{"id":26147,"date":"2021-09-25T00:00:43","date_gmt":"2021-09-25T00:00:43","guid":{"rendered":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/?p=26147"},"modified":"2024-09-16T11:50:11","modified_gmt":"2024-09-16T11:50:11","slug":"como-calcular-el-lanzamiento-de-proyectil","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/toposuranos.com\/material\/es\/como-calcular-el-lanzamiento-de-proyectil\/","title":{"rendered":"Lanzamiento de Proyectil"},"content":{"rendered":"<div style=\"background-color:#F3F3F3; padding:20px;\">\n<center><\/p>\n<h1>Lanzamiento de Proyectil<\/h1>\n<p><em><strong>Resumen:<\/strong><br \/>\nEn esta clase revisaremos todos los aspectos cinem\u00e1ticos del lanzamiento de un proyectil, un tema crucial en la f\u00edsica que extiende nuestro estudio previo sobre el movimiento uniformemente acelerado. Abordaremos c\u00f3mo, al quitar la restricci\u00f3n sobre la direcci\u00f3n del movimiento, nos encontramos con trayectorias parab\u00f3licas t\u00edpicas de los proyectiles. Estudiaremos c\u00f3mo las velocidades iniciales en cualquier direcci\u00f3n, combinadas con la aceleraci\u00f3n debida a la gravedad, dan forma a estos movimientos.<br \/>\n.<\/em><\/p>\n<p><\/center><\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><strong>OBJETIVOS DE APRENDIZAJE:<\/strong><br \/>\nAl finalizar esta clase el estudiante ser\u00e1 capaz de:<\/p>\n<ol>\n<li><strong>Recordar<\/strong> las ecuaciones fundamentales del movimiento parab\u00f3lico y las definiciones relacionadas con el lanzamiento de proyectiles (como velocidad inicial, \u00e1ngulo de lanzamiento, aceleraci\u00f3n de la gravedad).<\/li>\n<li><strong>Interpretar<\/strong> gr\u00e1ficamente la trayectoria de un proyectil<\/li>\n<li><strong>Explicar<\/strong> c\u00f3mo las diferentes fases del movimiento (ascenso, punto m\u00e1ximo, descenso) se relacionan con las ecuaciones cinem\u00e1ticas.<\/li>\n<li><strong>Resolver<\/strong> problemas que impliquen el c\u00e1lculo de la altura m\u00e1xima, el alcance horizontal y el tiempo total de vuelo de un proyectil utilizando las ecuaciones del movimiento parab\u00f3lico.<\/li>\n<li><strong>Descomponer<\/strong> las ecuaciones de movimiento de un proyectil para entender c\u00f3mo cada componente (velocidad inicial, \u00e1ngulo de lanzamiento, aceleraci\u00f3n debido a la gravedad) afecta la trayectoria total.<\/li>\n<\/ol>\n<p><center><\/p>\n<p><strong>INDICE DE CONTENIDOS<\/strong><br \/>\n<a href=\"#1\"><strong>Introducci\u00f3n<\/strong><\/a><br \/>\n<a href=\"#2\"><strong>Desarrollo del lanzamiento de proyectil<\/strong><\/a><br \/>\n<a href=\"#3\">\u00bfC\u00f3mo determinar la altura m\u00e1xima lograda por un proyectil?<\/a><br \/>\n<a href=\"#4\">\u00bfC\u00f3mo determinar el alcance del lanzamiento de los proyectiles?<\/a><br \/>\n<a href=\"#5\">\u00bfQu\u00e9 angulo de lanzamiento maximiza el alcance del proyectil?<\/a><br \/>\n<a href=\"#6\"><strong>Ejercicios Propuestos<\/strong><\/a>\n<\/p>\n<p><iframe class=\"lazyload\" width=\"560\" height=\"315\" data-src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/_dXgQ_7u5GE\" title=\"YouTube video player\" frameborder=\"0\" allow=\"accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture\" allowfullscreen=\"allowfullscreen\"><\/iframe><\/center><\/p>\n<\/div>\n<p><a name=\"1\"><\/a><\/p>\n<h2>Introducci\u00f3n<\/h2>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">En clases anteriores estudiamos el <a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=P21bsNFF9Fw\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\">movimiento rectilineo uniformemente acelerado<\/a> y vimos qu\u00e9 ocurr\u00eda cuando una aceleraci\u00f3n constante se aplica en la misma direcci\u00f3n del movimiento. Cuando quitamos la restricci\u00f3n sobre la direcci\u00f3n, obtenemos un movimiento uniformemente acelerado, pero ya no rectil\u00edneo. En este escenario, el movimiento se desarrolla sobre el brazo de una par\u00e1bola, y es aqu\u00ed donde nace el estudio del lanzamiento de proyectil.<\/p>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">En un lanzamiento de proyectil, la velocidad inicial se da en cualquier direcci\u00f3n, mientras que la aceleraci\u00f3n sigue la orientaci\u00f3n t\u00edpica de la gravedad. Cuando el lanzamiento de proyectil se realiza de directo hacia arriba, se obtiene un lanzamiento vertical, que es un caso de MRUA.