{"id":27046,"date":"2021-03-23T13:00:09","date_gmt":"2021-03-23T13:00:09","guid":{"rendered":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/?p=27046"},"modified":"2024-06-06T21:55:42","modified_gmt":"2024-06-06T21:55:42","slug":"funciones-algebraicas-de-numeros-reales","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/toposuranos.com\/material\/es\/funciones-algebraicas-de-numeros-reales\/","title":{"rendered":"Funciones Algebraicas de N\u00fameros Reales"},"content":{"rendered":"<div style=\"background-color:#F3F3F3; padding:20px; text-align:center;\">\n<h1>Funciones Algebraicas de N\u00fameros Reales<\/h1>\n<p>    <em><strong>Resumen:<\/strong><br \/>\nEn esta clase, exploraremos las funciones algebraicas, su definici\u00f3n, propiedades y aplicaciones. Estas funciones son fundamentales en diversas \u00e1reas de las matem\u00e1ticas y tienen amplias aplicaciones pr\u00e1cticas.<\/em><\/p>\n<p>    <strong>OBJETIVOS DE APRENDIZAJE<\/strong><\/p>\n<p>Al finalizar esta clase, el estudiante ser\u00e1 capaz de:<\/p>\n<p style=\"text-align:left;\">\n        1. Definir y comprender las funciones algebraicas y sus propiedades.<br \/>\n        2. Identificar el dominio y el recorrido de funciones algebraicas.<br \/>\n        3. Aplicar funciones algebraicas en contextos matem\u00e1ticos y pr\u00e1cticos.\n    <\/p>\n<p>    <strong>\u00cdNDICE DE CONTENIDOS:<\/strong><\/p>\n<p>\n        <a href=\"#1\"><strong>1. Introducci\u00f3n<\/strong><\/a><br \/>\n        <a href=\"#2\"><strong>2. \u00bfQu\u00e9 son las Funciones Algebraicas?<\/strong><\/a><br \/>\n        <a href=\"#3\"><strong>3. Otros Tipos de Funciones<\/strong><\/a>\n    <\/p>\n<p>    <iframe class=\"lazyload\" width=\"560\" height=\"315\" data-src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/dLHAQhMjuag\" title=\"YouTube video player\" frameborder=\"0\" allow=\"accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture\" allowfullscreen=\"allowfullscreen\"><\/iframe>\n<\/div>\n<p><a name=\"1\"><\/a><\/p>\n<h2><strong>1. Introducci\u00f3n<\/strong><\/h2>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">\n    <a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=dLHAQhMjuag&amp;t=173s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><br \/>\n        <strong><span style=\"color: #ff0000;\">El estudio de las funciones algebraicas comienza introduciendo las variables:<\/span><\/strong><\/a> s\u00edmbolos que representan el lugar donde puede ir un n\u00famero. Tradicionalmente se usan las letras <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x, y, z<\/span> con el fin de representar n\u00fameros reales, en otros contextos la <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">z<\/span> se prefiere para los complejos. Tambi\u00e9n es costumbre usar sub\u00edndices cuando las variables son muchas. As\u00ed, <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x_1, x_2, \\cdots , x_n<\/span> son tambi\u00e9n ejemplos de variables.\n<\/p>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">\n    Las funciones algebraicas son fundamentales en diversas \u00e1reas de las matem\u00e1ticas y sus aplicaciones. Estas funciones se definen mediante expresiones algebraicas que involucran operaciones b\u00e1sicas como la suma, resta, multiplicaci\u00f3n, divisi\u00f3n, potencias y ra\u00edces de variables. Comprender las funciones algebraicas es esencial para el estudio de muchas ramas de la matem\u00e1tica pura y aplicada, incluyendo \u00e1lgebra, c\u00e1lculo, geometr\u00eda y teor\u00eda de n\u00fameros. Adem\u00e1s, tienen una importancia crucial en la f\u00edsica, la ingenier\u00eda, la econom\u00eda y las ciencias sociales, ya que permiten modelar y analizar fen\u00f3menos reales de manera precisa y eficiente.\n<\/p>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">\n    En el \u00e1mbito educativo, las funciones algebraicas sirven como una base s\u00f3lida para el desarrollo del pensamiento abstracto y la resoluci\u00f3n de problemas. A trav\u00e9s del estudio de estas funciones, los estudiantes aprenden a manipular expresiones algebraicas y a entender las relaciones entre variables, lo cual es fundamental para avanzar en matem\u00e1ticas m\u00e1s complejas.\n<\/p>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">\n    En la vida cotidiana, las funciones algebraicas se utilizan en una variedad de contextos pr\u00e1cticos. Por ejemplo, se aplican en la gesti\u00f3n financiera para calcular intereses y amortizaciones, en la inform\u00e1tica para desarrollar algoritmos y en la ingenier\u00eda para dise\u00f1ar estructuras y sistemas. Las funciones algebraicas tambi\u00e9n son esenciales en el an\u00e1lisis de datos y la modelizaci\u00f3n estad\u00edstica, ayudando a interpretar y predecir comportamientos basados en datos observados.