{"id":26380,"date":"2021-03-26T13:00:01","date_gmt":"2021-03-26T13:00:01","guid":{"rendered":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/?p=26380"},"modified":"2024-05-21T09:44:18","modified_gmt":"2024-05-21T09:44:18","slug":"tecnicas-de-conteo-permutacion-variacion-y-combinacion","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/toposuranos.com\/material\/es\/tecnicas-de-conteo-permutacion-variacion-y-combinacion\/","title":{"rendered":"T\u00e9cnicas de Conteo: Permutaci\u00f3n, Variaci\u00f3n y Combinaci\u00f3n"},"content":{"rendered":"<div style=\"background-color:#F3F3F3; padding:20px;\">\n<center><\/p>\n<h1>T\u00e9cnicas de Conteo: Permutaci\u00f3n, Variaci\u00f3n y Combinaci\u00f3n<\/h1>\n<p><\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><strong>Resumen<\/strong><br \/><em>En el estudio de las probabilidades, las t\u00e9cnicas de conteo son herramientas fundamentales para medir la cardinalidad del espacio muestral y del evento a medir. En este sentido, las t\u00e9cnicas de combinaci\u00f3n, variaci\u00f3n y permutaci\u00f3n son las m\u00e1s utilizadas debido a su facilidad de uso y aplicaci\u00f3n en experimentos con resultados equiprobables. A trav\u00e9s de la medida de probabilidad como l\u00edmite de frecuencias relativas, se establece la probabilidad de un evento como un cociente de cardinalidades. Por tanto, el c\u00e1lculo de probabilidades se reduce a calcular la cardinalidad del espacio muestral y del evento a medir. En este sentido, la obtenci\u00f3n de las t\u00e9cnicas de conteo a trav\u00e9s de experimentos con resultados equiprobables es crucial para el estudio de las probabilidades. A trav\u00e9s de la definici\u00f3n de variaciones, combinaciones y permutaciones, se puede medir el tama\u00f1o de conjuntos de forma eficiente y precisa. En esta clase se presentar\u00e1n varios experimentos pensados con resultados equiprobables y se analizar\u00e1n sus espacios muestrales para introducir las t\u00e9cnicas de conteo. Con estas herramientas, se podr\u00e1n medir el tama\u00f1o de una gran variedad de conjuntos y calcular probabilidades de eventos en experimentos con resultados equiprobables.<\/em><\/p>\n<p><\/center><br \/>\n<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><strong>OBJETIVOS DE APRENDIZAJE:<\/strong><br \/>\nAl completar esta clase el estudiante ser\u00e1 capaz de:\n<\/p>\n<ol>\n<strong>Recordar<\/strong> la f\u00f3rmula de los casos favorables sobre los casos posibles como una manera de calcular la probabilidad de un evento.<br \/>\n<strong>Comprender<\/strong> los conceptos de permutaci\u00f3n, variaci\u00f3n y combinaci\u00f3n y su uso en el c\u00e1lculo de probabilidades<br \/>\n<strong>Analizar<\/strong> y explicar la relaci\u00f3n entre el tama\u00f1o del espacio muestral y la probabilidad de un evento en un experimento con resultados equiprobables.<br \/>\n<strong>Identificar<\/strong> situaciones en las que se pueden aplicar las t\u00e9cnicas de conteo de combinaci\u00f3n, variaci\u00f3n y permutaci\u00f3n en la vida cotidiana, como en juegos de azar y en problemas de organizaci\u00f3n.\n<\/ol>\n<p style=\"text-align:center;\"><strong>INDICE DE CONTENIDOS<\/strong><br \/>\n<a href=\"#1\"><strong>T\u00c9CNICAS DE CONTEO Y LAS PROBABILIDADES<\/strong><\/a><br \/>\n<a href=\"#2\"><strong>OBTENCI\u00d3N DE LAS T\u00c9CNICAS DE CONTEO<\/strong><\/a><br \/>\n<a href=\"#3\">EXPERIMENTO 1 (AORM): ACCIONAR \u2013 ANOTAR EN ORDEN \u2013 RESETEAR, REPETIR M VECES<\/a><br \/>\n<a href=\"#4\">EXPERIMENTO 2 (AOK): ACCIONAR -ANOTAR EN ORDEN, REPETIR K VECES<\/a><br \/>\n<a href=\"#5\">EXPERIMENTO 3 (ADK): ACCIONAR \u2013 ANOTAR EN DESORDEN, REPETIR K VECES<\/a><\/p>\n<p><center><br \/>\n<iframe class=\"lazyload\" width=\"560\" height=\"315\" data-src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/72LBcZP7Fv4\" title=\"YouTube video player\" frameborder=\"0\" allow=\"accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture\" allowfullscreen=\"allowfullscreen\"><\/iframe><\/center>\n<\/div>\n<p><a name=\"1\"><\/a><br \/>\n<\/br><\/br><\/p>\n<h2>T\u00e9cnicas de conteo y las probabilidades<\/h2>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\"><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=72LBcZP7Fv4&amp;t=7s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">Las Combinaci\u00f3n, Variaci\u00f3n y Permutaci\u00f3n son Las t\u00e9cnicas de conteo m\u00e1s utilizadas en el estudio de las probabilidades<\/span><\/strong><\/a> debido a las facilidades que intoducen en el estudio de los experimentos con resultados equiprobables. Uno de los ejemplos m\u00e1s ic\u00f3nicos de estos experimentos provienen de los juegos de azar. Estos generalmente se tratan de procesos no-deterministas sobre un espacio muestral <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\Omega = \\{\\omega_1, \\omega_2, \\cdots, \\omega_N\\}<\/span>. Estos experimentos tienen la cualidad com\u00fan de que todos los eventos de la forma <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\{\\omega_i\\}\\in\\mathcal{A}_\\Omega<\/span>, con <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">i\\in\\{1,2,\\cdots, n\\}<\/span>, tiene la misma probabilidad de ocurrir.