{"id":26421,"date":"2021-05-27T13:00:44","date_gmt":"2021-05-27T13:00:44","guid":{"rendered":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/?p=26421"},"modified":"2025-01-16T15:32:21","modified_gmt":"2025-01-16T15:32:21","slug":"proceso-de-poisson-aproximacion-del-proceso-binomial","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/toposuranos.com\/material\/es\/proceso-de-poisson-aproximacion-del-proceso-binomial\/","title":{"rendered":"Proceso de Poisson: Aproximaci\u00f3n del Proceso Binomial"},"content":{"rendered":"<div style=\"background-color:#F3F3F3; padding:20px;\">\n<center><\/p>\n<h1>Proceso de Poisson: Aproximaci\u00f3n del Proceso Binomial<\/h1>\n<p><\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><strong>Resumen<\/strong><br \/><em>Esta clase se enfoca en el Proceso de Poisson como una aproximaci\u00f3n al Proceso Binomial, comenzando con la definici\u00f3n de los coeficientes y la distribuci\u00f3n de Poisson, la cual se deriva de un evento de Bernoulli con un gran n\u00famero de intentos y una probabilidad individual muy peque\u00f1a. La parte central de esta clase aborda los procesos aproximados de Poisson, tanto espaciales como temporales, utilizando ejemplos de part\u00edculas diminutas en un l\u00edquido y la emisi\u00f3n de part\u00edculas por una sustancia radiactiva, respectivamente. Finalmente, concluye con ejemplos pr\u00e1cticos de la aplicaci\u00f3n de la distribuci\u00f3n de Poisson en diferentes contextos, como la atenci\u00f3n al cliente en un supermercado y la densidad poblacional en una localidad.<\/em><\/p>\n<p><\/center><br \/>\n<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><strong>OBJETIVOS DE APRENDIZAJE:<\/strong><br \/>\nAl finalizar esta clase, el estudiante ser\u00e1 capaz de:\n<\/p>\n<ol>\n<li><strong>Comprender<\/strong> la definici\u00f3n y los coeficientes de la distribuci\u00f3n de Poisson.<\/li>\n<li><strong>Comprender<\/strong> el proceso de Poisson como una aproximaci\u00f3n al proceso binomial.<\/li>\n<li><strong>Comprender<\/strong> la equivalencia formal entre los procesos espaciales y temporales de Poisson.<\/li>\n<li><strong>Utilizar<\/strong> la distribuci\u00f3n de Poisson para resolver problemas pr\u00e1cticos.<\/li>\n<\/ol>\n<p><center><br \/>\n<strong><u>\u00cdNDICE DE CONTENIDOS<\/u>:<\/strong><br \/>\n<a href=\"#1\">Los Coeficientes y la Distribuci\u00f3n de Poisson<\/a><br \/>\n<a href=\"#2\">Procesos aproximados de Poisson<\/a><br \/>\n<a href=\"#3\">Proceso Espacial de Poisson<\/a><br \/>\n<a href=\"#4\">Proceso Temporal de Poisson<\/a><br \/>\n<a href=\"#5\">Temporal y Espacial<\/a><br \/>\n<a href=\"#6\">Ejemplos pr\u00e1cticos donde se usa la distribuci\u00f3n de Poisson<\/a><br \/>\n<\/center><br \/>\n<center><iframe class=\"lazyload\" width=\"560\" height=\"315\" data-src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/mQ0j3FE8p2U\" title=\"YouTube video player\" frameborder=\"0\" allow=\"accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture\" allowfullscreen=\"allowfullscreen\"><\/iframe><\/center>\n<\/div>\n<p><a name=\"1\"><\/a><\/br><\/br><\/p>\n<h2>Los Coeficientes y la Distribuci\u00f3n de Poisson<\/h2>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\"><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=mQ0j3FE8p2U&amp;t=154s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">Ahora consideremos una aproximaci\u00f3n<\/span><\/strong><\/a> para la <a href=\"https:\/\/toposuranos.com\/el-ensayo-de-bernoulli-para-n-intentos-independientes\/\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\">distribuci\u00f3n binomial<\/a>, en la que se considera un n\u00famero de intentos <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">n<\/span><\/span> muy grande y todos con una probabilidad individual <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">p<\/span><\/span> muy peque\u00f1a. Cuando