<\/p>\n<p><a name=\"2\"><\/a><\/p>\n<h2>Desarrollo del lanzamiento de proyectil<\/h2>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\"><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=_dXgQ_7u5GE&amp;t=172s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">Supongamos que tenemos un proyectil<\/span><\/strong><\/a> lanzado al aire desde el suelo por un ca\u00f1\u00f3n con una rapidez inicial <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">v_0<\/span> y un \u00e1ngulo de inclinaci\u00f3n <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\theta.<\/span> El movimiento de \u00e9ste proyectil se puede modelar sin problemas extrayendo sus ecuaciones de itinerario a partir de la informaci\u00f3n que se acaba de entregar. Estas quedan de la siguiente forma:<\/p>\n<p style=\"text-align: center; color: #000000;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\n\\begin{array}{rl}\n\n\\vec{a}(t) &amp; = (0,-g) \\\\ \\\\\n\n\\vec{v}(t) &amp; =\\displaystyle \\int (0,-g) dt = (v_{0x}, -gt+v_{0y})\\\\ \\\\\n\n\\vec{r}(t) &amp; =\\displaystyle \\int (v_{0x}, -gt+v_{0y}) dt = \\left(v_{0x}t + x_0, -\\frac{1}{2}gt^2+v_{0y}t + y_0\\right)\n\n\\end{array}<\/span>\n<p><center><img decoding=\"async\" src=\"data:image\/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP\/\/\/yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7\" data-src=\"https:\/\/1.bp.blogspot.com\/-JQFKmGORl8A\/YVB9tKzayMI\/AAAAAAAAFks\/KPaXIUIcIVQ2yOAa_N9leIPgcZY6iv5zQCLcBGAsYHQ\/s0\/proyectil.PNG\" width=\"694\" height=\"390\" alt=\"Lanzamiento de los proyectiles\" class=\"alignnone size-full lazyload\" \/><noscript><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/1.bp.blogspot.com\/-JQFKmGORl8A\/YVB9tKzayMI\/AAAAAAAAFks\/KPaXIUIcIVQ2yOAa_N9leIPgcZY6iv5zQCLcBGAsYHQ\/s0\/proyectil.PNG\" width=\"694\" height=\"390\" alt=\"Lanzamiento de los proyectiles\" class=\"alignnone size-full lazyload\" \/><\/noscript><\/center><\/p>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">Donde <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{v}_{0} = (v_{0x},v_{0y})<\/span> es la velocidad inicial, <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{r}_0=(x_0,y_0)<\/span> es la posici\u00f3n inicial y <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">g=9,81[m\/s^2]<\/span> es la magnitud de la aceleraci\u00f3n de la gravedad. Ahora, si observamos el p\u00e1rrafo anterior, notaremos que no se nos indica directamente la velocidad del proyectil, sino que su rapidez y \u00e1ngulo de disparo. A partir de esta informaci\u00f3n y un poco de trigonometr\u00eda es posible determinar la velocidad inicial porque:<\/p>\n<p style=\"text-align: center; color: #000000;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\n\\begin{array}{rl}\n\nv_{0x} &amp;= v_0 \\cos(\\theta) \\\\\n\nv_{0y} &amp;= v_0 \\sin(\\theta)\n\n\\end{array}<\/span>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">Donde <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">v_0 = \\|\\vec{v}_0\\|<\/span> es la magnitud de la velocidad inicial. Si agregamos adem\u00e1s la posici\u00f3n inicial <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(x_0,y_0)=(0,0)<\/span>, las ecuaciones de itinerario quedan expresadas de la siguiente manera:<\/p>\n<p style=\"text-align: center; color: #000000;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\n\\begin{array}{rl}\n\n\\vec{a}(t) &amp; = (0,-g) \\\\ \\\\\n\n\\vec{v}(t) &amp; =(v_{0}\\cos(\\theta), -gt+v_{0}\\sin(\\theta)\\\\ \\\\\n\n\\vec{r}(t) &amp; \\displaystyle =\\left(v_{0}\\cos(\\theta)t , -\\frac{1}{2}gt^2+v_{0}\\sin(\\theta)t \\right)\n\n\\end{array}<\/span>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">Con esto a mano ya podemos responder algunas preguntas relativas al lanzamiento de los proyectiles: \u00bfQu\u00e9 tan lejos llegar\u00e1?; \u00bfQu\u00e9 altura alcanzar\u00e1?; \u00bfCu\u00e1nto tardar\u00e1 en caer?; etc.<\/p>\n<p><a name=\"3\"><\/a><\/p>\n<h3>\u00bfC\u00f3mo determinar la altura m\u00e1xima lograda por un proyectil?