{"id":25946,"date":"2024-01-07T23:50:43","date_gmt":"2024-01-07T23:50:43","guid":{"rendered":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/?p=25946"},"modified":"2024-05-21T09:41:47","modified_gmt":"2024-05-21T09:41:47","slug":"rotaciones-hiperbolicas-de-espaciotiempo","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/toposuranos.com\/material\/es\/rotaciones-hiperbolicas-de-espaciotiempo\/","title":{"rendered":"Rotaciones Hiperb\u00f3licas de Espaciotiempo"},"content":{"rendered":"<div style=\"background-color:#F3F3F3; padding:20px;\">\n<center><\/p>\n<h1>Rotaciones Hiperb\u00f3licas de Espaciotiempo<\/h1>\n<p class=\"eq\"><em><strong>Resumen:<\/strong><br \/>\nEn esta clase revisaremos c\u00f3mo las transformaciones de Lorentz pueden ser reinterpretadas como transformaciones de rotaciones de espaciotiempo. Iniciaremos examinando las rotaciones en el espacio de cuatro dimensiones de Minkowski, distinguiendo entre rotaciones puramente espaciales y aquellas que involucran ejes espaciotemporales.<\/br><\/em><\/p>\n<p><\/center><\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><strong>OBJETIVOS DE APRENDIZAJE:<\/strong><br \/>\nAl finalizar esta clase el estudiante ser\u00e1 capaz de:<\/p>\n<ol>\n<li><strong>Comprender<\/strong> las transformaciones de rotaci\u00f3n en el espaciotiempo de Minkowski.<\/li>\n<li><strong>Comprender<\/strong> las transformaciones de Lorentz como rotaciones espaciotemporales.<\/li>\n<\/ol>\n<p><center><\/p>\n<p><strong>INDICE<\/strong><br \/>\n<a href=\"#0\"><strong>Introducci\u00f3n<\/strong><\/a><br \/>\n<a href=\"#1\"><strong>Rotaciones en el Espaciotiempo de Minkowski<\/strong><\/a><br \/>\n<a href=\"#2\">Rotaciones espaciales puras<\/a><br \/>\n<a href=\"#3\">Generalizaci\u00f3n Matricial para Rotaciones Tridimensionales<\/a><br \/>\n<a href=\"#4\">Rotaciones Espaciales para Eventos con Coordenadas de Espaciotiempo<\/a><br \/>\n<a href=\"#5\"><strong>Rotaciones hiperb\u00f3licas de espaciotiempo<\/strong><\/a><br \/>\n<a href=\"#6\">Introduciendo el par\u00e1metro de velocidad<\/a><br \/>\n<a href=\"#7\">Formulando las Rotaciones Espaciotemporales como Rotaciones Hiperb\u00f3licas<\/a><br \/>\n<a href=\"#8\"><strong>Conclusiones<\/strong><\/a>\n<\/p>\n<p><iframe class=\"lazyload\" width=\"560\" height=\"315\" data-src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/PCB-XC3XwQE?si=rBjMJhQEZ8O2wBLg\" title=\"YouTube video player\" frameborder=\"0\" allow=\"accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share\" allowfullscreen><\/iframe><br \/>\n<\/center>\n<\/div>\n<p><a name=\"0\"><\/a><\/p>\n<h2>Introducci\u00f3n<\/h2>\n<p style=\"text-align:justify;\">Hasta este punto, hemos examinado detalladamente la forma en que se efect\u00faan las transformaciones de Lorentz, es decir, la manera en que las coordenadas en el espaciotiempo de Minkowski de un evento espec\u00edfico se alteran cuando son observadas desde diferentes marcos de referencia inerciales. Lo que haremos a continuaci\u00f3n ser\u00e1 revisar una perspectiva diferente para estos desarrollos, visualiz\u00e1ndolas como transformaciones de rotaciones de espaciotiempo. Pronto descubriremos que este enfoque aporta ventajas al nivel algebr\u00e1ico, las cuales simplifican en general los c\u00e1lculos, especialmente a la hora de  combinar varias transformaciones de Lorentz consecutivas.