{"id":26429,"date":"2021-10-08T13:00:54","date_gmt":"2021-10-08T13:00:54","guid":{"rendered":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/?p=26429"},"modified":"2024-05-25T22:57:48","modified_gmt":"2024-05-25T22:57:48","slug":"distribuciones-continuas-de-probabilidad","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/toposuranos.com\/material\/es\/distribuciones-continuas-de-probabilidad\/","title":{"rendered":"Distribuciones continuas de probabilidad"},"content":{"rendered":"<div style=\"background-color:#F3F3F3; padding:20px;\">\n<center><\/p>\n<h1>Distribuciones continuas de probabilidad<\/h1>\n<p><\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><strong>Resumen<\/strong><br \/><em>Aqu\u00ed examinaremos en profundidad el concepto de distribuciones continuas de probabilidad, destacando las caracter\u00edsticas y usos de las cinco m\u00e1s conocidas: la distribuci\u00f3n exponencial, la distribuci\u00f3n uniforme rectangular, la distribuci\u00f3n normal (Gaussiana), la distribuci\u00f3n Weibull y la distribuci\u00f3n Gamma. Se proporcionan las f\u00f3rmulas matem\u00e1ticas que definen cada una de estas distribuciones, y se examinan las implicaciones y las aplicaciones pr\u00e1cticas de estas, tales como la evaluaci\u00f3n de la emisi\u00f3n de part\u00edculas en muestras radiactivas o el c\u00e1lculo de la ubicaci\u00f3n de una bola en un riel con l\u00edmites. Adem\u00e1s, se detalla c\u00f3mo estas distribuciones pueden ser modificadas y adaptadas mediante la aplicaci\u00f3n de par\u00e1metros espec\u00edficos.<\/em><\/p>\n<p><\/center><br \/>\n<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><strong>OBJETIVOS DE APRENDIZAJE:<\/strong><br \/>\nAl finalizar esta clase, el estudiante ser\u00e1 capaz de:\n<\/p>\n<ol>\n<li><strong>Comprender<\/strong> qu\u00e9 son las distribuciones continuas de probabilidad.<\/li>\n<li><strong>Aplicar<\/strong> las distribuciones continuas de probabilidad m\u00e1s conocidas: exponencial, uniforme rectangular, Exponencial, Normal (gaussiana), Weibull, y Gamma.<\/li>\n<\/ol>\n<p><center><br \/>\n<strong><u>\u00cdNDICE DE CONTENIDOS<\/u>:<\/strong><br \/>\n<a href=\"#1\"><strong>\u00bfQu\u00e9 son las distribuciones continuas de probabilidad?<\/strong><\/a><br \/>\n<a href=\"#2\"><strong>Las 5 distribuciones continuas de probabilidad m\u00e1s conocidas<\/strong><\/a><br \/>\n<a href=\"#3\">Distribuci\u00f3n Exponencial<\/a><br \/>\n<a href=\"#4\">Distribuci\u00f3n Uniforme Rectangular<\/a><br \/>\n<a href=\"#5\">Distribuci\u00f3n Normal (Gaussiana)<\/a><br \/>\n<a href=\"#6\">Distribuci\u00f3n Weibull<\/a><br \/>\n<a href=\"#7\">Distribuci\u00f3n Gamma<\/a><br \/>\n<a href=\"#8\"><strong>Ejercicios<\/strong><\/a><br \/>\n<\/center><\/p>\n<p><center><iframe class=\"lazyload\" width=\"560\" height=\"315\" data-src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/REOTUa7K8uQ\" title=\"YouTube video player\" frameborder=\"0\" allow=\"accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture\" allowfullscreen=\"allowfullscreen\"><\/iframe><\/center>\n<\/div>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">Cuando revisamos lo relativo a los <a href=\"http:\/\/toposuranos.com\/material\/es\/conoce-el-espacio-muestral-de-la-teoria-de-las-probabilidades\/\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">espacios muestrales<\/a> vimos que estos pueden ser de dos especies: unos discretos y otros continuos. Tambi\u00e9n revisamos lo que conforma una <a href=\"http:\/\/toposuranos.com\/material\/es\/distribuciones-discretas-de-probabilidad-y-ejemplos\/\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">distribuci\u00f3n de probabilidad discreta.<\/a> Ahora es el turno de las distribuciones continuas de probabilidad.<\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<p><a name=\"1\"><\/a><\/br><\/br><\/p>\n<h2>\u00bfQu\u00e9 son las distribuciones continuas de probabilidad?