{"id":25784,"date":"2021-03-20T00:00:25","date_gmt":"2021-03-20T00:00:25","guid":{"rendered":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/?p=25784"},"modified":"2025-03-02T19:47:26","modified_gmt":"2025-03-02T19:47:26","slug":"operaciones-basicas-con-numeros-naturales-y-relaciones-de-orden","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/toposuranos.com\/material\/es\/operaciones-basicas-con-numeros-naturales-y-relaciones-de-orden\/","title":{"rendered":"Operaciones con N\u00fameros Naturales y Relaciones de Orden"},"content":{"rendered":"<div style=\"background-color:#F3F3F3; padding:20px;\"><center><\/p>\n<h1>Operaciones con N\u00fameros Naturales y Relaciones de Orden<\/h1>\n<p style=\"text-align:center;\"><strong>Resumen:<\/strong><br \/>\nEn esta clase, profundizaremos en los n\u00fameros naturales y sus operaciones b\u00e1sicas, empezando por el origen y propiedades de la suma, producto y potenciaci\u00f3n, en relaci\u00f3n con los Axiomas de Peano. Examinaremos propiedades clave como conmutatividad, asociatividad, distributividad, y reglas de simplificaci\u00f3n e inversi\u00f3n. Utilizaremos la inducci\u00f3n matem\u00e1tica para demostrar teoremas y propiedades. Adem\u00e1s, analizaremos la relaci\u00f3n de orden entre los n\u00fameros naturales, incluyendo la ley de tricotom\u00eda y las propiedades de transitividad y monoton\u00eda, con ejercicios pr\u00e1cticos para aplicar estos conceptos. Finalmente, abordaremos las operaciones inversas (resta y divisi\u00f3n) y exploraremos la potenciaci\u00f3n de n\u00fameros naturales y sus propiedades.\n<\/p>\n<p><\/center><\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><strong>OBJETIVOS DE APRENDIZAJE:<\/strong><br \/>\nAl finalizar esta clase el estudiantes ser\u00e1 capaz de:\n<\/p>\n<p style=\"text-align:justify;\">\n<ol>\n<li><strong>Comprender<\/strong> el origen y las propiedades de las operaciones b\u00e1sicas de los n\u00fameros naturales.<\/li>\n<li><strong>Aplicar<\/strong> las propiedades de las operaciones con n\u00fameros naturales, como la conmutatividad, asociatividad, distributividad, y las reglas para la simplificaci\u00f3n y la operaci\u00f3n inversa.<\/li>\n<li><strong>Aplicar<\/strong> la inducci\u00f3n matem\u00e1tica para la demostraci\u00f3n de propiedades y teoremas sencillos.<\/li>\n<li><strong>Analizar<\/strong> las propiedades del orden en los n\u00fameros naturales, como la ley de tricotom\u00eda y las propiedades transitividad y de monoton\u00eda.<\/li>\n<\/ol>\n<p style=\"text-align:center;\"><strong><u>\u00cdNDICE DE CONTENIDOS<\/u>:<\/strong><br \/>\n<a href=\"#1\">El origen de las Operaciones B\u00e1sicas de los N\u00fameros Naturales<\/a><br \/>\n<a href=\"#2\">El orden Inducido por las Operaciones de los N\u00fameros Naturales<\/a><br \/>\n<a href=\"#3\">Operaciones Inversas: Resta y Divisi\u00f3n de N\u00fameros Naturales<\/a><br \/>\n<a href=\"#4\">Potencias de N\u00fameros Naturales<\/a><br \/>\n<a href=\"#5\">Problemas Propuestos y Resueltos<\/a>\n<\/p>\n<p><center><br \/>\n<iframe class=\"lazyload\" width=\"560\" height=\"315\" data-src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/jKD71TjMC4s\" title=\"YouTube video player\" frameborder=\"0\" allow=\"accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture\" allowfullscreen=\"allowfullscreen\"><\/iframe><\/center>\n<\/div>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">Aunque las operaciones con los n\u00fameros naturales son conocidas, es necesario sintetizar este conocimiento usando unos \u00abmodales un poco m\u00e1s matem\u00e1ticos\u00bb. Por este motivo haremos una revisi\u00f3n a las operaciones de suma, producto y potencia de n\u00fameros naturales y sus propiedades.