<\/h3>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\"><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=_dXgQ_7u5GE&amp;t=398s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">Para responder a esta pregunta<\/span><\/strong><\/a> debemos preguntarnos: \u00bfQu\u00e9 ocurre cuando el proyectil alcanza su altura m\u00e1xima? Lo que ocurre es que la componente vertical de su velocidad se anula y por lo tanto:<\/p>\n<p style=\"text-align: center; color: #000000;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> -gt+v_{0}\\sin(\\theta) = 0 <\/span>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">Esto es equivalente a decir que:<\/p>\n<p style=\"text-align: center; color: #000000;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> t = \\displaystyle \\frac{v_{0}\\sin(\\theta)}{g} <\/span>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">Es decir, el proyectil alcanza la altura m\u00e1xima cuando ha pasado un tiempo <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">t=v_0\\sin(\\theta)\/g<\/span> despues del lanzamiento. Llamamos a esto \u00abtiempo de altura m\u00e1xima\u00bb y escribimos:<\/p>\n<p style=\"text-align: center; color: #000000;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\color{blue}{t_{alt.max} = \\frac{v_{0}\\sin(\\theta)}{g}}<\/span>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">Luego, la altura m\u00e1xima que puede alcanzar el proyectil se puede obtener remplazando <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">t=t_{alt.max}<\/span> en la componente vertical de la posici\u00f3n del proyectil, obteniendo:<\/p>\n<p style=\"text-align: center; color: #000000;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\begin{array}{rl}\n\ny_{alt.max} &amp; = \\displaystyle -\\frac{1}{2}gt_{alt.max}^2+v_{0}\\sin(\\theta)t_{alt.max}\\\\ \\\\\n\n&amp; =\\displaystyle-\\frac{1}{2}g \\left(\\frac{v_{0}\\sin(\\theta)}{g} \\right)^2 + v_{0}\\sin(\\theta) \\frac{v_{0}\\sin(\\theta)}{g} \\\\ \\\\\n\n&amp; =\\displaystyle-\\frac{1}{2} \\frac{v_{0}^2\\sin^2(\\theta)}{g} + \\frac{v_{0}^2\\sin^2(\\theta)}{g} \\\\ \\\\\n\n&amp; =\\displaystyle \\frac{v_{0}^2\\sin^2(\\theta)}{2g}\n\n\\end{array}<\/span>\n<p><a name=\"4\"><\/a><\/p>\n<h3>\u00bfC\u00f3mo determinar el alcance del lanzamiento de los proyectiles?<\/h3>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\"><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=_dXgQ_7u5GE&amp;t=653s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">Si quieres conocer la distancia<\/span><\/strong><\/a> que recorre el proyectil hasta el momento en que toca el suelo, lo \u00fanico que tienes que hacer es pregunt\u00e1rselo a las ecuaciones de itinerario asociadas al lanzamiento de los proyectiles. Pero \u00bfc\u00f3mo hacemos eso? Simple: \u00bfQu\u00e9 ocurre cuando el proyectil toca el suelo? lo que ocurre es que la coordenada de la posici\u00f3n asociada a la altura se hace cero, es decir:<\/p>\n<p style=\"text-align: center; color: #000000;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle -\\frac{1}{2}gt^2+v_{0}\\sin(\\theta)t = 0\n\n<\/span>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">Aqu\u00ed podemos despejar el tiempo en que el proyectil toca el suelo, que resulta ser en dos ocasiones: en el momento en que es lanzado y cuando cae porque las soluciones posibles de \u00e9sta ecuaci\u00f3n son:<\/p>\n<p style=\"text-align: center; color: #000000;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\n\\begin{array}{rl}\n\nt &amp; = 0\\\\ \\\\\n\nt &amp; = \\displaystyle \\frac{2v_0 \\sin(\\theta)}{g}\n\n\\end{array}\n\n<\/span>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">Al resultado no nulo lo llamamos \u00abtiempo de ca\u00edda\u00bb y escribimos:<\/p>\n<p style=\"text-align: center; color: #000000;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\color{blue}{t_{caida} = \\displaystyle \\frac{2v_0 \\sin(\\theta)}{g}}<\/span>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">Si revisas m\u00e1s arriba te dar\u00e1s cuenta de que <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">t_{caida} = 2t_{alt.max}<\/span> porque el tiempo que el proyectil tarda en alcanzar su altura m\u00e1xima es el mismo que tarda en caer desde su punto m\u00e1s alto. Esto es indicio de una cierta simetr\u00eda en el movimiento del proyectil. En realidad esta simetr\u00eda ya se observa cuando notas que la coordenada asociada a la altura tiene forma de par\u00e1bola.