<\/h2>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\"><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=REOTUa7K8uQ&amp;t=86s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">Diremos que una variable aleatoria<\/span><\/strong><\/a> <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">X<\/span><\/span> tiene una distribuci\u00f3n continua de probabilidad si existe una funci\u00f3n <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f_X : \\mathbb{R} \\longrightarrow \\mathbb{R}^+,<\/span><\/span> que llamaremos <strong>Densidad de <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">X,<\/span><\/span><\/strong> tal que <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\forall A \\subseteq \\mathbb{R}<\/span><\/span> valga la igualdad<\/p>\n<p style=\"text-align: center; color: #000000;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">P(X\\in A) = \\displaystyle \\int_A f_X(x)dx<\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">En particular, si tomamos <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">A=]a,b]<\/span><\/span> se tendr\u00e1<\/p>\n<p style=\"text-align: center; color: #000000;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">P(a\\lt X \\leq b) = \\displaystyle \\int_a^b f_X(x)dx<\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">y si <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a=-\\infty<\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: center; color: #000000;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">F_X(x) = P( X \\leq x) = \\displaystyle \\int_{-\\infty}^x f_X(t)dt<\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">Y adem\u00e1s, a partir de la propiedad (c) de las <a href=\"http:\/\/toposuranos.com\/material\/es\/variables-aleatorias-y-distribuciones-de-probabilidades\/\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\">distribuciones de probabilidad<\/a> se tendr\u00e1 que<\/p>\n<p style=\"text-align: center; color: #000000;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\int_{-\\infty}^{+\\infty} f_X(t)dt = 1<\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">Aplicando el teorema fundamental del c\u00e1lculo sobre esta \u00faltima expresi\u00f3n se tiene que para una distribuci\u00f3n contnua, <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">F_X(x),<\/span><\/span> es continua para todos los <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x,<\/span><\/span> y su dervada es <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f_X(x)<\/span><\/span> para todos los valores <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x<\/span><\/span> donde <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f_X(x)<\/span><\/span> sea continua. De la continuidad de <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">F_X(x)<\/span><\/span> y de la propiedad (d) (<a href=\"http:\/\/toposuranos.com\/material\/es\/variables-aleatorias-y-distribuciones-de-probabilidades\/\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\">ver aqu\u00ed<\/a>) se deduce que:<\/p>\n<p style=\"text-align: center; color: #000000;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">P(x=X)=0<\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">Y por lo tanto<\/p>\n<p style=\"text-align: center; color: #000000;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">P(x\\leq X)= P(x\\lt X)<\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">Si <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f<\/span><\/span> es cualquier funci\u00f3n que cumple con <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f\\geq 0<\/span><\/span> y con <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\int_{-\\infty}^{+\\infty}f(x)dx = 1,<\/span><\/span> entonces se dice que es ua densidad.<\/p>\n<p><a name=\"2\"><\/a><\/br><\/br><\/p>\n<h2>Las 5 distribuciones continuas de probabilidad m\u00e1s conocidas<\/h2>\n<p><a name=\"3\"><\/a><\/br><\/br><\/p>\n<h3>Distribuci\u00f3n Exponencial<\/h3>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\"><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=REOTUa7K8uQ&amp;t=714s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">Una funci\u00f3n de distribuci\u00f3n exponencial<\/span><\/strong><\/a> con par\u00e1metro <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\alpha \\gt 0 <\/span><\/span> es una funci\u00f3n de distribuci\u00f3n <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">F<\/span><\/span> de la forma.