{"id":26417,"date":"2021-05-12T13:00:35","date_gmt":"2021-05-12T13:00:35","guid":{"rendered":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/?p=26417"},"modified":"2024-05-21T23:59:24","modified_gmt":"2024-05-21T23:59:24","slug":"el-ensayo-de-bernoulli-y-la-distribucion-binomial","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/toposuranos.com\/material\/es\/el-ensayo-de-bernoulli-y-la-distribucion-binomial\/","title":{"rendered":"El Ensayo de Bernoulli y la Distribuci\u00f3n Binomial"},"content":{"rendered":"<div style=\"background-color:#F3F3F3; padding:20px;\">\n<center><\/p>\n<h1>El Ensayo de Bernoulli y la Distribuci\u00f3n Binomial<\/h1>\n<p><\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><strong>Resumen<\/strong><br \/><em>En esta clase estudiaremos el concepto de los ensayos de Bernoulli y sus implicaciones en la teor\u00eda de las probabilidades. Iniciamos con una definici\u00f3n detallada de los ensayos de Bernoulli para luego abordar el concepto de independencia entre eventos. Tras aclarar estas ideas, se aplica el teorema del binomio para entender c\u00f3mo la repetici\u00f3n de un ensayo de Bernoulli producen resultados con distribuci\u00f3n binomial. Finalmente, se proponen ejercicios pr\u00e1cticos para aplicar y reforzar estos conceptos.<\/em><\/p>\n<p><\/center><br \/>\n<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><strong>OBJETIVOS DE APRENDIZAJE:<\/strong><br \/>\nAl finalizar esta clase, el estudiante ser\u00e1 capaz de:\n<\/p>\n<ol>\n<li><strong>Identificar<\/strong> las caracter\u00edsticas principales de los ensayos de Bernoulli, incluyendo la independencia entre los intentos.<\/li>\n<li><strong>Aplicar<\/strong> correctamente la notaci\u00f3n para los eventos binomiales derivados de los ensayos de Bernoulli.<\/li>\n<li><strong>Distinguir<\/strong> entre distintas formas de independencia (2-independencia, 3-independencia, n-independencia) y comprender su relaci\u00f3n y aplicaci\u00f3n en los ensayos de Bernoulli.<\/li>\n<li><strong>Comprender<\/strong> la relaci\u00f3n entre el ensayo de Bernoulli y el teorema del binomio, y c\u00f3mo esta relaci\u00f3n puede ser utilizada para calcular la probabilidad de una serie de \u00e9xitos y fracasos.<\/li>\n<li><strong>Aplicar<\/strong> la distribuci\u00f3n binomial (o de Bernoulli) para calcular la probabilidad de un cierto n\u00famero de \u00e9xitos en una serie de intentos.<\/li>\n<\/ol>\n<p><center><br \/>\n<strong><u>INDICE DE CONTENIDOS<\/u>:<\/strong><br \/>\n<a href=\"#1\">El ensayo de Bernoulli<\/a><br \/>\n<a href=\"#2\">Distintas formas de independencia<\/a><br \/>\n<a href=\"#3\">El ensayo de Bernoulli y el teorema del binomio<\/a><br \/>\n<a href=\"#4\">La distribuci\u00f3n binomial (o de Bernoulli) y las distribuciones de Probabilidad<\/a><br \/>\n<a href=\"#5\">Ejercicios:<\/a><br \/>\n<\/center><\/p>\n<p><center><iframe class=\"lazyload\" width=\"560\" height=\"315\" data-src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/uyljDy0bcvU\" title=\"YouTube video player\" frameborder=\"0\" allow=\"accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture\" allowfullscreen=\"allowfullscreen\"><\/iframe><\/center>\n<\/div>\n<p><a name=\"1\"><\/a><\/br><\/br><\/p>\n<h2>El ensayo de Bernoulli<\/h2>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\"><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=uyljDy0bcvU&amp;t=103s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">Un ensayo Bernoulli es un experimento aleatorio<\/span><\/strong><\/a> dicot\u00f3mico con una cierta probabilidad de exito <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">p.<\/span><\/span> Si un ensayo Bernoulli se repite <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">n<\/span><\/span> veces de forma id\u00e9ntica e independiente, entonces se obtienen los <strong>eventos de Bernoulli:<\/strong> Cierto n\u00famero <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">k<\/span><\/span> de \u00e9xitos entre <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">n<\/span><\/span> intentos. Estos tambi\u00e9n reciben el nombre de <strong>eventos binomial<\/strong> y lo representamos a trav\u00e9s de la notaci\u00f3n<\/p>\n<p style=\"text-align: center; color: #000000;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\Large \\displaystyle Bi(n;k;p)<\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">Otra caracter\u00edstica importante de los ensayos de Bernoulli es que todos los intentos son independientes entre si.