<\/p>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">A partir de la <strong><a href=\"https:\/\/toposuranos.com\/el-espacio-de-probabilidades-medida-de-probabilidad\/\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">medida de probabilidad como l\u00edmite de frecuencias relativas<\/a><\/strong> podemos establecer la probabilidad de un evento como un cociente de cardinalidades. Como ya hemos visto, esto se hace a trav\u00e9s de la relaci\u00f3n:<\/p>\n<p style=\"text-align: center; color: #000000;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">P(E) = \\displaystyle \\lim_{N\\to\\infty}g_N(E) = \\lim_{N\\to\\infty}\\frac{f_N(E)}{N}= \\frac{\\# E}{\\# \\Omega}<\/span>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">Aqu\u00ed el s\u00edmbolo \u00ab#\u00bb hace referencia a la cardinalidad del conjunto. Esto es lo que se conoce como la <strong>f\u00f3rmula de los casos favorables sobre los casos posibles.<\/strong><\/p>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">En estas situaciones, el c\u00e1lculo de probabilidades se reduce a calcular la cardinalidad del espacio muestral y del evento a medir. Es por esto que resultar\u00e1 muy \u00fatil revisar primero algunas <strong>t\u00e9cnicas de conteo.<\/strong><\/p>\n<p><a name=\"2\"><\/a><br \/>\n<\/br><\/br><\/p>\n<h2>Obtenci\u00f3n de las T\u00e9cnicas de Conteo<\/h2>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\"><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=72LBcZP7Fv4&amp;t=260s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><span style=\"color: #ff0000;\"><strong>Para introducir las combinaciones, variaciones y permutaciones,<\/strong><\/span><\/a> dise\u00f1aremos algunos experimentos pensados con resultados equiprobables y, a partir de ellos, haremos inferencias que conducen a \u00e9stas t\u00e9cnicas de conteo.<\/p>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">Supongamos que tenemos una \u00abm\u00e1quina aleatoria perfecta\u00bb, que consiste en una caja negra, una memoria, un bot\u00f3n de acci\u00f3n y otro de reseteo. La m\u00e1quina tiene las siguientes propiedades:<\/p>\n<ol>\n<li style=\"text-align: justify; color: #000000;\">La m\u00e1quina s\u00f3lo tiene una configuraci\u00f3n personalizable: la cardinalidad de su espacio muestral <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\Omega_N = \\{\\omega_1,\\cdots,\\omega_N\\}<\/span><\/li>\n<li style=\"text-align: justify; color: #000000;\">Al presionar el bot\u00f3n de acci\u00f3n, mostrar\u00e1 en pantalla uno de los elementos de <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\Omega_N<\/span><\/li>\n<li style=\"text-align: justify; color: #000000;\">Cuando se muestra un resultado, \u00e9ste es almacenado en la memoria, y mientras est\u00e9 ah\u00ed no se volver\u00e1 a mostrar al presionar el bot\u00f3n de acci\u00f3n.<\/li>\n<li style=\"text-align: justify; color: #000000;\">Si la m\u00e1quina ya ha mostrado todos los resultados posibles, se congelar\u00e1 y no mostrar\u00e1 nada.<\/li>\n<li style=\"text-align: justify; color: #000000;\">El bot\u00f3n de reseteo borra la memoria y lo mostrado en pantalla..<\/li>\n<\/ol>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">Con esta m\u00e1quina dise\u00f1aremos algunos experimentos pensados y analizaremos sus espacios muestrales.<\/p>\n<p><a name=\"3\"><\/a><br \/>\n<\/br><\/br><\/p>\n<h3>Experimento 1 (AORm): Accionar &#8211; Anotar en orden &#8211; Resetear, repetir m veces<\/h3>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\"><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=72LBcZP7Fv4&amp;t=406s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">Se configura la m\u00e1quina con<\/span><\/strong><\/a> <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\#\\Omega = N<\/span>y se repiten <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">m\\leq N<\/span> veces la siguiente serie de pasos:<\/p>\n<ol>\n<li style=\"text-align: justify; color: #000000;\">Presionar el bot\u00f3n de acci\u00f3n<\/li>\n<li style=\"text-align: justify; color: #000000;\">Anotar el resultado en una lista ordenada<\/li>\n<li style=\"text-align: justify; color: #000000;\">Resetear<\/li>\n<\/ol>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">Cuando terminemos obtendremos una lista ordenada con <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">m<\/span> elementos de <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\Omega_N = \\{\\omega_1,\\cdots,\\omega_N\\}<\/span>. Esta lista puede ser interpretada como una m-tupla de <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\Omega_N<\/span>. En otras palabras, el espacio muestral de este experimento <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\Omega_{AORm}<\/span> sera de la forma<\/p>\n<p style=\"text-align: center; color: #000000;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\Omega_{AORm}=\\Omega_N \\times \\cdots \\times \\Omega_N = \\Omega_N^m<\/span>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">Por lo tanto se tendr\u00e1 que <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\#\\Omega_{AORm}=\\#\\Omega_N^m = N^m<\/span>.<\/p>\n<p><a name=\"4\"><\/a><br \/>\n<\/br><\/br><\/p>\n<h3>Experimento 2 (AOk): Accionar -Anotar en Orden, repetir k veces<\/h3>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\"><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=72LBcZP7Fv4&amp;t=542s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">Configuramos nuevamente la m\u00e1quina con<\/span><\/strong><\/a> <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\#\\Omega = N<\/span> y se repite <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">k<\/span> veces (<span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">k\\leq N<\/span>) la siguiente serie de pasos:.<\/p>\n<ol>\n<li style=\"text-align: justify; color: #000000;\">Presionar el bot\u00f3n de acci\u00f3n.<\/li>\n<li style=\"text-align: justify; color: #000000;\">Anotar el resultado en una lista ordenada.<\/li>\n<\/ol>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">Cuando terminemos habremos obtenido una lista ordenada de <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">k<\/span> elementos de <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\Omega_N = \\{\\omega_1,\\cdots,\\omega_N\\}<\/span>, pero donde ning\u00fan elemento se repetir\u00e1 con alguno de los que le preceden.<\/p>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">Como la m\u00e1quina, en principio, no favorece ning\u00fan resultado posible por sobre otro (porque es perfectamente aleatoria), es posible asumir sin perdida de generalidad que al accionar la primera vez que ocurri\u00f3 el evento <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\{\\omega_1\\}<\/span>, de modo que el espacio muestral de la siguiente acci\u00f3n deber\u00eda ser <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\Omega_N\\setminus\\{\\omega_1\\}<\/span>. An\u00e1logamente, se puede asumir sin perdida de generalidad que al accionar por segunda vez ocurre el evento <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\{\\omega_2\\}<\/span>; por lo tanto, el espacio muestral de la siguiente acci\u00f3n ser\u00e1 de la forma <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(\\Omega_N\\setminus\\{\\omega_1\\})\\setminus\\{\\omega_2\\}<\/span>. Si seguimos de este modo, cuando lleguemos a la k-\u00e9sima acci\u00f3n, esta tendr\u00e1 un espacio muestral de la forma<\/p>\n<p style=\"text-align: center; color: #000000;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(\\cdots(\\Omega_N\\setminus\\{\\omega_1\\})\\setminus\\{\\omega_2\\}\\cdots)\\setminus\\{\\omega_{k-1}\\}<\/span>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">De modo que, el espacio muestral de los resultados posibles de \u00e9ste experimento ser\u00e1 de la forma<\/p>\n<p style=\"text-align: center; color: #000000;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\Omega_{AOk}= \\Omega \\times (\\Omega_N\\setminus\\{\\omega_1\\}) \\times ((\\Omega_N\\setminus\\{\\omega_1\\})\\setminus\\{\\omega_2\\}) \\times \\cdots \\times ((\\cdots(\\Omega_N\\setminus\\{\\omega_1\\})\\setminus\\{\\omega_2\\}\\cdots)\\setminus\\{\\omega_{k-1}\\}) <\/span>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">Por lo que si calculamos la cardinalidad de este conjunto obtendremos<\/p>\n<p style=\"text-align: center; color: #000000;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\#\\Omega_{AOk}= N \\cdot (N-1) \\cdot (N-2) \\cdots [N-(k-1)]=\\displaystyle \\frac{N!}{(N-k)!