\n<\/p>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">\n    En resumen, el estudio de las funciones algebraicas no solo es una piedra angular de las matem\u00e1ticas, sino que tambi\u00e9n tiene una amplia gama de aplicaciones pr\u00e1cticas que subrayan su relevancia y utilidad en el mundo moderno. Con una comprensi\u00f3n s\u00f3lida de estas funciones, se pueden abordar problemas complejos y desarrollar soluciones innovadoras en diversos campos.\n<\/p>\n<p><a name=\"2\"><\/a><\/p>\n<h2><strong>2. \u00bfQu\u00e9 son las Funciones Algebraicas?<\/strong><\/h2>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\"><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=dLHAQhMjuag&amp;t=242s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">Las funciones algebraicas son un tipo especial de funci\u00f3n.<\/span><\/strong><\/a> Una funci\u00f3n es una ley de correspondencia entre dos conjuntos que representamos a trav\u00e9s de la escritura:<\/p>\n<p style=\"text-align: center; color: #000000;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f: A\\longmapsto B<\/span>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">Donde <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">A<\/span> es el conjunto de entrada y <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">B<\/span> el de salida.<\/p>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">Toda funci\u00f3n <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f<\/span> tiene, adem\u00e1s, un <strong>dominio<\/strong> (<span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">Dom(f)<\/span>) y un <strong>recorrido<\/strong> (<span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">Rec(f)<\/span>). El dominio es el conjunto de todos los valores de la entrada para los cuales la funci\u00f3n produce un resultado v\u00e1lido, el recorrido es el conjunto de todas las salidas posibles de la funci\u00f3n. El recorrido tambi\u00e9n es llamado <strong>Imagen<\/strong>, y el dominio <strong>preimagen.<\/strong> Al definir una funci\u00f3n, a veces es costumbre escribir de cualquiera de las siguientes dos formas:<\/p>\n<p style=\"text-align: center; color: #000000;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f: Dom(f)\\subseteq A\\longmapsto Rec(f)\\subseteq B<\/span>\n<p style=\"text-align: center; color: #000000;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f: Dom(f)\\ \\longmapsto Rec(f)<\/span>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">\n    As\u00ed pues, las funciones algebraicas son aquellas que se escriben en t\u00e9rminos de las <strong>operaciones algebraicas<\/strong> de sus variables, tales como la suma, resta, multiplicaci\u00f3n, divisi\u00f3n, potencia y ra\u00edz principal. Se dice, adem\u00e1s, que una funci\u00f3n es de variable real si se espera que sus variables sean sustituidas por n\u00fameros reales, de variable compleja si se espera que sean reemplazadas por n\u00fameros complejos, y as\u00ed con cualquier otro conjunto num\u00e9rico. Tambi\u00e9n se habla de funciones de una, dos, tres o varias variables, seg\u00fan si tiene una, dos, tres o muchas variables.\n<\/p>\n<h3>2.1. Ejemplos de Funciones Algebraicas<\/h3>\n<ol style=\"text-align: justify; color: #000000;\">\n<li>\n        <a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=dLHAQhMjuag&amp;t=349s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">Consideremos la siguiente funci\u00f3n<\/span><\/strong><\/a><\/p>\n<p style=\"text-align: center; color: #000000;\">\n            <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\begin{matrix}\n\n            f : &amp; \\mathbb{R} &amp; \\longrightarrow &amp; \\mathbb{R} \\\\\n\n            &amp; x &amp; \\longmapsto &amp; f(x) =x^3 + 5x + \\displaystyle \\frac{6}{\\sqrt{x}} \\\\\n\n            \\end{matrix}\n\n            <\/span>\n        <\/p>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">\n            Esto es una funci\u00f3n algebraica de una variable real. Aqu\u00ed podemos ver directamente que\n        <\/p>\n<p style=\"text-align: center; color: #000000;\">\n            <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">Dom(f) = \\{x\\in\\mathbb{R}\\;|\\; x\\gt 0\\} = ]0, +\\infty[ <\/span>\n        <\/p>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">\n            Esto es debido a que no existen divisiones por cero y porque la ra\u00edz principal s\u00f3lo est\u00e1 bien definida para los reales positivos.