<\/p>\n<p><a name=\"1\"><\/a><\/p>\n<h2>Rotaciones en el Espaciotiempo de Minkowski<\/h2>\n<p style=\"text-align:justify;\">Iniciemos analizando c\u00f3mo se efect\u00faan las diversas rotaciones espaciales en el espaciotiempo de Minkowski. Dado que este es un espacio de cuatro dimensiones, lo m\u00e1s pr\u00e1ctico para establecer una rotaci\u00f3n es hacerlo con respecto a un plano espec\u00edfico. De esta forma, podemos definir rotaciones sobre los planos <bdi><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">xy<\/span><\/bdi>, <bdi><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">xz<\/span><\/bdi> e <bdi><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">yz<\/span><\/bdi>, as\u00ed como tambi\u00e9n sobre los planos <bdi><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">xt<\/span><\/bdi>, <bdi><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">yt<\/span><\/bdi> y <bdi><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">zt<\/span><\/bdi>. Las rotaciones llevadas a cabo en planos formados por ejes espaciales son rotaciones puramente espaciales, mientras que las realizadas en planos compuestos por ejes de espacio y tiempo son rotaciones espaciotemporales. Por el momento, nos enfocaremos en entender en detalle las rotaciones espaciales puras para luego ampliar este conocimiento a las rotaciones espaciotemporales.\n<\/p>\n<p><a name=\"2\"><\/a><\/p>\n<h3>Rotaciones espaciales puras<\/h3>\n<p style=\"text-align:justify;\">\nIniciemos nuestro estudio de las rotaciones espaciales revisando c\u00f3mo se realizan las rotaciones en el plano <bdi><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">xy<\/span><\/bdi>. Para ello, supongamos que tenemos un punto con coordenadas <bdi><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(a,b)<\/span><\/bdi> respecto al sistema definido por los ejes <bdi><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\hat{x}<\/span><\/bdi> e <bdi><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\hat{y}<\/span><\/bdi>. Luego, analicemos la relaci\u00f3n que conecta estas coordenadas con las que observar\u00eda un sistema de referencia rotado. Este sistema est\u00e1 definido por los ejes <bdi><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\hat{x}^\\prime<\/span><\/bdi> e <bdi><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\hat{y}^\\prime<\/span><\/bdi>, los cuales est\u00e1n rotados un \u00e1ngulo <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\theta<\/span> con respecto al sistema original, como se muestra en la figura siguiente:\n<\/p>\n<p><center><img decoding=\"async\" src=\"data:image\/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP\/\/\/yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7\" data-src=\"http:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-content\/uploads\/2024\/01\/rotaciontheta.jpg\" alt=\"Rotaci\u00f3n en un \u00e1ngulo theta del plano xy\" width=\"623\" height=\"495\" class=\"aligncenter size-full wp-image-25994 lazyload\" \/><noscript><img decoding=\"async\" src=\"http:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-content\/uploads\/2024\/01\/rotaciontheta.jpg\" alt=\"Rotaci\u00f3n en un \u00e1ngulo theta del plano xy\" width=\"623\" height=\"495\" class=\"aligncenter size-full wp-image-25994 