<\/p>\n<p><a name=\"1\"><\/a><\/p>\n<h2>El origen de las Operaciones B\u00e1sicas de los N\u00fameros Naturales<\/h2>\n<h3>Operaci\u00f3n de Suma<\/h3>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\"><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=jKD71TjMC4s&amp;t=49s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><span style=\"color: #ff0000;\"><strong>El germen de la operaci\u00f3n suma la revisamos en la clase sobre<\/strong><\/span><\/a>  <a href=\"http:\/\/toposuranos.com\/material\/es\/los-numeros-naturales-y-los-axiomas-de-peano\/\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\"><strong>Los N\u00fameros Naturales y los Axiomas de Peano,<\/strong><\/a> porque el sucesor de un natural tambi\u00e9n se puede presentar as\u00ed:<\/p>\n<p style=\"text-align: center; color: #000000;\"><bdi><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">S(n) = n+1<\/span><\/bdi><\/p>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">Como dijimos que <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">2=S(1), 3=S(2), 4=S(3), \\cdots <\/span><\/bdi> y as\u00ed sucesivamente, entonces podemos interpretar la suma como la aplicaci\u00f3n sucesiva de la operaci\u00f3n de sucesi\u00f3n.<\/p>\n<p style=\"text-align: center; color: #000000;\"><bdi><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">n+1 =S(n),<\/span><\/bdi><\/p>\n<p style=\"text-align: center; color: #000000;\"><bdi><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">n+2 =S(S(n)),<\/span><\/bdi><\/p>\n<p style=\"text-align: center; color: #000000;\"><bdi><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">n+3 =S(S(S(n))),<\/span><\/bdi><\/p>\n<p style=\"text-align: center; color: #000000;\"><bdi><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vdots<\/span><\/bdi><\/p>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">Y en general:<\/p>\n<p style=\"text-align: center; color: #000000;\"><bdi><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">n+m = \\underbrace{S(S(\\cdots S(}_{m\\;veces} n)\\cdots)) <\/span><\/bdi><\/p>\n<h4>Propiedades de la Suma<\/h4>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">Si <bdi><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a,b,c\\in\\mathbb{N},<\/span><\/bdi> <a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=jKD71TjMC4s&amp;t=131s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">entonces a partir de esto podemos obtener las propiedades de la suma que todos conocemos:<\/span><\/strong><\/a><\/p>\n<table>\n<tbody>\n<tr style=\"text-align: justify; color: #000000;\">\n<td><strong>Conmutatividad<\/strong><br \/>\n<bdi><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a+b=b+a<\/span><\/bdi><\/td>\n<\/tr>\n<tr style=\"text-align: justify; color: #000000;\">\n<td><strong>Asociatividad<\/strong><br \/>\n<bdi><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a+b+c=(a+b)+c=a+(b+c)<\/span><\/bdi><\/td>\n<\/tr>\n<tr style=\"text-align: justify; color: #000000;\">\n<td><strong>Simplificaci\u00f3n<\/strong><br \/>\n<bdi><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a+b=a+c \\leftrightarrow b=c <\/span><\/bdi><\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">Todas estas propiedades se pueden demostrar por inducci\u00f3n pero nos saltaremos ese trabajo. Sin embargo te animo a que lo intentes como una forma de pr\u00e1cticar la t\u00e9cnica de inducci\u00f3n.<\/p>\n<h3>Operaci\u00f3n de Producto<\/h3>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\"><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=jKD71TjMC4s&amp;t=230s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">De forma similar, se define el producto de n\u00fameros<\/span> <\/strong><\/a>naturales como una aplicaci\u00f3n sucesiva de la suma. Tenemos por lo tanto que<\/p>\n<p style=\"text-align: center; color: #000000;\"><bdi><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">n\\cdot m = \\underbrace{n+ n+ \\cdots + n}_{m\\;veces}<\/span><\/bdi><\/p>\n<h4>Propiedades del Producto<\/h4>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\"><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=jKD71TjMC4s&amp;t=251s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">Y de forma an\u00e1loga<\/span><\/strong><\/a> se pueden obtener sus propiedades<\/p>\n<table>\n<tbody>\n<tr style=\"text-align: justify; color: #000000;\">\n<td><strong>Conmutatividad<\/strong><br \/>\n<bdi><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">ab=ba<\/span><\/bdi><\/td>\n<\/tr>\n<tr style=\"text-align: justify; color: #000000;\">\n<td><strong>Asociatividad<\/strong><br \/>\n<bdi><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">abc=(ab)c=a(bc)<\/span><\/bdi><\/td>\n<\/tr>\n<tr style=\"text-align: justify; color: #000000;\">\n<td><strong>Simplificaci\u00f3n<\/strong><br \/>\n<bdi><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">ab=ac \\leftrightarrow b=c <\/span><\/bdi><\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">Y adem\u00e1s, desde la definici\u00f3n del producto es que el \u00ab1\u00bb de los naturales adquiere la cualidad que lo transforma en <strong>unidad:<\/strong><\/p>\n<table>\n<tbody>\n<tr style=\"text-align: justify; color: #000000;\">\n<td><strong>Unidad<\/strong><br \/>\n<bdi><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">1a=a=a1<\/span><\/bdi><\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<h3>Suma y Producto Combinados<\/h3>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">Cuando las operaciones de suma y producto se combinan, se obtiene la propiedad de distribuci\u00f3n de la suma respecto a la multiplicaci\u00f3n<\/p>\n<table>\n<tbody>\n<tr style=\"text-align: justify; color: #000000;\">\n<td><strong>Distributividad<\/strong><br \/>\n<bdi><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a(b+c)=ab+ac<\/span><\/bdi><\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p><a name=\"2\"><\/a><\/p>\n<h2>El orden Inducido por las Operaciones de los N\u00fameros Naturales<\/h2>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">Desde las operaciones de suma y producto que revisamos se induce en los naturales una relaci\u00f3n de orden a trav\u00e9s de las siguientes definiciones:<\/p>\n<table>\n<tbody>\n<tr>\n<td style=\"text-align: center; color: #000000;\"><strong><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a<\/span> es menor que <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">b<\/span><\/strong><br \/>\n<bdi><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a\\lt b := (\\exists k \\in \\mathbb{N}) (a + k = b)<\/span><\/bdi><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"text-align: center; color: #000000;\"><strong><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a<\/span> es mayor que <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">b<\/span><\/strong><br \/>\n<bdi><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a\\gt b := (\\exists k \\in \\mathbb{N}) (a = b + k)<\/span><\/bdi><\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<h3>Propiedades del Orden en los N\u00fameros Naturales<\/h3>\n<h4>Ley de Tricotom\u00eda<\/h4>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\"><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=jKD71TjMC4s&amp;t=513s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><span style=\"color: #ff0000;\"><strong>A partir de esto se tiene que s\u00f3lo<\/strong><\/span><\/a> pueden ocurrir una y s\u00f3lo una de las siguientes tres situaciones:<\/p>\n<ol style=\"text-align: justify; color: #000000;\">\n<li><bdi><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a\\lt b<\/span><\/bdi><\/li>\n<li><bdi><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a = b<\/span><\/bdi><\/li>\n<li><bdi><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a\\gt b<\/span><\/bdi><\/li>\n<\/ol>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">Si ocurriera que, por ejemplo <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a<\/span> no es menor que <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">b<\/span>, entonces tendria que ocurrir una de las dos: o <bdi><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a=b<\/span><\/bdi>, o bien <bdi><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a\\gt b<\/span><\/bdi>, es decir mayor o igual y se escribir\u00eda: <bdi><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a\\geq b.<\/span><\/bdi> Y de forma an\u00e1loga se escribe <bdi><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a\\leq b.<\/span><\/bdi> cuando se menor o igual.