}<\/span>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">A partir de \u00e9ste resultado se crea la siguiente definici\u00f3n:<\/p>\n<table>\n<tbody>\n<tr>\n<td style=\"text-align: justify; color: #800000; background-color: #dddddd;\"><strong>DEFINICI\u00d3N<\/strong><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"text-align: justify; color: #000000; background-color: #ffffff;\">Se define el <strong>n\u00famero de variaciones<\/strong> de <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">N<\/span> elementos en grupos de <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">k<\/span> (con <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">N\\leq k<\/span>) como el n\u00famero dado por:<\/p>\n<p style=\"text-align: center; color: #000000;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(N)_k = \\displaystyle \\frac{N!}{(N-k)!}<\/span>\n<p>A partir de \u00e9sto, y del hecho de que <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">0! =1<\/span>, se calcula el <strong>n\u00famero de permutaciones<\/strong> entre <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">N<\/span> elementos a trav\u00e9s de<\/p>\n<p style=\"text-align: center; color: #000000;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(N)_N = N!<\/span>.<\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p><a name=\"5\"><\/a><br \/>\n<\/br><\/br><\/p>\n<h3>Experimento 3 (ADk): Accionar &#8211; Anotar en Desorden, repetir k veces<\/h3>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\"><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=72LBcZP7Fv4&amp;t=1204s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">Este experimento es exactamente igual al anterior,<\/span><\/strong><\/a> s\u00f3lo que ahora no se registra el orden aparecen los elementos de <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\Omega_N<\/span>. Es decir, lo que ser\u00edan dos k-tuplas con los mismo elementos, pero en distinto orden ahora son consideradas como la misma cosa. De este modo, aprovechando que cada k-tupla obtenida del experimento AOk se pueden escribir de <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(k)_k=k!<\/span> formas diferentes, se tendr\u00e1 que la cardinalidad espacio muestral de \u00e9ste experimento ser\u00e1 de la forma<\/p>\n<p style=\"text-align: center; color: #000000;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\#\\Omega_{ADk} = \\displaystyle \\frac{\\#\\Omega_{AOk}}{(k)_k} = \\frac{(N)_k}{k!} = \\frac{N!}{k!(N-k)!} <\/span>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">A partir de esto se puede establecer la siguiente definici\u00f3n:<\/p>\n<table>\n<tbody>\n<tr>\n<td style=\"text-align: justify; color: #800000; background-color: #dddddd;\"><strong>DEFINICI\u00d3N<\/strong><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"text-align: justify; color: #000000; background-color: #ffffff;\">Se define el <strong>n\u00famero de combinaciones<\/strong> de <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">N<\/span> elementos en grupos de <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">k<\/span> (con <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">k\\leq N<\/span>) a trav\u00e9s del n\u00famero dado por<\/p>\n<p style=\"text-align: center; color: #000000;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle {{N}\\choose{k}}= \\frac{N!}{k!(N-k)!} <\/span>\n<p>Esto representa el n\u00famero de subconjuntos posibles que se pueden formar con k elementos extra\u00eddos de otro conjunto con N elementos.<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">Con las t\u00e9cnicas conteo de permutaci\u00f3n, variaci\u00f3n y combinaci\u00f3n podremos ahora medir el tama\u00f1o una gran variedad de conjuntos.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>T\u00e9cnicas de Conteo: Permutaci\u00f3n, Variaci\u00f3n y Combinaci\u00f3n ResumenEn el estudio de las probabilidades, las t\u00e9cnicas de conteo son herramientas fundamentales para medir la cardinalidad del espacio muestral y del evento a medir. En este sentido, las t\u00e9cnicas de combinaci\u00f3n, variaci\u00f3n y permutaci\u00f3n son las m\u00e1s utilizadas debido a su facilidad de uso y aplicaci\u00f3n en [&hellip;]<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":26383,"comment_status":"open","ping_status":"closed","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"iawp_total_views":646,"footnotes":""},"categories":[563,668],"tags":[],"class_list":["post-26380","post","type-post","status-publish","format-standard","has-post-thumbnail","hentry","category-matematica","category-probabilidades-y-estadistica"],"yoast_head":"<!-- This site is optimized with the Yoast SEO plugin v27.4 - https:\/\/yoast.com\/product\/yoast-seo-wordpress\/ -->\n<title>T\u00e9cnicas de Conteo: Permutaci\u00f3n, Variaci\u00f3n y Combinaci\u00f3n - toposuranos.com\/material<\/title>\n<meta name=\"description\" content=\"Descubre c\u00f3mo aplicar las t\u00e9cnicas de conteo m\u00e1s utilizadas en probabilidades: permutaci\u00f3n, 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