lazyload\" srcset=\"https:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-content\/uploads\/2024\/01\/rotaciontheta.jpg 623w, https:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-content\/uploads\/2024\/01\/rotaciontheta-300x238.jpg 300w\" sizes=\"(max-width: 623px) 100vw, 623px\" \/><\/noscript><\/center><\/p>\n<p style=\"text-align:justify;\">\nPara obtener las relaciones entre las cordenadas <bdi><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(a,b)<\/span><\/bdi> y <bdi><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(a^\\prime,b^\\prime)<\/span><\/bdi> medido desde cada sistema, podemos utilizar las siguientes lineas gu\u00eda:\n<\/p>\n<p><center><img decoding=\"async\" src=\"data:image\/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP\/\/\/yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7\" data-src=\"http:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-content\/uploads\/2024\/01\/rotacion-conlineasguia.png\" alt=\"Lineas gu\u00eda para la obtenci\u00f3n de la relaci\u00f3n entre sistemas rotados\" width=\"827\" height=\"620\" class=\"aligncenter size-full wp-image-25998 lazyload\" \/><noscript><img decoding=\"async\" src=\"http:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-content\/uploads\/2024\/01\/rotacion-conlineasguia.png\" alt=\"Lineas gu\u00eda para la obtenci\u00f3n de la relaci\u00f3n entre sistemas rotados\" width=\"827\" height=\"620\" class=\"aligncenter size-full wp-image-25998 lazyload\" srcset=\"https:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-content\/uploads\/2024\/01\/rotacion-conlineasguia.png 827w, https:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-content\/uploads\/2024\/01\/rotacion-conlineasguia-300x225.png 300w, https:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-content\/uploads\/2024\/01\/rotacion-conlineasguia-768x576.png 768w\" sizes=\"(max-width: 827px) 100vw, 827px\" \/><\/noscript><\/center><\/p>\n<p style=\"text-align:justify;\">\nDe modo tal que ahora es sencillo obtener las ecuaciones de transformaci\u00f3n\n<\/p>\n<p><bdi><\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> \\begin{array}{rcl} a^\\prime &amp; = &amp; \\phantom{-}a\\cos(\\theta) + b\\sin(\\theta) \\\\ b^\\prime &amp; = &amp; -a \\sin(\\theta) + b \\cos(\\theta)\n\n\\end{array} <\/span>\n<p><\/bdi><\/p>\n<p><a name=\"3\"><\/a><\/p>\n<h3>Generalizaci\u00f3n Matricial para Rotaciones Tridimensionales<\/h3>\n<p style=\"text-align:justify;\">\nEste sistema de ecuaciones se puede representar de manera m\u00e1s conveniente en su forma matricial.\n<\/p>\n<p><bdi><\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> \\left(\\begin{array}{r} a^\\prime \\\\ b^\\prime \\end{array}\\right) = \\left(\\begin{array}{cc} \\cos(\\theta) &amp; \\sin(\\theta) \\\\ -\\sin(\\theta) &amp; \\cos(\\theta)\\end{array}\\right) \\left(\\begin{array}{r} a \\\\ b \\end{array}\\right) <\/span>\n<p><\/bdi><\/p>\n<p style=\"text-align:justify;\">Esto es conveniente, porque a partir de aqu\u00ed es f\u00e1cil generalizar para dimensiones m\u00e1s grandes. Por ejemplo, un punto con coordenadas <bdi><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(a,b,c)<\/span><\/bdi> en el sistema formado por los ejes <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\hat{x}<\/span>, <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\hat{y}<\/span> y <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\hat{z}<\/span>, observado desde otro sistema formado por los ejes <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\hat{x}^\\prime<\/span>, <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\hat{y}^\\prime<\/span> y <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\hat{z}^\\prime<\/span>, que se distingue del sistema original por una rotaci\u00f3n en un \u00e1ngulo <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\theta<\/span> respecto del plano <bdi><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\hat{x}\\hat{y}<\/span><\/bdi>, ser\u00eda:<\/p>\n<p><bdi><\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> \\left(\\begin{array}{r} a^\\prime \\\\ b^\\prime \\\\ c^\\prime \\end{array}\\right) = \\left(\\begin{array}{ccc} \\cos(\\theta) &amp; \\sin(\\theta) &amp; 0 \\\\ -\\sin(\\theta) &amp; \\cos(\\theta) &amp; 0 \\\\ 0 &amp; 0 &amp; 1\\end{array}\\right) \\left(\\begin{array}{r} a \\\\ b \\\\ c\\end{array}\\right) <\/span>\n<p><\/bdi><\/p>\n<p><img decoding=\"async\" src=\"data:image\/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP\/\/\/yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7\" data-src=\"http:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-content\/uploads\/2024\/01\/sistemarotadoxy3d.png\" alt=\"Rotaciones Espaciales\" width=\"725\" height=\"597\" class=\"aligncenter size-full wp-image-26014 lazyload\" \/><noscript><img decoding=\"async\" src=\"http:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-content\/uploads\/2024\/01\/sistemarotadoxy3d.png\" alt=\"Rotaciones Espaciales\" width=\"725\" height=\"597\" class=\"aligncenter size-full wp-image-26014 lazyload\" srcset=\"https:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-content\/uploads\/2024\/01\/sistemarotadoxy3d.png 725w, https:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-content\/uploads\/2024\/01\/sistemarotadoxy3d-300x247.png 300w\" sizes=\"(max-width: 725px) 100vw, 725px\" \/><\/noscript><\/p>\n<p style=\"text-align:justify;\">A partir de esto, obtenemos las distintas matrices de transformaci\u00f3n de rotaciones para cada uno de los planos espaciales.<\/p>\n<p><bdi><\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> \\begin{array}{rll} R_{xy}(\\theta)= &amp; \\left(\\begin{array}{ccc} \\cos(\\theta) &amp; \\sin(\\theta) &amp; 0 \\\\ -\\sin(\\theta) &amp; \\cos(\\theta) &amp; 0 \\\\ 0 &amp; 0 &amp; 1\\end{array}\\right) &amp; \\begin{array}{l} \\text{Rotaci\u00f3n en un \u00e1ngulo }\\theta\\\\ \\text{sobre el plano }xy \\end{array} \\\\ \\\\ R_{yz}(\\theta)= &amp; \\left(\\begin{array}{ccc} 1 &amp; 0 &amp; 0 \\\\ 0 &amp; \\cos(\\theta) &amp; \\sin(\\theta) \\\\ 0 &amp; -\\sin(\\theta) &amp; \\cos(\\theta)\\end{array}\\right) &amp; \\begin{array}{l} \\text{Rotaci\u00f3n en un \u00e1ngulo }\\theta\\\\ \\text{sobre el plano }yz \\end{array} \\\\ \\\\ R_{xz}(\\theta)= &amp; \\left(\\begin{array}{ccc} \\cos(\\theta) &amp; 0 &amp; \\sin(\\theta) \\\\ 0 &amp; 1 &amp; 0 \\\\ -\\sin(\\theta) &amp; 0 &amp; \\cos(\\theta)\\end{array}\\right) &amp; \\begin{array}{l} \\text{Rotaci\u00f3n en un \u00e1ngulo }\\theta\\\\ \\text{sobre el plano }xz \\end{array} \\end{array} <\/span>\n<p><\/bdi><\/p>\n<p style=\"text-align:justify;\">Para calcular la transformaci\u00f3n inversa de estas transformaciones de rotaci\u00f3n, basta con sustituir <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\theta<\/span> por <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">-\\theta<\/span>.