<\/p>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">Conociendo el tiempo de ca\u00edda, ahora es posible calcular la distancia que ha recorrido el proyectil al momento de tocar el suelo simplemente emplaz\u00e1ndola en la primera coordenada de la posici\u00f3n:<\/p>\n<p style=\"text-align: center; color: #000000;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\begin{array}{rl}\n\nx_{caida} &amp;= v_{0}\\cos(\\theta)t_{caida} \\\\ \\\\\n\n&amp; = \\displaystyle v_{0}\\cos(\\theta)\\frac{2v_0 \\sin(\\theta)}{g} \\\\ \\\\\n\n&amp; = \\displaystyle \\frac{v_0^2 \\sin(2\\theta)}{g} \\\\ \\\\\n\n\\end{array}<\/span>\n<p><a name=\"5\"><\/a><\/p>\n<h3>\u00bfQu\u00e9 angulo de lanzamiento maximiza el alcance del proyectil?<\/h3>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\"><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=_dXgQ_7u5GE&amp;t=999s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">Si quieres saber cu\u00e1l el \u00e1ngulo<\/span><\/strong><\/a> de disparo con el que el lanzamiento de proyectil el m\u00e1ximo alcance, o deseas demostrar que eso que sabes es en efecto correcto, lo \u00fanico que tienes que hacer es tomar de entre las expresiones que hemos demostrado la que te permita formular la pregunta de modo matem\u00e1tico. Ya hemos calculado la distancia de ca\u00edda justo en la secci\u00f3n anterior, y esta resulta que es una funci\u00f3n del \u00e1ngulo de disparo:<\/p>\n<p style=\"text-align: center; color: #000000;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\n\\displaystyle x_{caida} = x_{caida}(\\theta) = \\frac{v_0^2 \\sin(2\\theta)}{g}\n\n<\/span>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">La funci\u00f3n seno tiene dos resultados extremos posibles: +1 y -1, pero nos interesa el primero. Para que <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\sin(2\\theta)=+1<\/span> es necesario que <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">2\\theta = 90^o<\/span> (+<span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">2k\\pi,<\/span> pero omitiremos esa parte porque no la necesitamos) y por lo tanto <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\theta=45^o<\/span> es el \u00e1ngulo de disparo que maximiza el alcance. Este problema tambi\u00e9n se puede resolver si lo planteamos como un problema de optimizaci\u00f3n (utilizando las herramientas de <a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=OscTlX3raaE&#038;list=PL_C8rbeFjqAVaR_sgLJRBvMm5t6E1GxGI\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">\u00e9sta clase de c\u00e1lculo<\/a>) pero he optado por este camino que es m\u00e1s r\u00e1pido y es igual de ilustrativo.<\/p>\n<p><a name=\"6\"><\/a><\/p>\n<h2>Ejercicios Propuestos<\/h2>\n<ol style=\"text-align: justify; color: #000000;\">\n<li>Un proyectil es lanzado desde el suelo, con un \u00e1ngulo de elevaci\u00f3n de <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\theta=30^o<\/span> y rapidez inicial <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">v_0=70[km\/h].<\/span> a) Cu\u00e1l es la altura m\u00e1xima alcanzada por el proyectil? b) Qu\u00e9 distancia recorre el proyectil hasta el momento de tocar el suelo? c) Cu\u00e1nto tarda el proyectil en caer?<\/li>\n<li>Un ca\u00f1\u00f3n puesto en el suelo dispara una bala con una rapidez de 90[km\/h] \u00bfCon qu\u00e9 \u00e1ngulo de elevaci\u00f3n se debe ajustar el ca\u00f1\u00f3n para que la bala caiga a una distancia horizontal de 20[m]?<\/li>\n<li>El mismo ca\u00f1\u00f3n del ejercicio anterior es ahora puesto a una altura de 5[m] \u00bfCon qu\u00e9 \u00e1ngulo de elevaci\u00f3n se debe ajustar para que la bala siga cayendo a una distancia horizontal de 20[m]?<\/li>\n<li>Un bombardero vuela a una altura de 3 000[m] sobre el suelo con una rapidez de 1500[km\/h]. Si este deja caer un proyectil por su propio peso \u00bfQu\u00e9 distancia recorrer\u00e1 el proyectil desde el momento en que es soltado hasta que toca el suelo?.<\/li>\n<\/ol>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Lanzamiento de Proyectil Resumen: En esta clase revisaremos todos los aspectos cinem\u00e1ticos del lanzamiento de un proyectil, un tema crucial en la f\u00edsica que extiende nuestro estudio previo sobre el movimiento uniformemente acelerado. Abordaremos c\u00f3mo, al quitar la restricci\u00f3n sobre la direcci\u00f3n del movimiento, nos encontramos con trayectorias parab\u00f3licas t\u00edpicas de los proyectiles. 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