hacemos esto, pasamos del t\u00edpico proceso Binomial a un Proceso de Poisson. Para visualizar esto, imaginemos una sucesi\u00f3n de la forma <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\{Bi(n;k;p_n)\\}_n,<\/span><\/span> donde <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">n\\to\\infty<\/span><\/span> y <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">p_n<\/span><\/span> satisface la relaci\u00f3n <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">np_n=\\lambda \\gt 0<\/span><\/span>. A partir de esto, veremos que<\/p>\n<p style=\"text-align: center; color: #000000;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle\\lim_{n\\to\\infty}P\\left(Bi(n;k;P_n) \\right) = \\frac{\\lambda^k}{k!}e^{-\\lambda}<\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">Esto en realidad no es dif\u00edcil de demostrar, si tomamos la probabilidad de un evento de Bernoulli <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">Bi(n;k;p_n)<\/span><\/span> y la multiplicamos y dividimos por <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">n^k<\/span><\/span>, obtenemos el siguiente razonamiento:<\/p>\n<table style=\"text-align: justify; color: #000000;\">\n<tbody>\n<tr>\n<td width=\"80px\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">P(B(n;k;p_n))<\/span><\/span><\/td>\n<td><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle={{n}\\choose{k}}p^k(1-p)^{n-k}<\/span><span style=\"color: #f00000;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\cdot \\displaystyle \\frac{n^k}{n^k}<\/span><\/span><\/span><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td width=\"80px\"><\/td>\n<td><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle=\\frac{n!}{(n-k)!k!}p^k(1-p)^{n-k} \\cdot \\frac{n^k}{n^k}<\/span><\/span><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td width=\"80px\"><\/td>\n<td><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle=\\frac{n(n-1)\\cdots[n-(k-1)]}{n^k} \\cdot \\frac{(np_n)^k}{k!} (1-p_n)^{-k}(1-p_n)^n<\/span><\/span><\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">De modo que si calculamos el l\u00edmite cuando <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">n\\to\\infty<\/span><\/span>, se tendr\u00e1:<\/p>\n<p style=\"text-align: center; color: #000000;\"><span dir=\"ltr\"><br \/>\n<span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\n\\begin{array}{rl}\n\n\\displaystyle \\lim_{n\\to\\infty} {{n}\\choose{k}}p_n^k(1-p_n)^{n-k} &amp;= \\displaystyle \\lim_{n\\to\\infty} \\underbrace{\\frac{n(n-1)\\cdots[n-(k-1)]}{n^k}}_{\\to 1} \\cdot \\frac{\\overbrace{(np_n)^k}^{\\to\\lambda^k}}{k!} \\overbrace{(1-p_n)^{-k}}^{\\to 1} {(1-p_n)^n} \\\\ \\\\\n\n&amp;\\displaystyle = \\frac{\\lambda^k}{k!} \\lim_{n\\to\\infty}\\left(1 - \\frac{\\lambda}{n} \\right)^n \\\\ \\\\\n\n&amp; \\displaystyle = \\frac{\\lambda^k}{k!}e^{-\\lambda}\n\n\\end{array}\n\n<\/span>\n<\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">A partir de esto, se definen los coeficientes de Poisson, <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">Po(k;\\lambda)<\/span><\/span>, a trav\u00e9s de<\/p>\n<p style=\"text-align: center; color: #000000;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> \\displaystyle Po(k;\\lambda) := \\lim_{n\\to\\infty} {{n}\\choose{k}}p^k(1-p_n)^{n-k} = \\frac{\\lambda^k}{k!