<\/p>\n<p><a name=\"4\"><\/a><\/p>\n<h3>Rotaciones Espaciales para Eventos con Coordenadas de Espaciotiempo<\/h3>\n<p style=\"text-align:justify;\">\nDe manera similar a c\u00f3mo generalizamos de dos a tres dimensiones, podemos extender esto a cuatro dimensiones. Para mantener la coherencia con el lenguaje de la relatividad especial, es importante entender el significado de cada coordenada. Generalmente, las coordenadas de espaciotiempo se expresan de la siguiente manera:\n<\/p>\n<p><bdi><\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x^\\mu = (x^0, x^1, x^2, x^3) = (ct, x, y, z)<\/span>\n<p><\/bdi><\/p>\n<p style=\"text-align:justify;\">\nAqu\u00ed, los super\u00edndices no denotan potencias, sino que indican las caracter\u00edsticas de cada coordenada. La coordenada con super\u00edndice 0 representa la dimensi\u00f3n temporal, mientras que las coordenadas con super\u00edndices 1, 2 y 3 corresponden a las dimensiones espaciales. Con esto en mente, las rotaciones puramente espaciales en el espaciotiempo de Minkowski se describen mediante las siguientes relaciones:<\/p>\n<p><bdi><\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><strong>Rotaci\u00f3n respecto al plano xy:<\/strong> <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\n\\underbrace{\\left(\\begin{array}{r}\n\nx^{\\prime 0} \\\\ x^{\\prime 1} \\\\ x^{\\prime 2} \\\\ x^{\\prime 3} \\end{array}\\right)}_{\\large{x^{\\prime \\mu}}} = \\underbrace{\\left(\\begin{array}{cccc}\n\n1 &amp; 0 &amp; 0 &amp; 0 \\\\ 0 &amp; \\cos(\\theta) &amp; \\sin(\\theta) &amp; 0 \\\\ 0 &amp; -\\sin(\\theta) &amp; \\cos(\\theta) &amp; 0 \\\\ 0 &amp; 0 &amp; 0 &amp; 1 \\end{array}\\right)}_{\\large{{R_{xy}(\\theta)^\\mu}_\\nu}} \\underbrace{\\left(\\begin{array}{c} x^0 \\\\ x^1 \\\\ x^2 \\\\ x^3 \\end{array}\\right)}_{\\large{x^{\\nu}}} <\/span>\n<p><\/bdi><\/p>\n<p><bdi><\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><strong>Rotaci\u00f3n respecto al plano yz:<\/strong> <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\n\\underbrace{\\left(\\begin{array}{c}\n\nx^{\\prime 0} \\\\ x^{\\prime 1} \\\\ x^{\\prime 2} \\\\ x^{\\prime 3} \\end{array}\\right)}_{\\large{x^{\\prime \\mu}}} = \\underbrace{\\left(\\begin{array}{cccc} 1 &amp; 0 &amp; 0 &amp; 0 \\\\\n\n{} 0 &amp; 1 &amp; 0 &amp; 0 \\\\ 0 &amp; 0 &amp; \\cos(\\theta) &amp; \\sin(\\theta) \\\\ 0 &amp; 0 &amp; -\\sin(\\theta) &amp; \\cos(\\theta) \\end{array}\\right)}_{\\large{{R_{yz}(\\theta)^\\mu}_\\nu}} \\underbrace{\\left(\\begin{array}{r} x^0 \\\\ x^1 \\\\ x^2 \\\\ x^3 \\end{array}\\right)}_{\\large{x^{\\nu}}} <\/span>\n<p><\/bdi><\/p>\n<p><bdi><\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><strong>Rotaci\u00f3n respecto al plano xz:<\/strong> <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\n\\underbrace{\\left(\\begin{array}{c} x^{\\prime 0} \\\\ {}x^{\\prime 1} \\\\ x^{\\prime 2} \\\\ x^{\\prime 3} \\end{array}\\right)}_{\\large{x^{\\prime \\mu}}} = \\underbrace{\\left(\\begin{array}{cccc} 1 &amp; 0 &amp; 0 &amp; 0 \\\\ 0 &amp; \\cos(\\theta) &amp; 0 &amp; \\sin(\\theta) \\\\ 0 &amp; 0 &amp; 1 &amp; 0 \\\\ 0 &amp; -\\sin(\\theta) &amp; 0 &amp; \\cos(\\theta) \\end{array}\\right)}_{\\large{{R_{xz}(\\theta)^\\mu}_\\nu}} \\underbrace{\\left(\\begin{array}{r} x^0 \\\\ {} x^1 \\\\ x^2 \\\\ x^3 \\end{array}\\right)}_{\\large{x^{\\nu}}} <\/span>\n<p><\/bdi><\/p>\n<p style=\"text-align:justify;\">Estas transformaciones de mantienen exactamente las mismas propiedades que sus hom\u00f3logas en tres dimensiones.