{"id":27110,"date":"2021-03-28T13:00:01","date_gmt":"2021-03-28T13:00:01","guid":{"rendered":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/?p=27110"},"modified":"2024-06-10T09:07:45","modified_gmt":"2024-06-10T09:07:45","slug":"algebra-de-polinomios-de-numeros-reales","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/toposuranos.com\/material\/es\/algebra-de-polinomios-de-numeros-reales\/","title":{"rendered":"\u00c1lgebra de Polinomios de N\u00fameros Reales"},"content":{"rendered":"<div style=\"background-color:#F3F3F3; padding:20px; text-align:center;\">\n<h1>\u00c1lgebra de Polinomios de N\u00fameros Reales<\/h1>\n<p>    <em><strong>Resumen:<\/strong><br \/>\n        En esta clase, exploraremos el \u00e1lgebra de polinomios, su definici\u00f3n, propiedades y aplicaciones. Los polinomios son una parte fundamental de las matem\u00e1ticas y tienen amplias aplicaciones en diversas disciplinas.<br \/>\n    <\/em><\/p>\n<p>    <strong>OBJETIVOS DE APRENDIZAJE<\/strong><\/p>\n<p>Al finalizar esta clase, el estudiante ser\u00e1 capaz de:<\/p>\n<p style=\"text-align:left;\">\n        1. Definir y comprender los polinomios y sus propiedades.<br \/>\n        2. Identificar el grado y los coeficientes de un polinomio.<br \/>\n        3. Realizar operaciones algebraicas con polinomios y aplicar sus propiedades en contextos matem\u00e1ticos.\n    <\/p>\n<p>    <strong>\u00cdNDICE DE CONTENIDOS:<\/strong><\/p>\n<p>\n        <a href=\"#1\"><strong>1. \u00c1lgebra de Polinomios: Definiciones<\/strong><\/a><br \/>\n        <a href=\"#2\"><strong>2. Tipos de Polinomios<\/strong><\/a><br \/>\n        <a href=\"#3\"><strong>3. \u00c1lgebra de Polinomios: Operaciones<\/strong><\/a><br \/>\n        <a href=\"#4\"><strong>4. Factorizaci\u00f3n y Divisi\u00f3n de Polinomios<\/strong><\/a>\n    <\/p>\n<p>    <iframe class=\"lazyload\" width=\"560\" height=\"315\" data-src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/ry4sKaS3RMc\" title=\"YouTube video player\" frameborder=\"0\" allow=\"accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture\" allowfullscreen=\"allowfullscreen\"><\/iframe>\n<\/div>\n<p><a name=\"1\"><\/a><\/p>\n<h2><strong>1. \u00c1lgebra de Polinomios: Definiciones<\/strong><\/h2>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">\n    <a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=ry4sKaS3RMc&amp;t=139s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><br \/>\n        <strong><span style=\"color: #ff0000;\">Para entender el \u00c1lgebra de Polinomios, primero debemos saber qu\u00e9 son los polinomios.<\/span><\/strong><\/a> Los polinomios son funciones algebraicas. Si <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x<\/span> es una variable real, entonces se dice que la funci\u00f3n <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">P(x)<\/span> es un polinomio si se puede escribir de la forma:\n<\/p>\n<p style=\"text-align: center; color: #000000;\">\n    <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle P(x)= \\sum_{i=0}^n a_i x^i= a_0 + a_1x + a_2x^2 + a_3x^3 + \\cdots + a_nx^n,<\/span>\n<\/p>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">\n    donde <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">n<\/span> es alg\u00fan entero no negativo y todos los <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a_i<\/span>, con <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">i\\in\\{1,2,3,\\cdots,n\\},<\/span> son coeficientes reales. Si existe un <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">k<\/span> tal que <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a_k\\neq 0<\/span> y, cuando <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">k\\lt i<\/span>, ocurre que <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a_i=0<\/span>, entonces se dice que tal valor de <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">k<\/span> es <strong>el grado del polinomio.<\/strong> En otras palabras, el grado de un polinomio es la potencia m\u00e1s grande que acompa\u00f1a a un coeficiente distinto de cero.