}e^{-\\lambda} <\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">Y se dice que una variable aleatoria <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">X<\/span><\/span> tiene distribuci\u00f3n de Poisson, <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">X\\sim Po(k,\\lambda),<\/span><\/span> si se cumple que:<\/p>\n<p style=\"text-align: center; color: #000000;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> P(X=k) = Po(k;\\lambda) <\/span><\/span><\/p>\n<p><a name=\"2\"><\/a><\/br><\/br><\/p>\n<h2>Procesos aproximados de Poisson<\/h2>\n<p><a name=\"3\"><\/a><\/br><\/br><\/p>\n<h3>Proceso Espacial de Poisson<\/h3>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\"><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=mQ0j3FE8p2U&amp;t=665s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">Supongamos que tenemos un recipiente de volumen<\/span><\/strong><\/a> <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">V<\/span><\/span> con un l\u00edquido donde se encuentran <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">n<\/span><\/span> part\u00edculas diminutas uniformemente revueltas. Aqu\u00ed asumimos que el l\u00edquido est\u00e1 bien batido y que las part\u00edculas no interact\u00faan entre s\u00ed, no se atraen ni se repelen. Estas son suposiciones que se pueden formalizar a trav\u00e9s de las siguientes afirmaciones:<\/p>\n<ul style=\"text-align: justify; color: #000000;\">\n<li><strong>Hip\u00f3tesis de Homogeneidad espacial:<\/strong> La probabilidad de encontrar una part\u00edcula en una regi\u00f3n <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">D<\/span><\/span> del l\u00edquido depende \u00fanicamente del volumen de tal regi\u00f3n.<\/li>\n<li><strong>No-Interacci\u00f3n:<\/strong> Los eventos \u00abla j-\u00e9sima part\u00edcula est\u00e1 en la regi\u00f3n D\u00bb, con j=1,2,&#8230;,n son todos n-independientes.<\/li>\n<li><strong>No-Superposici\u00f3n:<\/strong> Dos part\u00edculas no pueden ocupar el mismo lugar en el espacio.<\/li>\n<\/ul>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">Si nos damos una regi\u00f3n <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">D<\/span><\/span> con un volumen <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">v<\/span><\/span>, la probabilidad del evento \u00aben <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">D<\/span><\/span> hay <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">k<\/span><\/span> part\u00edculas\u00bb depende exclusivamente de <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">v<\/span><\/span>; llamemos <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">g_k(v)<\/span><\/span> a tal evento. Sea <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">h(v)<\/span><\/span> la probabilidad de que la part\u00edcula est\u00e9 en el interior de una regi\u00f3n de volumen <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">v.<\/span><\/span> Si <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">D_1<\/span><\/span> y <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">D_2<\/span><\/span> son dos regiones disjuntas de volumen <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">v_1<\/span><\/span> y <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">v_2<\/span><\/span> respectivamente, entonces se tendr\u00e1 que si <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">D=D_1\\cup D_2,<\/span><\/span> tiene volumen <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">v,<\/span><\/span> entonces <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">v=v_1+v_2.<\/span><\/span> Y como <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">D_1<\/span><\/span> y <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">D_2<\/span><\/span> son disjuntos (<span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">D_1\\cap D_2 = \\emptyset <\/span><\/span>), se tendr\u00e1 que<\/p>\n<p style=\"text-align: center; color: #000000;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> h(v) = h(v_1) + h(v_2) <\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">Si <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">V<\/span><\/span> es el volumen del l\u00edquido completo, entonces se tendr\u00e1 que<\/p>\n<p style=\"text-align: center; color: #000000;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> h(V) = 1 <\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">Y en