\\displaystyle x_{caida} = x_{caida}(\\theta) = \\frac{v_0^2 \\sin(2\\theta)}{g}\n\n<\/span>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">A fun\u00e7\u00e3o seno tem dois resultados extremos poss\u00edveis: +1 e -1, mas estamos interessados no primeiro. Para que <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\sin(2\\theta)=+1<\/span> \u00e9 necess\u00e1rio que <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">2\\theta = 90^o<\/span> (+<span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">2k\\pi,<\/span> mas vamos omitir essa parte porque n\u00e3o precisamos dela) e, portanto, <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\theta=45^o<\/span> \u00e9 o \u00e2ngulo de lan\u00e7amento que maximiza o alcance. Este problema tamb\u00e9m pode ser resolvido se o formulamos como um problema de otimiza\u00e7\u00e3o (usando as ferramentas de <a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=OscTlX3raaE&#038;list=PL_C8rbeFjqAVaR_sgLJRBvMm5t6E1GxGI\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">esta aula de c\u00e1lculo<\/a>) mas optei por este caminho que \u00e9 mais r\u00e1pido e igualmente ilustrativo.<\/p>\n<p><a name=\"6\"><\/a><\/p>\n<h2>Exerc\u00edcios Propostos<\/h2>\n<ol style=\"text-align: justify; color: #000000;\">\n<li>Um proj\u00e9til \u00e9 lan\u00e7ado do solo, com um \u00e2ngulo de eleva\u00e7\u00e3o de <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\theta=30^o<\/span> e velocidade inicial <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">v_0=70[km\/h].<\/span> a) Qual \u00e9 a altura m\u00e1xima alcan\u00e7ada pelo proj\u00e9til? b) Que dist\u00e2ncia o proj\u00e9til percorre at\u00e9 tocar o solo? c) Quanto tempo o proj\u00e9til leva para cair?<\/li>\n<li>Um canh\u00e3o colocado no solo dispara uma bala com uma velocidade de 90[km\/h] Com que \u00e2ngulo de eleva\u00e7\u00e3o deve ser ajustado o canh\u00e3o para que a bala caia a uma dist\u00e2ncia horizontal de 20[m]?<\/li>\n<li>O mesmo canh\u00e3o do exerc\u00edcio anterior agora \u00e9 colocado a uma altura de 5[m] Com que \u00e2ngulo de eleva\u00e7\u00e3o deve ser ajustado para que a bala ainda caia a uma dist\u00e2ncia horizontal de 20[m]?<\/li>\n<li>Um bombardeiro voa a uma altura de 3.000[m] acima do solo com uma velocidade de 1.500[km\/h]. Se ele soltar um proj\u00e9til por seu pr\u00f3prio peso, que dist\u00e2ncia o proj\u00e9til percorrer\u00e1 desde o momento em que \u00e9 solto at\u00e9 tocar o solo?<\/li>\n<\/ol>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Lan\u00e7amento de Proj\u00e9til Resumo: Nesta aula, revisaremos todos os aspectos cinem\u00e1ticos do lan\u00e7amento de um proj\u00e9til, um tema crucial na f\u00edsica que estende nosso estudo anterior sobre o movimento uniformemente acelerado. Abordaremos como, ao remover a restri\u00e7\u00e3o sobre a dire\u00e7\u00e3o do movimento, encontramos trajet\u00f3rias parab\u00f3licas t\u00edpicas dos proj\u00e9teis. 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