<\/p>\n<h4>Propiedad Transitiva<\/h4>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">Si <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a,b<\/span> y <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">c<\/span> <a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=jKD71TjMC4s&amp;t=625s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><span style=\"color: #ff0000;\"><strong>son naturales cualesquiera, entonces se cumple que:<\/strong><\/span><\/a><\/p>\n<p style=\"text-align: center; color: #000000;\"><bdi><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">[(a\\lt b) \\wedge (b\\lt c)] \\rightarrow (a\\lt c)<\/span><\/bdi><\/p>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">Y an\u00e1logamente:<\/p>\n<p style=\"text-align: center; color: #000000;\"><bdi><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">[(a\\gt b) \\wedge (b\\gt c)] \\rightarrow (a\\gt c)<\/span><\/bdi><\/p>\n<h4>Propiedad de Monoton\u00eda<\/h4>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">Existe una propiedad de monoton\u00eda tanto para la suma como para el producto, esta es:<\/p>\n<table>\n<tbody>\n<tr>\n<td style=\"text-align: center; color: #000000;\"><strong>Monoton\u00eda de la suma<\/strong><br \/>\n<bdi><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(a\\lt b) \\leftrightarrow (a+c \\lt b+c) <\/span><\/bdi><bdi><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(a\\gt b) \\leftrightarrow (a+c \\gt b+c)<\/span><\/bdi><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"text-align: center; color: #000000;\"><strong>Monoton\u00eda del producto<\/strong><br \/>\n<bdi><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(a\\lt b) \\leftrightarrow (a c \\lt b c) <\/span><\/bdi><bdi><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(a\\gt b) \\leftrightarrow (a c \\gt b c)<\/span><\/bdi><\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p><a name=\"3\"><\/a><\/p>\n<h2>Operaciones Inversas: Resta y Divisi\u00f3n de N\u00fameros Naturales<\/h2>\n<h3>Resta de N\u00fameros Naturales<\/h3>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">Si <bdi><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a,b,c\\in\\mathbb{N}<\/span><\/bdi>, <a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=jKD71TjMC4s&amp;t=782s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">decimos que la diferencia entre<\/span><\/strong><\/a> <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a<\/span> y <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">b<\/span> (en ese orden), escrita <bdi><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a-b<\/span><\/bdi>, se define a trav\u00e9s de la relaci\u00f3n<\/p>\n<p style=\"text-align: center; color: #000000;\"><bdi><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a-b=c \\leftrightarrow a= b+c<\/span><\/bdi><\/p>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">Como podemos ver, tal relaci\u00f3n ser\u00e1 verdadera s\u00f3lo si <bdi><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a\\gt b<\/span><\/bdi>, porque no existe un <bdi><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">c\\in \\mathbb{N}<\/span><\/bdi> con el que se pueda satisfacer esta relaci\u00f3n si <bdi><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a\\leq b.<\/span><\/bdi><\/p>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">A trav\u00e9s de la definici\u00f3n de resta tenemos la conocida regla de \u00ablo que est\u00e1 sumando a un lado de la igualdad puede pasar al otro lado restando, y viceversa\u00bb.<\/p>\n<h3>Divisi\u00f3n de N\u00fameros Naturales<\/h3>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">Si <bdi><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a,b,c\\in\\mathbb{N}<\/span><\/bdi>, <a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=jKD71TjMC4s&amp;t=917s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><span style=\"color: #ff0000;\"><strong>decimos que la divisi\u00f3n entre<\/strong><\/span><\/a> <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a<\/span> y <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">b<\/span> (en ese orden), escrita <bdi><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a\/b<\/span><\/bdi>, se define a trav\u00e9s de la relaci\u00f3n<\/p>\n<p style=\"text-align: center; color: #000000;\"><bdi><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a\/b=c \\leftrightarrow a= bc<\/span><\/bdi><\/p>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">De la definici\u00f3n de divisi\u00f3n tenemos la regla de \u00ablo que est\u00e1 multiplicando a un lado de la igualdad puede pasar al otro lado dividiendo, y viceversa\u00bb.