\n        <\/p>\n<\/li>\n<li>\n        <a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=dLHAQhMjuag&amp;t=707s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">Revisemos ahora la siguiente funci\u00f3n<\/span><\/strong><\/a><\/p>\n<p style=\"text-align: center; color: #000000;\">\n            <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\begin{matrix}\n\n            f : &amp; \\mathbb{R}^2 &amp; \\longrightarrow &amp; \\mathbb{R} \\\\\n\n            &amp; (x,y) &amp; \\longmapsto &amp; f(x,y) =\\displaystyle \\frac{2xy + \\frac{3}{x^2}}{\\sqrt[3]{y-1}} \\\\\n\n            \\end{matrix}\n\n            <\/span>\n        <\/p>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">\n            Esta es una funci\u00f3n de dos variables reales que entrega como resultado un n\u00famero real. Esto tambi\u00e9n se conoce como <strong>campo escalar.<\/strong>  Este tipo de funciones tambi\u00e9n escapan al alcance de este curso, pero son muy \u00fatiles en f\u00edsica para describir magnitudes como la temperatura o distribuciones de densidad. El dominio de esta funci\u00f3n tambi\u00e9n puede ser visto \u00aba simple vista\u00bb.\n        <\/p>\n<p style=\"text-align: center; color: #000000;\">\n            <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">Dom(f) = \\{(x,y)\\in\\mathbb{R}^2\\;|\\; x \\neq 0 \\wedge y\\neq 1 \\}<\/span>\n        <\/p>\n<\/li>\n<\/ol>\n<h3>2.2. Comentarios sobre el Gr\u00e1fico y el Recorrido<\/h3>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">\n    Determinar el recorrido es generalmente complicado. Luego veremos t\u00e9cnicas que nos permitir\u00e1n hacerlo f\u00e1cilmente, aun en casos en que parecer\u00eda imposible de lograr algebraicamente. Sin embargo, aun con estos m\u00e9todos existir\u00e1n problemas porque en ocasiones se necesitan t\u00e9cnicas que van m\u00e1s all\u00e1 del alcance de este curso, como el c\u00e1lculo de puntos cr\u00edticos para la identificaci\u00f3n de m\u00e1ximos y m\u00ednimos del <strong>c\u00e1lculo diferencial.<\/strong> Sin embargo, aun sin el c\u00e1lculo hay mucho que se puede hacer, y estas cosas las veremos a su debido momento.\n<\/p>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">\n    Si de todos modos si tienes inter\u00e9s en conocer el recorrido y gr\u00e1fico de estas funciones, siempre puedes acudir a Wolfram Alpha. Entra a <a href=\"https:\/\/www.wolframalpha.com\/\" rel=\"noopener, nofollow noopener\" target=\"_blank\">https:\/\/www.wolframalpha.com\/<\/a> y prueba copiando y pegando esto:<\/p>\n<p>    <code>x^3 + 5x + \\dfrac{6}{\\sqrt{x}}<\/code><\/p>\n<p>para tener una idea de c\u00f3mo ser\u00eda el primer ejemplo. Para el segundo copia y pega esto:<\/p>\n<p>    <code>\\dfrac{2xy + \\dfrac{3}{x^2}}{\\sqrt[3]{y-1}}<\/code>\n<\/p>\n<p><a name=\"3\"><\/a><\/p>\n<h2><strong>3. Otros Tipos de Funciones<\/strong><\/h2>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">\n    <a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=dLHAQhMjuag&amp;t=1041s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">Las funciones que estudiamos en este curso se pueden dividir en dos especies:<\/span><\/strong><\/a> Funciones Algebraicas y Funciones trascendentales. Las algebraicas, como ya vimos, son aquellas que se escriben en t\u00e9rminos de las operaciones fundamentales, las funciones trascendentales, en cambio, no se pueden escribir de esta manera o se requieren de expresiones compuestas de infinitas operaciones. A su vez, las funciones algebraicas se pueden separar en dos especies: las polinomiales y no polinomiales. Una funci\u00f3n polinomial es cualquier funci\u00f3n que se puede escribir como la suma o diferencia de potencias. Algo de la siguiente forma:\n<\/p>\n<p style=\"text-align: center; color: #000000;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle P(x) = \\sum_{i=0}^n a_i x^i = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \\cdots + a_n x^n<\/span>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">\n    Cualquier funci\u00f3n que no sea de esta forma es no-polinomial. Dentro de las funciones no-polinomiales destacan las funciones racionales, que son aquellas que se pueden escribir como cociente entre dos funciones polinomiales.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Funciones Algebraicas de N\u00fameros Reales Resumen: En esta clase, exploraremos las funciones algebraicas, su definici\u00f3n, propiedades y aplicaciones. Estas funciones son fundamentales en diversas \u00e1reas de las matem\u00e1ticas y tienen amplias aplicaciones pr\u00e1cticas. 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