\n<\/p>\n<p><a name=\"2\"><\/a><\/p>\n<h2><strong>2. Tipos de Polinomios<\/strong><\/h2>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">\n    <a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=ry4sKaS3RMc&amp;t=340s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><br \/>\n        <strong><span style=\"color: #ff0000;\">Los polinomios se clasifican seg\u00fan su grado;<\/span><\/strong><\/a> por esto, cuando se menciona un polinomio, casi siempre se dice que es un polinomio de grado <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">k<\/span>, cuando <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">k<\/span> es la mayor potencia de <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x<\/span> que acompa\u00f1a al coeficiente no nulo de tal polinomio.\n<\/p>\n<h3>2.1. Los Polinomios Constantes<\/h3>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">Es la familia que engloba a todos los polinomios de grado cero y al polinomio nulo. Decimos que un polinomio es de grado cero, si se puede escribir de la forma <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">P(x)=c,<\/span> con <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">c\\neq 0.<\/span> Por otro lado, el polinomio nulo es de la forma <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">P(x) = 0<\/span> y para este no se define un grado.<\/p>\n<p><a name=\"3\"><\/a><\/p>\n<h2><strong>3. \u00c1lgebra de Polinomios: Operaciones<\/strong><\/h2>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">\n    <a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=ry4sKaS3RMc&amp;t=428s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><br \/>\n        <strong><span style=\"color: #ff0000;\">Los polinomios heredan todas sus propiedades desde el \u00e1lgebra de los n\u00fameros reales.<\/span><\/strong><\/a> Son especialmente relevantes las propiedades distributivas y asociativas.\n<\/p>\n<h3>3.1. Suma y Resta<\/h3>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\"><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=ry4sKaS3RMc&amp;t=470s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"> <strong><span style=\"color: #ff0000;\">Si <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">P<\/span> y <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">Q<\/span> son dos polinomios de grado<\/span><\/strong><\/a> <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">n<\/span> y <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">m<\/span>, respectivamente, con<\/p>\n<p style=\"text-align:center\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">m=n+k<\/span> y <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">0\\leq k,<\/span>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">entonces se tendr\u00e1 que:<\/p>\n<p style=\"text-align: center; color: #000000;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\n\\begin{array}{rl}\n\n\\displaystyle P(x) \\pm Q(x) &amp;=\\displaystyle \\sum_{i=0}^n a_i x^i \\pm \\sum_{i=0}^m b_i x^i \\\\ \\\\\n\n &amp;\\displaystyle = \\sum_{i=0}^n a_i x^i \\pm \\left( \\sum_{i=0}^n b_i x^i + \\sum_{i=n+1}^{n+k} b_i x^i \\right) \\\\ \\\\\n\n&amp;\\displaystyle = \\sum_{i=0}^n (a_i \\pm b_i) x^i + \\sum_{i=n+1}^m b_i x^i\n\n\\end{array}\n\n<\/span>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">Es decir, los coeficientes que acompa\u00f1an a iguales potencias de <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x<\/span> se suman o restan, seg\u00fan corresponda.<\/p>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\"><span style=\"color: #000080;\">EJEMPLO:<\/span><br \/>\nSi <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">P(x) = 3+5x+2x^2<\/span> y <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">Q(x) = 6x-3x^2 +23x^5<\/span>, entonces:<\/p>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">\n    <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">P(x) + Q(x) = \\cdots \\\\ = (3+5x+2x^2) + (6x-3x^2 +23x^5) \\\\ = 3 + (5+6)x + (2-3)x^2 + 23x^5 \\\\ = 3 + 11x - x^2 + 23x^5 <\/span>\n<\/p>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">\n    <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">P(x) - Q(x) = \\cdots \\\\ = (3+5x+2x^2) - (6x-3x^2 +23x^5) \\\\ = 3 + (5-6)x + (2+3)x^2 - 23x^5 \\\\ = 3 - x + 5x^2 - 23x^5 <\/span>\n<\/p>\n<h3>3.2. Multiplicaci\u00f3n<\/h3>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">\n    <a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=ry4sKaS3RMc&amp;t=894s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">En el mismo contexto que para la suma y resta de polinomios,<\/span><\/strong><\/a> el producto de polinomios se desarrollar\u00e1 de la siguiente forma:\n<\/p>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">\n    Primero distinguimos la multiplicaci\u00f3n por escalar. Si <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">c \\in \\mathbb{R},<\/span> entonces se tiene:\n<\/p>\n<p style=\"text-align: center; color: #000000;\">\n    <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle c P(x) = c \\sum_{i=0}^n a_i x^i =\\sum_{i=0}^n c a_i x^i <\/span>\n<\/p>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">\n    Y luego tenemos la multiplicaci\u00f3n entre polinomios:\n<\/p>\n<p style=\"text-align: center; color: #000000;\">\n    <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\begin{array}{rl}\n\n\\displaystyle P(x) Q(x) &amp;\\displaystyle = \\left( \\sum_{i=0}^n a_i x^i \\right) \\left(\\sum_{j=0}^m b_j x^j\\right) \\\\ \\\\\n\n&amp;=\\displaystyle \\left[\\sum_{j=0}^m \\left( \\sum_{i=0}^n a_i x^i \\right) b_j x^j\\right] \\\\ \\\\\n\n&amp;=\\displaystyle \\sum_{j=0}^m \\left( \\sum_{i=0}^n a_ib_j x^{i+j} \\right) \\\\ \\\\\n\n&amp;=\\displaystyle \\sum_{i,j=0}^{n,m} a_ib_j x^{i+j}\n\n\\end{array}<\/span>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">\n    Esto es lo que resumir\u00edamos a trav\u00e9s de la expresi\u00f3n \u00abla suma de los productos de todos con todos\u00bb.\n<\/p>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">\n    <span style=\"color: #000080;\">EJEMPLO:<\/span><br \/>\n    Si <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">P(x) = 4x+ 2x^2-x^4<\/span> y <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">Q(x) = 5 - x + x^2-7x^3,<\/span> entonces:\n<\/p>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">\n    <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">P(x)Q(x) =\\cdots \\\\ {} \\\\= (4x+ 2x^2-x^4)(5 - x + x^2-7x^3) \\\\ {} \\\\ = 4x(5 - x + x^2-7x^3) \\\\ + 2x^2 (5 - x + x^2-7x^3) \\\\ - x^4 (5 - x + x^2-7x^3) \\\\ {} \\\\ = 20x - 4x^2 + 4x^3 - 28x^4 \\\\ + 10x^2 - 2x^3 + 2x^4 - 14x^5 \\\\ -5x^4 + x^5 - x^6 + 7x^7 \\\\ {} \\\\ = 20x + 6x^2 + 2x^3 - 31x^4 - 13x^5 - x^6 + 7x^7<\/span>\n<\/p>\n<p><a name=\"4\"><\/a><\/p>\n<h2><strong>4. Factorizaci\u00f3n y Divisi\u00f3n de Polinomios<\/strong><\/h2>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">\n    <a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=ry4sKaS3RMc&amp;t=1375s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><br \/>\n        <strong><span style=\"color: #ff0000;\">Cuando multiplicamos dos polinomios, lo que hacemos es pasar de dos polinomios sencillos a otro m\u00e1s complicado (de mayor grado).<\/span><\/strong><\/a> Cuando factorizamos un polinomio seguimos el proceso inverso: transformamos un polinomio complicado en el producto de dos o m\u00e1s polinomios de menor grado.\n<\/p>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">\n    Para factorizar un polinomio <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">P(x),<\/span> es necesario encontrar los valores de <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x<\/span> que anulan el polinomio; si tales valores existen, entonces el polinomio es factorizable. Hablar de existencia es asequible, pero hablar de encontrarlos es una historia diferente. Revisaremos este tema con m\u00e1s detalle cuando estudiemos las factorizaciones de los polinomios cuadr\u00e1ticos y (2n)cuadr\u00e1ticos.