<\/p>\n<p style=\"text-align: center; color: #000000;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">F(t) = \\left\\{\\begin{array}{lll}\n\n1 - e^{-t\/\\alpha} &amp; ; &amp; t\\geq 0 \\\\ \\\\\n\n0 &amp; ; &amp; t\\lt 0\n\n\\end{array}\\right.<\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">En consecuencia, su funci\u00f3n de densidad es de la forma<\/p>\n<p style=\"text-align: center; color: #000000;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle f(t) = \\left\\{\\begin{array}{lll}\n\n\\frac{1}{\\alpha}e^{-t\/\\alpha} &amp; ; &amp; t\\geq 0 \\\\ \\\\\n\n0 &amp; ; &amp; t\\lt 0\n\n\\end{array}\\right.<\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">Si una variable aleatoria tiene distribuci\u00f3n exponencial con par\u00e1metro <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\alpha<\/span><\/span> escribimos <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">X\\sim Ex(\\alpha).<\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">En el contexto de la distribuci\u00f3n de Poisson, si tenemos una muestra radiactiva que emite una part\u00edcula con una tasa promedio de emisi\u00f3n <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">c,<\/span><\/span> entonces el instante de tiempo <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">T<\/span><\/span> en que emite la primera part\u00edcula tiene distribuci\u00f3n exponencial con par\u00e1metro <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">1\/c.<\/span><\/span> En otras palabras <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">T\\sim Ex(1\/c),<\/span><\/span> y en consecuencia:<\/p>\n<p style=\"text-align: center; color: #000000;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">P(T\\geq t)= e^{-ct}<\/span><\/span><\/p>\n<p><a name=\"4\"><\/a><\/br><\/br><\/p>\n<h3>Distribuci\u00f3n Uniforme Rectangular<\/h3>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\"><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=REOTUa7K8uQ&amp;t=930s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">Una distribuci\u00f3n uniforme rectangular<\/span><\/strong><\/a> sobre un intervalo <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">[a,b]<\/span><\/span> es aquella que es definida por la funci\u00f3n de densidad<\/p>\n<p style=\"text-align: center; color: #000000;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f(x) = \\left\\{\\begin{array}{lll}\n\n\\displaystyle\\frac{1}{b-a} &amp; ; &amp; x\\in[a,b] \\\\ \\\\\n\n0 &amp; ; &amp; E.O.C.\n\n\\end{array}\\right.<\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">Si soltamos una peque\u00f1a bolita en un riel con l\u00edmites en los extremos del intervalo <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">[a,b],<\/span><\/span> y esta rebota el\u00e1sticamente al chocar con los bordes, entonces la variable aleatoria <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">X<\/span><\/span> asociada a la posici\u00f3n de detenci\u00f3n de la bolita por efecto del roce tiene distribuci\u00f3n uniforme rectangular y se escribe <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">X\\sim Un(a,b)<\/span>.<\/span><\/p>\n<p><a name=\"5\"><\/a><\/br><\/br><\/p>\n<h3>Distribuci\u00f3n Normal (Gaussiana)<\/h3>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\"><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=REOTUa7K8uQ&amp;t=1109s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">De entre las distribuciones continuas<\/span><\/strong><\/a> de probabilidad, la distribuci\u00f3n normal es una de las m\u00e1s populares en la pr\u00e1ctica.<\/p>\n<h4>Distribuci\u00f3n normal est\u00e1ndar<\/h4>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\"><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=REOTUa7K8uQ&amp;t=1150s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">Se define la densidad normal est\u00e1ndar<\/span><\/strong><\/a> a trav\u00e9s de la funci\u00f3n<\/p>\n<p style=\"text-align: center; color: #000000;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\phi_{0,1}(x) = \\frac{1}{\\sqrt{2\\pi}} e^{-x^2\/2}<\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">Por su definici\u00f3n, es claro que <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\phi\\gt 0.