<\/p>\n<p><a name=\"5\"><\/a><\/p>\n<h2>Rotaciones hiperb\u00f3licas de espaciotiempo<\/h2>\n<p><a name=\"6\"><\/a><\/p>\n<h3>Introduciendo el par\u00e1metro de velocidad<\/h3>\n<p style=\"text-align:justify;\">La similitud entre las transformaciones de Lorentz y una rotaci\u00f3n espacial se puede obtener introduciendo lo que llamamos <strong>par\u00e1metro de velocidad<\/strong><\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><bdi><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\psi_{ss^\\prime_x}= \\text{argtanh}(\\beta_{ss^\\prime_x}).<\/span><\/bdi><\/p>\n<p style=\"text-align:justify;\">Dado que <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\beta_{ss^\\prime_x}\\in]-1,1[<\/span>, se tiene que <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\psi_{ss^\\prime_x}\\in\\mathbb{R}<\/span>. Adem\u00e1s notemos que, a partir de esto se tendr\u00e1 que <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\gamma_{ss^\\prime_x}=\\cosh(\\psi_{ss^\\prime_x})<\/span> y <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\gamma_{ss^\\prime_x} \\beta_{ss^\\prime_x} = \\sinh(\\psi_{ss^\\prime_x})<\/span>. Esto se obtiene a partir de los siguientes c\u00e1lculos:<\/p>\n<p style=\"text-align:justify;\">Es claro que <bdi><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\psi_{ss^\\prime_x}= \\text{argtanh}(\\beta_{ss^\\prime_x})<\/span><\/bdi> es equivalente a decir <bdi><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\beta_{ss^\\prime_x} =\\tanh(\\psi_{ss^\\prime_x})<\/span><\/bdi>; y por lo tanto: <\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><bdi><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\n\\begin{array}{rl} \\gamma^2_{ss^\\prime_x} &amp;= \\dfrac{1}{1-\\beta^2_{ss^\\prime_x}} \\\\ \\\\ &amp; = \\dfrac{1}{1-\\tanh^2(\\psi_{ss^\\prime_x})} \\\\ \\\\ {} &amp; = \\dfrac{\\cosh^2(\\psi_{ss^\\prime_x})}{\\cosh^2(\\psi_{ss^\\prime_x}) - \\sinh^2(\\psi_{ss^\\prime_x})} \\\\ \\\\ &amp; = \\cosh^2(\\psi_{ss^\\prime_x}) \\end{array}<\/span><\/bdi><\/p>\n<p style=\"text-align:justify;\">Como tanto el factor gamma como el coseno hiperb\u00f3lico son siempre mayores o iguales a 1, queda demostrado finalmente que <bdi><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\gamma_{ss^\\prime_x} = \\cosh(\\psi_{ss^\\prime_x})<\/span><\/bdi>.<\/p>\n<p style=\"text-align:justify;\">De forma semejante continuando los c\u00e1lculos realizados anteriormente, se tiene:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><bdi><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\gamma^2_{ss^\\prime_x} \\beta^2_{ss^\\prime_x} = \\cosh^2(\\psi_{ss^\\prime_x}) \\tanh^2(\\psi_{ss^\\prime_x})= \\sinh^2(\\psi_{ss^\\prime_x})<\/span>.