\n<\/p>\n<h3>4.1. Productos Notables<\/h3>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">\n    <a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=ry4sKaS3RMc&amp;t=1654s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><br \/>\n        <strong><span style=\"color: #ff0000;\">Existen, sin embargo, casos en que la factorizaci\u00f3n se obtiene de un modo sencillo,<\/span><\/strong><br \/>\n    <\/a> como el de los productos notables. Algunos de estos resultados son los siguientes:\n<\/p>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">\n    <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)<\/span>\n<\/p>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">\n    <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(x\\pm y)^2 = x^2 \\pm 2xy + y^2<\/span>\n<\/p>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">\n    <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(x \\pm y)^3 = x^3 \\pm 3x^2y + 3xy^2 \\pm y^3<\/span>\n<\/p>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">\n    <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2)<\/span>\n<\/p>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">\n    <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)<\/span>\n<\/p>\n<h3>4.2. El Algoritmo de la divisi\u00f3n<\/h3>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">\n    <a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=ry4sKaS3RMc&amp;t=1854s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><br \/>\n        <strong><span style=\"color: #ff0000;\">As\u00ed como multiplicando enteros obtenemos n\u00fameros compuestos y la divisi\u00f3n a trav\u00e9s del algoritmo de de la divisi\u00f3n nos permite factorizar cuando el resto es cero,<\/span><\/strong><\/a> parecido ocurre con los polinomios. Explicar el algoritmo de la divisi\u00f3n \u00aben texto\u00bb puede ser un poco complicado, es mucho m\u00e1s f\u00e1cil de entender viendo directamente c\u00f3mo se hace y en qu\u00e9 casos el algoritmo conduce a una factorizaci\u00f3n. Para lograr esto revisaremos algunos ejemplos.\n<\/p>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">\n    <span style=\"color: #000080;\">EJEMPLO:<\/span> Calcular <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">P(x):Q(x)<\/span> para los siguientes casos:\n<\/p>\n<ol style=\"text-align: justify; color: #000000;\">\n<li>\n        <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">P(x)=2 x^3 + x^2 - 2 x - 1, <\/span> <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">Q(x)=x-1<\/span> <a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=ry4sKaS3RMc&amp;t=1930s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"> <strong><span style=\"color: #ff0000;\">[SOLUCION]<\/span><\/strong> <\/a>\n    <\/li>\n<li>\n        <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">P(x)=x^4+2x^3-x+1, <\/span> <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">Q(x)=x^2-4<\/span> <a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=ry4sKaS3RMc&amp;t=2120s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"> <span style=\"color: #ff0000;\"><strong>[SOLUCION]<\/strong><\/span> <\/a>\n    <\/li>\n<li>\n        <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">P(x)=3 x^4 - 2 x^3 - x^2 - 4 x + 1, <\/span> <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">Q(x)=x^2+x+1<\/span> <a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=ry4sKaS3RMc&amp;t=2331s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"> <span style=\"color: #ff0000;\"><strong>[SOLUCION]<\/strong><\/span> <\/a>\n    <\/li>\n<li>\n        <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">P(x)=x^7+5x^4+5x^2-3x+1, <\/span> <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">Q(x)=x^3-2x^2+1<\/span> <a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=ry4sKaS3RMc&amp;t=2464s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"> <span style=\"color: #ff0000;\"><strong>[SOLUCION]<\/strong><\/span> <\/a>\n    <\/li>\n<\/ol>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>\u00c1lgebra de Polinomios de N\u00fameros Reales Resumen: En esta clase, exploraremos el \u00e1lgebra de polinomios, su definici\u00f3n, propiedades y aplicaciones. Los polinomios son una parte fundamental de las matem\u00e1ticas y tienen amplias aplicaciones en diversas disciplinas. OBJETIVOS DE APRENDIZAJE Al finalizar esta clase, el estudiante ser\u00e1 capaz de: 1. 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