<\/p>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\"><span style=\"color: #000080;\">EJEMPLO:<\/span> Se lanza repetidas veces un dado de 6 caras. Ejemplos de eventos de tipo Bernoulli para este experimento son:<\/p>\n<ul style=\"text-align: justify; color: #000000;\">\n<li><strong>Obtener 3 ases entre 5 intentos:<\/strong> representado por <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">Bi(5;3;1\/6)<\/span><\/span><\/li>\n<li><strong>Obtener 7 n\u00fameros pares entre 12 intentos:<\/strong> representado por <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">Bi(12;7;1\/3)<\/span><\/span><\/li>\n<\/ul>\n<p><a name=\"2\"><\/a><\/br><\/br><\/p>\n<h3>Distintas formas de independencia<\/h3>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\"><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=uyljDy0bcvU&amp;t=283s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">La independencia entre los intentos desarrollados<\/span><\/strong><\/a> en el ensayo Bernoulli no es precisamente la misma independencia que ya hemos revisado, se trata de una versi\u00f3n mucho m\u00e1s restringida. Para explicar esta diferencia examinemos los tipos de independencia entre eventos<\/p>\n<h4>2-independencia<\/h4>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\"><a href=\"https:\/\/toposuranos.com\/probabilidad-condicional-e-independencia-entre-eventos\/\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\">La independencia que ya conocemos<\/a> es la que se da entre dos eventos, La llamamos \u00ab2-independencia\u00bb. En estos t\u00e9rminos decimos que los eventos <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">A<\/span><\/span> y <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">B<\/span><\/span> son 2-independientes si<\/p>\n<p style=\"text-align: center; color: #000000;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">P(A\\cap B) = P(A)P(B)<\/span><\/span><\/p>\n<h4>3-independencia<\/h4>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">De forma an\u00e1loga, se define la 3-independencia entre tres eventos <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">A,<\/span><\/span> <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">B<\/span><\/span> y <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">C<\/span><\/span> a trav\u00e9s de la relaci\u00f3n<\/p>\n<p style=\"text-align: center; color: #000000;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">P(A\\cap B\\cap C) = P(A)P(B)P(C)<\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">Es importante destacar que la 2-independencia entre <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">A,<\/span><\/span> <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">B<\/span><\/span> y <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">C<\/span><\/span> no implica necesariamente la 3-independencia, aunque en el caso inverso la implicancia si es cierta.<\/p>\n<h4>La n-independencia entre los ensayos de Bernoulli<\/h4>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">Procediendo de forma an\u00e1loga al las definiciones anteriores, se define la n-independencia entre una colecci\u00f3n de eventos <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">A_1, \\cdots, A_n<\/span><\/span> a trav\u00e9s de la relaci\u00f3n<\/p>\n<p style=\"text-align: center; color: #000000;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\Large \\displaystyle P\\left(\\bigcap_{i=1}^n A_i\\right) = \\prod_{i=1}^n P(A_i) <\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">Y de forma an\u00e1loga se tiene que:<\/p>\n<table style=\"color: #000000;\">\n<tbody>\n<tr>\n<td style=\"text-align: center;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(n-1)<\/span><\/span>-independencia no implica necesariamente <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">n<\/span><\/span>-independencia<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"text-align: center;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">n<\/span><\/span>-independencia <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\Longrightarrow<\/span> <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(n-1)<\/span><\/span>-independencia<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">Las <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">n<\/span><\/span> repeticiones realizadas en el ensayo de Bernoulli son <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">n<\/span><\/span>-independientes.