consecuencia:<\/p>\n<p style=\"text-align: center; color: #000000;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> h(v) =\\displaystyle \\frac{v}{V} <\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">De aqu\u00ed tenemos que el evento <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">g_k(v)<\/span><\/span> es en realidad un evento de tipo Bernoulli con <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">p=v\/V<\/span><\/span> y est\u00e1 dado por:<\/p>\n<p style=\"text-align: center; color: #000000;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> g_k(v) =B(n;k;p=v\/V) <\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">Sin embargo, la mayor\u00eda de las situaciones pr\u00e1cticas de este estilo involucran un gran n\u00famero de part\u00edculas <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">n<\/span><\/span> y las regiones consideradas tienden a ser peque\u00f1as con respecto al tama\u00f1o del sistema, de modo que se cumplen las condiciones para aplicar la aproximaci\u00f3n de Poisson y se tiene que:<\/p>\n<p style=\"text-align: center; color: #000000;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle P(g_k(v)) = \\lim_{\\begin{matrix}n\\to\\infty\\\\ v\/V=c \\end{matrix}}P(B(n;k;p=v\/V)) =\\displaystyle \\frac{(cv)^k}{k!}e^{-cv}<\/span><\/span><\/p>\n<p><a name=\"4\"><\/a><\/br><\/br><\/p>\n<h3>Proceso Temporal de Poisson<\/h3>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\"><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=mQ0j3FE8p2U&amp;t=944s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">Supongamos que estamos registrando la cantidad<\/span><\/strong><\/a> de part\u00edculas emitidas por una sustancia radiactiva a partir del instante t=0 y, a partir de eso, calcularemos la probabilidad de que en el intervalo [0,t[ se emitan exactamente k part\u00edculas bajo los siguientes supuestos:<\/p>\n<ul style=\"text-align: justify; color: #000000;\">\n<li><strong>Invariancia:<\/strong> Las condiciones del experimento no cambian en el tiempo.<\/li>\n<li><strong>No-Memoria:<\/strong> Lo que sucedi\u00f3 en [0,t[ no afecta a lo que ocurre en [t,t'[.<\/li>\n<li><strong>Sucesos Aislados:<\/strong> Las part\u00edculas son emitidas una a la vez.<\/li>\n<\/ul>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">Si comparamos los supuestos del proceso temporal con el del proceso espacial, nos daremos cuenta de que son formalmente equivalentes. As\u00ed como la probabilidad de encontrar una part\u00edcula en una regi\u00f3n no depende del lugar de donde se elija la regi\u00f3n, sino solo del tama\u00f1o, la probabilidad de observar la emisi\u00f3n de una part\u00edcula no depende del momento que se elija medir, sino s\u00f3lo del intervalo de observaci\u00f3n. La no-memoria es an\u00e1loga a la no-interacci\u00f3n de los procesos espaciales: lo que ocurri\u00f3 en otro momento no afecta a lo que ocurre en los dem\u00e1s instantes. Y finalmente, los sucesos aislados implican que en un instante de tiempo solo se puede emitir una part\u00edcula, de forma an\u00e1loga a como un lugar en el espacio solo puede ser ocupado por un cuerpo a la vez.<\/p>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">As\u00ed, si definimos el evento \u00abse emiten k part\u00edculas en un intervalo de tiempo <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">t<\/span><\/span>,\u00bb su probabilidad de ocurrir ser\u00e1 un evento de la forma <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">g_k(t)<\/span><\/span>, es decir:<\/p>\n<p style=\"text-align: center; color: #000000;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">P(g_k(t)) =\\displaystyle \\frac{(ct)^k}{k!} e^{-ct}<\/span><\/span><\/p>\n<p><a name=\"5\"><\/a><\/br><\/br><\/p>\n<h3>Temporal y Espacial<\/h3>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\"><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=mQ0j3FE8p2U&amp;t=1102s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">Ambos procesos, espacial y temporal, son formalmente equivalentes.