<\/span><\/span> Por lo tanto, se puede verificar que \u00e9sto es una densidad de probabilidad simplemente corroborando que<\/p>\n<p style=\"text-align: center; color: #000000;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\int_{-\\infty}^{+\\infty}\\phi_{0,1}(x)dx<\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">Esta \u00faltima igualdad se puede demostrar calculando el valor de <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">I^2<\/span><\/span> cuando <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">I =\\int_{-\\infty}^{+\\infty}\\phi(x)dx=1.<\/span><\/span> En efecto, se tiene que:<\/p>\n<p style=\"text-align: center; color: #000000;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\begin{array}{rl}\n\nI^2 &amp; = \\displaystyle \\int_{-\\infty}^{+\\infty}\\frac{1}{\\sqrt{2\\pi}} e^{-x^2\/2} dx \\int_{-\\infty}^{+\\infty}\\frac{1}{\\sqrt{2\\pi}} e^{-x^2\/2}dx \\\\ \\\\\n\n&amp; = \\displaystyle \\int_{-\\infty}^{+\\infty}\\frac{1}{\\sqrt{2\\pi}} e^{-x^2\/2} dx \\int_{-\\infty}^{+\\infty}\\frac{1}{\\sqrt{2\\pi}} e^{-y^2\/2} dy \\\\ \\\\\n\n&amp; = \\displaystyle \\frac{1}{{2\\pi}} \\int_{-\\infty}^{+\\infty} \\int_{-\\infty}^{+\\infty} e^{-\\frac{x^2 + y^2}{2}} dxdy \\\\ \\\\\n\n\\end{array}<\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">Pero resulta que<\/p>\n<p style=\"text-align: center; color: #000000;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\n\\displaystyle \\int_{-\\infty}^{+\\infty} \\int_{-\\infty}^{+\\infty} e^{-\\frac{x^2 + y^2}{2}} dxdy = \\int_{0}^{2\\pi} \\int_{0}^{+\\infty} e^{-r^2\/2} rdr d\\theta = 2\\pi <\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">Por lo tanto <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">I^2 = 1,<\/span><\/span> de modo que <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">I=\\int_{-\\infty}^{+\\infty}\\phi_{0,1}(x)dx = 1. <\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">A partir de la densidad normal estandar se define la distribuci\u00f3n normal estandar <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\Phi_{0,1}(x) = \\int_{-\\infty}^x\\phi_{0,1}(t)dt.<\/span><\/span> Si una variable aleatoria <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">X<\/span><\/span> tiene distribuci\u00f3n normal est\u00e1ndar, entonces se escribe <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">X\\sim N(0,1).<\/span><\/span> La distribuci\u00f3n <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\Phi_{0,1}(x)<\/span><\/span> no se puede calcular de forma explicita, sin embargo, existen tablas que permiten obtener r\u00e1pidamente valores aproximados.<\/p>\n<h4>Distribuci\u00f3n normal con par\u00e1metros <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\mu<\/span><\/span> y <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\sigma<\/span><\/span><\/h4>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\"><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=REOTUa7K8uQ&amp;t=1875s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">A partir de la densidad de la distribuci\u00f3n normal est\u00e1ndar<\/span><\/strong><\/a> <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\phi_{0,1}<\/span><\/span> es posible construir la densidad para la distribuci\u00f3n normal con par\u00e1metros <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\mu<\/span><\/span> y <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\sigma,<\/span><\/span> donde <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\mu\\in\\mathbb{R}<\/span><\/span> y <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\sigma\\gt 0 <\/span><\/span> son, respectivamente, la media y la desviaci\u00f3n est\u00e1ndar. La densidad de la distribuci\u00f3n normal con estos par\u00e1metros queda escrita de la siguiente manera:<\/p>\n<p style=\"text-align: center; color: #000000;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle\\phi_{\\mu,\\sigma}(x) = \\frac{1}{\\sigma}\\phi_{0,1}\\left(\\frac{x-\\mu}{\\sigma} \\right)<\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">De modo que la distribuci\u00f3n normal con patr\u00e1metros <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\mu<\/span><\/span> y <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\sigma,<\/span><\/span> <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\Phi_{\\mu,\\sigma}(x)<\/span><\/span>, queda de la forma<\/p>\n<p style=\"text-align: center; color: #000000;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\Phi_{\\mu,\\sigma}(x) = \\int_{-\\infty}^x\\frac{1}{\\sigma}\\phi_{0,1}\\left(\\frac{t-\\mu}{\\sigma} \\right)dt = \\frac{1}{\\sqrt{2\\pi\\sigma}}\\int_{-\\infty}^x e^{-\\frac{(t-\\mu)^2}{2\\sigma^2}}dt<\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">Si la variable aleatoria <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">X<\/span><\/span> tiene distribuci\u00f3n normal con par\u00e1metros <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\mu, \\sigma,<\/span><\/span> entonces se escribe <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">X\\sim N(\\mu, \\sigma).<\/span><\/span><\/p>\n<p><a name=\"6\"><\/a><\/br><\/br><\/p>\n<h3>Distribuci\u00f3n Weibull<\/h3>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\"><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=REOTUa7K8uQ&amp;t=2230s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">La distribuci\u00f3n Weibull<\/span><\/strong><\/a> con par\u00e1metros <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\alpha,\\beta \\gt 0<\/span><\/span> tiene una funci\u00f3n de distribuci\u00f3n de la forma<\/p>\n<p style=\"text-align: center; color: #000000;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">F(t) = \\left\\{\\begin{array}{llr}\n\n\\left(1 - e^{-t\/\\alpha} \\right)^\\beta &amp;;&amp; t\\geq 0 \\\\ \\\\\n\n0 &amp;;&amp; t\\lt 0\n\n\\end{array}\\right.<\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">Si una variable aleatoria <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">X<\/span><\/span> tiene distribuci\u00f3n Weibull con par\u00e1metros <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\alpha, \\beta<\/span><\/span> se escribe <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">X\\sim We(\\alpha,\\beta).<\/span><\/span> La distribuci\u00f3n Weibull es una generalizaci\u00f3n para la distribuci\u00f3n exponencial, n\u00f3tese que <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">We(\\alpha,1) = Ex(\\alpha).<\/span><\/span><\/p>\n<p><a name=\"7\"><\/a><\/br><\/br><\/p>\n<h3>Distribuci\u00f3n Gamma<\/h3>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\"><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=REOTUa7K8uQ&amp;t=2311s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">La distribuci\u00f3n Gamma<\/span><\/strong><\/a> con par\u00e1metros <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\beta,\\alpha<\/span><\/span> tiene una funci\u00f3n de densidad de la forma<\/p>\n<p style=\"text-align: center; color: #000000;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f(t) = \\left\\{\\begin{array}{llr}\n\n\\displaystyle \\frac{1}{\\alpha \\Gamma(\\beta)}\\left(\\frac{t}{\\alpha} \\right)^{\\beta-1}e^{-t\/\\alpha} &amp;;&amp; t\\geq 0 \\\\ \\\\\n\n0 &amp;;&amp; t\\lt 0\n\n\\end{array}\\right.<\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">Donde <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\Gamma(s) = \\displaystyle \\int_0^{+\\infty}u^{s-1}e^{-u}du <\/span><\/span> es lo que se conoce como \u00abFunci\u00f3n Gamma\u00bb.