<\/bdi><\/p>\n<p style=\"text-align:justify;\">Y por lo tanto <bdi><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\gamma_{ss^\\prime_x} \\beta_{ss^\\prime_x} = \\sinh(\\psi_{ss^\\prime_x})<\/span><\/bdi>. <\/p>\n<p><a name=\"7\"><\/a><\/p>\n<h3>Formulando las Rotaciones Espaciotemporales como Rotaciones Hiperb\u00f3licas<\/h3>\n<p style=\"text-align:justify;\">\nHabiendo llegado a este punto, ahora podemos reescribir el factor asociado al boost de velocidad y el factor gamma utilizando el par\u00e1metro de velocidad en las transformaciones de Lorentz. Considerando dos sistemas inerciales <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">S<\/span> y <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">S^\\prime<\/span> en configuraci\u00f3n est\u00e1ndar, donde al segundo se le aplica un boost sobre el eje <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x<\/span>, <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\beta_{ss^\\prime_x}<\/span>, se tiene:\n<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><bdi><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\n\\begin{array}{rl} ct^\\prime &amp;= \\gamma_{ss^\\prime_x}(ct - \\beta_{ss^\\prime_x} x) \\\\ &amp;= \\gamma_{ss^\\prime_x} ct - \\gamma_{ss^\\prime_x}\\beta_{ss^\\prime_x} x \\\\ &amp;= ct\\cosh(\\psi_{ss^\\prime_x}) - x\\sinh(\\psi_{ss^\\prime_x}), \\\\ \\\\ x^\\prime &amp;= \\gamma_{ss^\\prime_x}(x - \\beta_{ss^\\prime_x} ct) \\\\ &amp;= -\\gamma_{ss^\\prime_x}\\beta_{ss^\\prime_x} ct + \\gamma_{ss^\\prime_x}x \\\\ &amp;= -ct \\sinh(\\psi_{ss^\\prime_x}) + x\\cosh(\\psi_{ss^\\prime_x}), \\\\ \\\\ y^\\prime &amp;= y, \\\\ \\\\\n\nz^\\prime &amp;= z. \\end{array} <\/span><\/bdi><\/p>\n<p style=\"text-align:justify;\">Este sistema de ecuaciones admite la siguiente representaci\u00f3n matricial:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><strong>Rotaci\u00f3n Hiperb\u00f3lica de Espaciotiempo sobre el Plano tx: <\/strong><\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\n\\begin{array}{rl} \\underbrace{\\left( \\begin{array}{c} ct^\\prime \\\\ x^\\prime \\\\ y^\\prime \\\\ z^\\prime \\end{array} \\right)}_{\\large{x^{\\prime \\mu}}} &amp;= \\underbrace{\\left( \\begin{array}{cccc} \\cosh(\\psi_{ss^\\prime_x}) &amp; -\\sinh(\\psi_{ss^\\prime_x}) &amp; 0 &amp; 0 \\\\ - \\sinh(\\psi_{ss^\\prime_x}) &amp; \\cosh(\\psi_{ss^\\prime_x}) &amp; 0 &amp; 0 \\\\\n\n{} 0 &amp; 0 &amp; 1 &amp; 0 \\\\ 0 &amp; 0 &amp; 0 &amp; 1 \\end{array}\\right)}_{\\large{{R_{tx}(\\psi_{ss^\\prime_x})^\\mu}_\\nu}} \\underbrace{\\left( \\begin{array}{c} ct \\\\ x \\\\ y \\\\ z \\end{array} \\right)}_{\\large{x^{\\nu}}} \\end{array} <\/span>\n<p style=\"text-align:justify;\">De manera an\u00e1loga, tenemos rotaciones hiperb\u00f3licas sobre cada uno de los planos de espaciotiempo:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><strong>Rotaci\u00f3n Hiperb\u00f3lica de Espaciotiempo sobre el Plano ty: <\/strong><\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\n\\begin{array}{rl} \\underbrace{\\left( \\begin{array}{c} ct^\\prime \\\\ x^\\prime \\\\ y^\\prime \\\\ z^\\prime \\end{array} \\right)}_{\\large{x^{\\prime \\mu}}} &amp;= \\underbrace{\\left(\\begin{array}{cccc} \\cosh(\\psi_{ss^\\prime_y}) &amp; 0 &amp; -\\sinh(\\psi_{ss^\\prime_y}) &amp; 0 \\\\ 0 &amp; 1 &amp; 0 &amp; 0 \\\\ {} - \\sinh(\\psi_{ss^\\prime_y}) &amp; 0 &amp; \\cosh(\\psi_{ss^\\prime_y}) &amp; 0 \\\\ 0 &amp; 0 &amp; 0 &amp; 1 \\end{array}\\right)}_{\\large{{R_{ty}(\\psi_{ss^\\prime_y})^\\mu}_\\nu}} \\underbrace{\\left( \\begin{array}{c} ct \\\\ x \\\\ y \\\\ z \\end{array} \\right)}_{\\large{x^{\\nu}}} \\end{array} <\/span>\n<p style=\"text-align:center;\"><strong>Rotaci\u00f3n Hiperb\u00f3lica de Espaciotiempo sobre el Plano tz: <\/strong><\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\n\\begin{array}{rl} \\underbrace{\\left( \\begin{array}{c} ct^\\prime \\\\ x^\\prime \\\\ y^\\prime \\\\ z^\\prime \\end{array} \\right)}_{\\large{x^{\\prime \\mu}}} &amp;= \\underbrace{\\left( \\begin{array}{cccc} \\cosh(\\psi_{ss^\\prime_z}) &amp; 0 &amp; 0 &amp; -\\sinh(\\psi_{ss^\\prime_z}) \\\\ 0 &amp; 1 &amp; 0 &amp; 0 \\\\ 0 &amp; 0 &amp; 1 &amp; 0 \\\\ {} - \\sinh(\\psi_{ss^\\prime_z}) &amp; 0 &amp; 0 &amp; \\cosh(\\psi_{ss^\\prime_z}) \\end{array}\\right)}_{\\large{{R_{tz}(\\psi_{ss^\\prime_z})^\\mu}_\\nu}} \\underbrace{\\left( \\begin{array}{c} ct \\\\ x \\\\ y \\\\ z \\end{array} \\right)}_{\\large{x^{\\nu}}} \\end{array} <\/span>\n<p style=\"text-align:justify;\">\nPor su forma y propiedades algebraicas, estas transformaciones son muy similares a una rotaci\u00f3n espacial, solo que en lugar de usar funciones trigonom\u00e9tricas, emplean funciones hiperb\u00f3licas. Aunque no son rotaciones en el sentido estricto, mantienen cierta analog\u00eda con las rotaciones revisadas al principio. Por ejemplo, de manera similar a como ocurre con las rotaciones, la transformaci\u00f3n inversa se obtiene reemplazando el par\u00e1metro de velocidad correspondiente <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\psi<\/span> por <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">-\\psi<\/span>. Estas transformaciones son a veces denominadas como <strong>rotaciones hiperb\u00f3licas<\/strong>, y el par\u00e1metro de velocidad se conoce tambi\u00e9n como <strong>\u00e1ngulo hiperb\u00f3lico<\/strong>.\n<\/p>\n<p><a name=\"8\"><\/a><\/p>\n<div style=\"background-color:#F3F3F3; padding:20px;\">\n<h2>Conclusiones<\/h2>\n<p style=\"text-align:justify;\">\n        Hasta ahora hemos abordado de manera exhaustiva el concepto de las rotaciones en el espaciotiempo de Minkowski, lo cual nos permite tener una comprensi\u00f3n m\u00e1s profunda de las transformaciones de Lorentz. A trav\u00e9s de este estudio, hemos logrado los siguientes puntos clave:\n    <\/p>\n<ul>\n<li><strong>Reinterpretaci\u00f3n de las Transformaciones de Lorentz<\/strong>: Hemos aprendido a visualizar y comprender las transformaciones de Lorentz no solo como cambios en las coordenadas debido a diferentes marcos de referencia, sino tambi\u00e9n como rotaciones en el espaciotiempo.<\/li>\n<li><strong>Comprensi\u00f3n de las Rotaciones en el Espaciotiempo de Minkowski<\/strong>: Hemos examinado detalladamente las rotaciones dentro del espacio de cuatro dimensiones de Minkowski.<\/li>\n<li><strong>Exploraci\u00f3n de las Rotaciones Hiperb\u00f3licas de Espaciotiempo<\/strong>: Finalmente, hemos introducido el concepto de rotaciones hiperb\u00f3licas de espaciotiempo, examinando sus semejanza con las rotaciones espaciales usuales.<\/li>\n<\/ul>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Rotaciones Hiperb\u00f3licas de Espaciotiempo Resumen: En esta clase revisaremos c\u00f3mo las transformaciones de Lorentz pueden ser reinterpretadas como transformaciones de rotaciones de espaciotiempo. 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