<\/span><\/strong><\/a> S\u00f3lo var\u00edan en la forma en que se interpretan para fines pr\u00e1cticos. Una forma r\u00e1pida de hacer m\u00e1s clara esa distinci\u00f3n es observando el rol que cumple la constante \u00abc\u00bb que aparece en ambos casos. Para que la funci\u00f3n exponencial est\u00e9 bien definida, es necesario que su argumento sea adimensional; sin embargo, esta tiene en su contenido unidades de tiempo o de espacio seg\u00fan si tratamos con procesos temporales o espaciales. Este problema lo arregla justamente la constante c. Tenemos que:<\/p>\n<p style=\"text-align: center; color: #000000;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">Po(k;\\lambda)=\\displaystyle \\frac{\\lambda^k}{k!}e^{-\\lambda}=\\left\\{\\begin{matrix} {Tomando\\,\\lambda = \\rho v } &amp; \\longmapsto &amp;\\displaystyle \\frac{(\\rho v)^k}{k!}e^{-\\rho v} &amp; {Proceso\\,Espacial} \\\\ {Tomando\\,\\lambda = \\nu t } &amp; \\longmapsto &amp;\\displaystyle \\frac{(\\nu t)^k}{k!}e^{-\\nu t} &amp; {Proceso\\,Temporal} \\end{matrix} \\right.<\/span><\/span><\/p>\n<ul style=\"text-align: justify; color: #000000;\">\n<li>Si <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">c=\\rho<\/span><\/span>, se trata de una densidad espacial (n\u00famero de cosas por unidad de espacio), por tanto define un proceso espacial de Poisson.<\/li>\n<li>Si <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">c=\\nu<\/span><\/span>, se trata de una densidad temporal (o frecuencia, cantidad de ocurrencias por unidad de tiempo), por tanto, define un proceso temporal de Poisson.<\/li>\n<\/ul>\n<p><center><iframe class=\"lazyload\" width=\"560\" height=\"315\" data-src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/8qvHRoEckSc\" title=\"YouTube video player\" frameborder=\"0\" allow=\"accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture\" allowfullscreen=\"allowfullscreen\"><\/iframe><\/center><br \/>\n<a name=\"6\"><\/a><\/br><\/br><\/p>\n<h2>Ejemplos pr\u00e1cticos donde se usa la distribuci\u00f3n de Poisson<\/h2>\n<ol style=\"text-align: justify; color: #000000;\">\n<li>La caja de un supermercado atiende en promedio a 2 clientes cada 9 minutos. Elabore una tabla donde muestre las probabilidades de que atienda entre 1, 2, 3, y as\u00ed sucesivamente, hasta 5 personas en un espacio de tiempo de 5 minutos.<\/li>\n<li>Una cl\u00ednica veterinaria tiene la capacidad para atender como m\u00e1ximo 12 clientes al d\u00eda. Si en promedio reciben 9 clientes cada d\u00eda, \u00bfcu\u00e1l es la probabilidad de que un d\u00eda cualquiera se sobrepase la capacidad de atenci\u00f3n de la cl\u00ednica?<\/li>\n<li>Cierta localidad tiene una densidad poblacional de 10 personas por cada 1000 metros cuadrados. \u00bfCu\u00e1l es la probabilidad de que en un sitio de 60 metros cuadrados encontremos menos de 15 personas?<\/li>\n<li>Una gallina quiere cruzar la calle. Caminando en l\u00ednea recta, le toma 58 segundos. Si la calle tiene un tr\u00e1fico vehicular de 3 veh\u00edculos por minuto, y si un veh\u00edculo pasa mientras la gallina intenta cruzar, con toda seguridad la atropellar\u00e1 con resultados mortales. \u00bfCu\u00e1l es la probabilidad de que la gallina llegue viva al otro lado?<\/li>\n<\/ol>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Proceso de Poisson: Aproximaci\u00f3n del Proceso Binomial ResumenEsta clase se enfoca en el Proceso de Poisson como una aproximaci\u00f3n al Proceso Binomial, comenzando con la definici\u00f3n de los coeficientes y la distribuci\u00f3n de Poisson, la cual se deriva de un evento de Bernoulli con un gran n\u00famero de intentos y una probabilidad individual muy peque\u00f1a. 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