<\/p>\n<p><a name=\"3\"><\/a><\/br><\/br><\/p>\n<h2>El ensayo de Bernoulli y el teorema del binomio<\/h2>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\"><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=uyljDy0bcvU&amp;t=478s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">Consideremos un experimento de \u00e9xito y fracaso<\/span><\/strong><\/a> con probabilidad de \u00e9xito de <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">p<\/span><\/span>; en cada intento se tendr\u00e1, en consecuencia, una probabilidad <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">1-p<\/span><\/span> de fracaso. Es claro que la probabilidad de que ocurra un \u00e9xito o un fracaso entre cada intento es 1; y como todos los intentos son independientes, la probabilidad de que ocurra \u00e9xito o fracaso en los <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">n<\/span><\/span> intentos ser\u00e1 <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">1^n.<\/span><\/span> A partir de esto tendremos que:<\/p>\n<p style=\"text-align: center; color: #000000;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\Large \\displaystyle 1 = 1^n = [p + (1-p)]^n = \\sum_{k=0}^n {{n}\\choose{k}} p^k(1-p)^{n-k} <\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">En la \u00faltima igualdad se ha aplicado el <a href=\"https:\/\/toposuranos.com\/ejercicios-de-induccion-matematica-teorema-del-binomio-de-newton\/\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\">Teorema del Binomio de Newton,<\/a> y los t\u00e9rminos dentro de la sumatoria se pueden interpretar de la siguiente manera:<\/p>\n<ul style=\"text-align: justify; color: #000000;\">\n<li><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle {{n}\\choose{k}}<\/span><\/span>: el n\u00famero de formas en que pueden ocurrir <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">k<\/span><\/span> \u00e9xitos al realizar <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">n<\/span><\/span> intentos<\/li>\n<li><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">p^k<\/span><\/span>: La probabilidad de que ocurran <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">k<\/span><\/span> \u00e9xitos independientes<\/li>\n<li><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(1-p)^{n-k}<\/span><\/span>: La probabilidad de que ocurran <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">n-k<\/span><\/span> fracasos independientes<\/li>\n<\/ul>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">Al juntar estos elementos de la forma en que aparecen en la suma obtenemos: la probabilidad de obtener <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">k<\/span><\/span> \u00e9xitos entre <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">n<\/span><\/span> intentos; o equivalentemente, la probabilidad de obtener <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">n-k<\/span><\/span> fracasos entre <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">n<\/span><\/span> intentos.<\/p>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">Si separamos cada t\u00e9rmino de la suma tenemos las probabilidades de obtener:<\/p>\n<table style=\"text-align: justify; color: #000000;\">\n<tbody>\n<tr>\n<td><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle {{n}\\choose{0}} p^0(1-p)^{n-0} = (1-p)^n<\/span><\/span><\/td>\n<td>0 exitos entre n intentos<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle {{n}\\choose{1}} p^1(1-p)^{n-1} = n p(1-p)^{n-1}<\/span><\/span><\/td>\n<td>1 exito entre n intentos<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle {{n}\\choose{2}} p^2(1-p)^{n-2}<\/span><\/span><\/td>\n<td>2 exitos entre n intentos<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vdots<\/span><\/span><\/td>\n<td><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vdots<\/span><\/span><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle {{n}\\choose{k}} p^k(1-p)^{n-k}<\/span><\/span><\/td>\n<td>k exitos entre n intentos<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vdots<\/span><\/span><\/td>\n<td><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vdots<\/span><\/span><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle {{n}\\choose{n-1}} p^{n-1}(1-p)^{n-(n-1)} = n p^{n-1}(1-p)<\/span><\/span><\/td>\n<td><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">n-1<\/span><\/span> \u00e9xitos entre <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">n<\/span><\/span> intentos<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle {{n}\\choose{n}} p^{n}(1-p)^{0} = p^{n}<\/span><\/span><\/td>\n<td><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">n<\/span><\/span> \u00e9xitos entre <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">n<\/span><\/span> intentos<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">Y la suma de todos estos, como ya hemos visto es \u00ab1\u00bb. Mostrando que se han cubierto todas las posibilidades.