<\/p>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">As\u00ed como para que la resta <bdi><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a - b<\/span><\/bdi> exista debe cumplirse que <bdi><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a\\gt b<\/span><\/bdi>, para que exista la divisi\u00f3n <bdi><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a\/b<\/span><\/bdi> es necesario que <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a<\/span> sea \u00abdivisible\u00bb por <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">b.<\/span> Esto lo representamos escribiendo<\/p>\n<p style=\"text-align: center; color: #000000;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a<\/span> es divisible por <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">b<\/span> <bdi><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\; :=a|b \\; := \\; (\\exists k \\in \\mathbb{N})(a = kb)<\/span><\/bdi><\/p>\n<p><a name=\"4\"><\/a><\/p>\n<h2>Potencias de N\u00fameros Naturales<\/h2>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\"><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=jKD71TjMC4s&amp;t=1020s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><span style=\"color: #ff0000;\"><strong>Con los n\u00fameros naturales se pueden definir las potencias.<\/strong> <\/span><\/a>Elevar un natural <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">b,<\/span> que llamamos base, a otro natural <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">n,<\/span> que llamamos exponente, significa multiplicar <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">n<\/span> veces <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">b.<\/span> De modo que<\/p>\n<p style=\"text-align: center; color: #000000;\"><bdi><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">b^n = \\underbrace{bb\\cdots b}_{n\\;veces}<\/span><\/bdi><\/p>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">Si <bdi><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a,b,n,m\\in\\mathbb{N},<\/span><\/bdi> por inducci\u00f3n (doble) se pueden demostrar las siguientes propiedades:<\/p>\n<ol style=\"text-align: justify; color: #000000;\">\n<li><bdi><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle b^nb^m=b^{n+m}<\/span><\/bdi><\/li>\n<li><bdi><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\frac{b^n}{b^m} = b^{n-m},<\/span><\/bdi> siempre que <bdi><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">n\\lt m<\/span><\/bdi><\/li>\n<li><bdi><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle (ab)^n=a^nb^n<\/span><\/bdi><\/li>\n<li><bdi><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\left(\\frac{a}{b}\\right)^n = \\frac{a^n}{b^n}<\/span><\/bdi><\/li>\n<li><bdi><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle (b^n)^m=b^{nm}<\/span><\/bdi><\/li>\n<\/ol>\n<p><a name=\"5\"><\/a><\/p>\n<h2>Problemas Propuestos y Resueltos<\/h2>\n<ol style=\"text-align: justify; color: #000000;\">\n<li>Todas las propiedades que se han mostrado ac\u00e1 se pueden demostrar utilizando inducci\u00f3n matem\u00e1tica (sea simple o doble), pero no las he desarrollado porque la demostraci\u00f3n resultante es inecesariamente larga para estos resultados tan intuitivos. Sin embargo, quien siga estas clases puede intentar realizar esas demostraciones como ejercicio. <strong>[Solo propuesto]<\/strong><\/li>\n<li>\u00bfEs lo mismo <bdi><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">b^{n^m}<\/span><\/bdi> ( que se define como <bdi><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">b^{(n^m)})<\/span><\/bdi> que <bdi><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(b^n)^m<\/span><\/bdi>? <a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=jKD71TjMC4s&amp;t=1298s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">[Soluci\u00f3n]<\/span><\/strong><\/a><\/li>\n<li>Utilizando las propiedades vistas, verifique las igualdades:<br \/>\na) <bdi><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(a+b)(c+d) = ac+ad+bc+bd<\/span><\/bdi><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=jKD71TjMC4s&amp;t=1556s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"> <span style=\"color: #ff0000;\"><strong>[Soluci\u00f3n]<\/strong><\/span><\/a><\/br><br \/>\nb) <bdi><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(a+b)(c-d) = ac-ad+bc-bd,<\/span><\/bdi>; si <bdi><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">c\\gt d<\/span><\/bdi> <a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=jKD71TjMC4s&amp;t=1660s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><span style=\"color: #ff0000;\"><strong>[Soluci\u00f3n]<\/strong><\/span><\/a> <\/br><br \/>\nc)<bdi><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(a-b)(c-d) = ac-ad-bc+bd,<\/span><\/bdi>; si <bdi><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a\\gt b<\/span><\/bdi>, <bdi><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">c\\gt d<\/span><\/bdi> <a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=jKD71TjMC4s&amp;t=1730s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><span style=\"color: #ff0000;\"><strong>[Soluci\u00f3n]<\/strong><\/span><\/a>&nbsp;<\/li>\n<li>Demuestre que <\/br><br \/>\na) <bdi><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2<\/span><\/bdi> <a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=jKD71TjMC4s&amp;t=1903s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><span style=\"color: #ff0000;\"><strong>[Soluci\u00f3n]<\/strong><\/span><\/a> <\/br><br \/>\nb) <bdi><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2<\/span><\/bdi>; si <bdi><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">c\\gt d<\/span><\/bdi> <a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=jKD71TjMC4s&amp;t=1953s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><span style=\"color: #ff0000;\"><strong>[Soluci\u00f3n]<\/strong><\/span><\/a> <\/br><br \/>\nc) <bdi><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(a+b)(a-b) = a^2-b^2<\/span>; si <bdi><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">c\\gt d<\/span><\/bdi> <a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=jKD71TjMC4s&amp;t=1978s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><span style=\"color: #ff0000;\"><strong>[Soluci\u00f3n]<\/strong><\/span><\/a> <\/br><br \/>\nd) <bdi><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b+3ab^2+b^3<\/span><\/bdi> <a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=jKD71TjMC4s&amp;t=2008s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><span style=\"color: #ff0000;\"><strong>[Soluci\u00f3n]<\/strong><\/span><\/a><\/br><br \/>\ne) <bdi><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b+3ab^2-b^3<\/span><\/bdi>; si <bdi><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">c\\gt d<\/span><\/bdi><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=jKD71TjMC4s&amp;t=2124s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><span style=\"color: #ff0000;\"> <strong>[Soluci\u00f3n]<\/strong><\/span><\/a><\/p>\n<p>&nbsp;<\/li>\n<li>Pruebe por inducci\u00f3n completa las siguientes propiedades:<\/br><br \/>\na) <bdi><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">1+2+3+4+\\cdots+n = \\displaystyle \\frac{n(n+1)}{2}<\/span><\/bdi> <a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=jKD71TjMC4s&amp;t=2328s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><span style=\"color: #ff0000;\"><strong>[Soluci\u00f3n]<\/strong><\/span><\/a> <\/br><br \/>\nb) <bdi><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">1^2+2^2+3^2+4^2+\\cdots+n^2 = \\displaystyle \\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}<\/span><\/bdi> <a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=jKD71TjMC4s&amp;t=2505s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><span style=\"color: #ff0000;\"><strong>[Soluci\u00f3n]<\/strong><\/span><\/a><\/br><br \/>\nc) <bdi><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">1^3+2^3+3^3+4^3+\\cdots+n^3 = \\displaystyle \\frac{n^2(n+1)^2}{4}<\/span><\/bdi> <a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=jKD71TjMC4s&amp;t=2972s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><span style=\"color: #ff0000;\"><strong>[Soluci\u00f3n]<\/strong><\/span><\/a>\n<\/li>\n<\/ol>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Operaciones con N\u00fameros Naturales y Relaciones de Orden Resumen: En esta clase, profundizaremos en los n\u00fameros naturales y sus operaciones b\u00e1sicas, empezando por el origen y propiedades de la suma, producto y potenciaci\u00f3n, en relaci\u00f3n con los Axiomas de Peano. 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