<\/p>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">Una de las propiedades m\u00e1s notables de la funci\u00f3n Gamma es que permite generalizar los factoriales de los n\u00fameros naturales sobre los reales (e incluso los complejos). No es complicado verificar que <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\Gamma(s+1) = s\\Gamma(s)<\/span><\/span> integrando por partes. Adem\u00e1s, como <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\Gamma(1)=1<\/span><\/span> resulta que<\/p>\n<p style=\"text-align: center; color: #000000;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\left(\\forall n\\in\\mathbb{N}\\right)\\left(\\Gamma(n) = (n-1)! \\right)<\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">Si una variable aleatoria <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">X<\/span><\/span> tiene distribuci\u00f3n GAmma con par\u00e1metros <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\beta, \\alpha<\/span><\/span> se escribe <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">X\\sim Ga(\\alpha,\\beta).<\/span><\/span> La distribuci\u00f3n Gamma es otra generalizaci\u00f3n para la distribuci\u00f3n exponencial, n\u00f3tese que <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">Ga(\\alpha,1) = Ex(\\alpha).<\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">En un proceso de Poisson con frecuencia <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">c<\/span><\/span> (como un decaimiento radiactivo), si <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">T<\/span><\/span> es la variable aleatoria que representa el instante en que se produce el m-\u00e9simo evento; entonces, dado un <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">t\\geq 0<\/span><\/span> y un n\u00famero <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">N<\/span><\/span> de sucesos que ocurren en el intervalo de tiempo <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">[0,t]<\/span><\/span> se tendr\u00e1 que <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">t\\lt T \\leftrightarrow N\\lt m<\/span><\/span> y, como <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">N\\sim Po(ct),<\/span><\/span> se tiene:<\/p>\n<p style=\"text-align: center; color: #000000;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">1-F_T(t) = P(T\\gt t) = \\displaystyle \\sum_{k=0}^{m-1}Po(k; ct)=e^{-ct}\\sum_{k=0}^{m-1}\\frac{(ct)^k}{k!}<\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">Y por lo tanto, si derivamos esto descubriremos que la funci\u00f3n de densidad es<\/p>\n<p style=\"text-align: center; color: #000000;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle f(t) = ce^{-ct}\\frac{(ct)^{m-1}}{(m-1)!}<\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">Y por lo tanto, <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">T\\sim Ga(1\/c, m).<\/span><\/span><\/p>\n<p><a name=\"8\"><\/a><\/br><\/br><\/p>\n<h2>Ejercicios<\/h2>\n<ol style=\"text-align: justify; color: #000000;\">\n<li>Hallar la constante <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">c<\/span><\/span> tal que <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle f(x) = \\frac{c}{x^2+1}<\/span><\/span> es una densidad de probabilidad y calcule la correspodiente funci\u00f3n de distribuci\u00f3n de probabilidad (distribuci\u00f3n de Cauchy)<\/li>\n<li>A partir de la funci\u00f3n de densidad de la distribuci\u00f3n <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">Un(a.b),<\/span><\/span> determine su correspondiente funci\u00f3n de distribuci\u00f3n.<\/li>\n<li>Demuestre que la funci\u00f3n <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\Phi_{\\mu,\\sigma}(x)<\/span><\/span> es una funci\u00f3n de distribuci\u00f3n de probabilidad.<\/li>\n<\/ol>\n<p><center><iframe class=\"lazyload\" width=\"560\" height=\"315\" data-src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/kdxgrB1h98g\" title=\"YouTube video player\" frameborder=\"0\" allow=\"accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture\" allowfullscreen><\/iframe><\/center><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Distribuciones continuas de probabilidad ResumenAqu\u00ed examinaremos en profundidad el concepto de distribuciones continuas de probabilidad, destacando las caracter\u00edsticas y usos de las cinco m\u00e1s conocidas: la distribuci\u00f3n exponencial, la distribuci\u00f3n uniforme rectangular, la distribuci\u00f3n normal (Gaussiana), la distribuci\u00f3n Weibull y la distribuci\u00f3n Gamma. 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