<\/p>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">A partir de esto se define la <strong>probabilidad del evento Bernoulli<\/strong>:<\/p>\n<p style=\"text-align: center; color: #000000;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle\\Large \\color{blue}{P(Bi(n;k;p)) = {{n}\\choose{k}}p^k(1-p)^{n-k}}<\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">O tambi\u00e9n decimos que <strong>el n\u00famero de \u00e9xitos <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">X<\/span><\/span> tiene distribuci\u00f3n binomial:<\/strong><\/p>\n<p style=\"text-align: center; color: #000000;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\color{blue}{\\Large \\displaystyle X\\sim Bi(n;p) \\longmapsto P(X=x) = {{n}\\choose{x}}p^x(1-p)^{n-x}}<\/span><\/span><\/p>\n<p><a name=\"4\"><\/a><\/br><\/br><\/p>\n<h3>La distribuci\u00f3n binomial (o de Bernoulli) y las distribuciones de Probabilidad<\/h3>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\"><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=uyljDy0bcvU&amp;t=779s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">A trav\u00e9s de la distribuci\u00f3n binomial<\/span><\/strong><\/a> es que comenzamos a tener las primeras nociones de las distribuciones de probabilidad y de variable aleatoria. En este caso la variable aleatoria (discreta) est\u00e1 asociada al n\u00famero de \u00e9xitos y su distribuci\u00f3n de probabilidad est\u00e1 dada por los t\u00e9rminos del teorema del teorema del binomio<\/p>\n<p style=\"text-align: center; color: #000000;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">{\\Large \\displaystyle P(X=x) = {{n}\\choose{x}}p^x(1-p)^{n-x}}<\/span><\/span><\/p>\n<p><center><iframe class=\"lazyload\" width=\"560\" height=\"315\" data-src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/36s4rcfQn7M\" title=\"YouTube video player\" frameborder=\"0\" allow=\"accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture\" allowfullscreen><\/iframe><\/center><\/p>\n<p><a name=\"5\"><\/a><\/br><\/br><\/p>\n<h2>Ejercicios:<\/h2>\n<ol style=\"text-align: justify; color: #000000;\">\n<li>Se arroja un dado de 6 caras equilibrado 5 veces. Calcule la probabilidad de obtener 3 veces un n\u00famero par como resultado.<\/li>\n<li>Se arroja una moneda 10 veces. Calcule la probabilidad de obtener, de 0 a 10 caras y haga un gr\u00e1fico que muestre la probabilidad para cada resultado. \u00bfC\u00f3mo se ver\u00e1 el gr\u00e1fico si se aumenta el n\u00famero de lanzamientos y se examina la probabilidad de obtener un n\u00famero de caras que va desde 0 hasta ese n\u00famero de lanzamientos? Una planilla de Excel puede ser \u00fatil aqu\u00ed.<\/li>\n<li>Se tiene una t\u00f3mbola con una cantidad <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">s<\/span><\/span> de bolitas, donde <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">r<\/span><\/span> son doradas y el resto blancas. Se revuelven todas y se saca una al azar, y se gana cuando sale la dorada. Si este experimento se repite de manera id\u00e9ntica <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">20<\/span><\/span> veces, estime el n\u00famero de victorias m\u00e1s probables para cada valor posible de <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">0\\leq r\\leq s.<\/span><\/span> Una planilla en Excel tambi\u00e9n puede ser \u00fatil aqu\u00ed.<\/li>\n<\/ol>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>El Ensayo de Bernoulli y la Distribuci\u00f3n Binomial ResumenEn esta clase estudiaremos el concepto de los ensayos de Bernoulli y sus implicaciones en la teor\u00eda de las probabilidades. Iniciamos con una definici\u00f3n detallada de los ensayos de Bernoulli para luego abordar el concepto de independencia entre eventos. 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