{"id":25481,"date":"2021-04-24T00:00:08","date_gmt":"2021-04-24T00:00:08","guid":{"rendered":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/?p=25481"},"modified":"2024-06-05T04:22:30","modified_gmt":"2024-06-05T04:22:30","slug":"a-medida-de-probabilidade-e-suas-propriedades-chave","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/toposuranos.com\/material\/pt\/a-medida-de-probabilidade-e-suas-propriedades-chave\/","title":{"rendered":"A medida de probabilidade e suas propriedades-chave"},"content":{"rendered":"<div style=\"background-color:#F3F3F3; padding:20px;\">\n<center><\/p>\n<h1>Propriedades chave da medida de probabilidade<\/h1>\n<p><\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><strong>Resumo<\/strong><br \/><em>Nesta aula s\u00e3o apresentadas as defini\u00e7\u00f5es b\u00e1sicas da teoria da probabilidade, incluindo a medida de probabilidade e a sigma-\u00e1lgebra. Al\u00e9m disso, explora-se a no\u00e7\u00e3o de probabilidade como limite de frequ\u00eancias relativas, utilizando o exemplo do lan\u00e7amento de um dado de 6 faces. Atrav\u00e9s da fun\u00e7\u00e3o de frequ\u00eancia relativa, demonstra-se como obter uma medida de probabilidade atrav\u00e9s do limite, o que \u00e9 conhecido como a \u00abprobabilidade como limite das frequ\u00eancias relativas\u00bb. Apresentam-se propriedades chave da medida de probabilidade e mostra-se como se pode calcular a probabilidade de eventos atrav\u00e9s de casos favor\u00e1veis sobre casos totais. Este conhecimento \u00e9 fundamental para compreender a teoria da probabilidade e aplic\u00e1-la na tomada de decis\u00f5es em diferentes contextos.<\/em><\/p>\n<p><\/center><br \/>\n<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><strong>OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM:<\/strong><br \/>\nAo completar esta aula o estudante ser\u00e1 capaz de:\n<\/p>\n<ol>\n<li><strong>Conhecer<\/strong> a defini\u00e7\u00e3o de medida de probabilidade e suas propriedades fundamentais.<\/li>\n<li><strong>Compreender<\/strong> a no\u00e7\u00e3o de probabilidade como limite de frequ\u00eancias relativas.<\/li>\n<li><strong>Calcular<\/strong> a probabilidade de eventos atrav\u00e9s da \u00abprobabilidade como casos favor\u00e1veis sobre casos totais\u00bb.<\/li>\n<\/ol>\n<p style=\"text-align:center;\"><strong>\u00cdNDICE DE CONTE\u00daDOS<\/strong><br \/>\n<a href=\"#1\">DEFINI\u00c7\u00d5ES B\u00c1SICAS<\/a><br \/>\n<a href=\"#2\">PROBABILIDADE COMO LIMITE DE FREQU\u00caNCIAS RELATIVAS<\/a><\/p>\n<p><center><iframe class=\"lazyload\" width=\"560\" height=\"315\" data-src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/hJJpgf1jRvM\" title=\"YouTube video player\" frameborder=\"0\" allow=\"accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture\" allowfullscreen=\"allowfullscreen\"><\/iframe><\/center>\n<\/div>\n<p><a name=\"1\"><\/a><\/p>\n<h2>Defini\u00e7\u00f5es b\u00e1sicas<\/h2>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\"><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=hJJpgf1jRvM&amp;t=117s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">A parte que condensa a ess\u00eancia de um espa\u00e7o de probabilidades<\/span><\/strong><\/a> \u00e9 justamente a ideia de medida de probabilidade. Esta \u00e9 a fun\u00e7\u00e3o que quantifica, finalmente, a possibilidade de que certo evento ocorra.<\/p>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\"><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=hJJpgf1jRvM&amp;t=157s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">Uma medida de probabilidade<\/span><\/strong><\/a> <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">P<\/span> \u00e9 uma fun\u00e7\u00e3o tal que, dada uma <strong><a href=\"http:\/\/toposuranos.com\/material\/es\/que-es-una-sigma-algebra-definicion-y-ejemplos\/\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\">sigma-\u00e1lgebra<\/a><\/strong> <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\Sigma=(\\Omega,\\mathcal{A})<\/span>, atribui uma probabilidade a cada evento <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">E\\in\\mathcal{A}<\/span>. Esta medida de probabilidade satisfaz as seguintes propriedades:<\/p>\n<ol style=\"text-align: justify; color: #000000;\">\n<li><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(E\\in \\mathcal{A}) \\rightarrow (0 \\leq P(E) \\leq 1)<\/span><\/li>\n<li><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">P(\\Omega) = 1<\/span><\/li>\n<li><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\left[E_1, E_2 \\in \\mathcal{A}\\right] \\rightarrow \\left[ (E_1 \\cap E_2 = \\emptyset) \\rightarrow \\left(P\\left(E_1 \\cup E_2 \\right) = P(E_1) + P(E_2) \\right) \\right]<\/span><\/li>\n<li><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\left[E_1 \\subseteq E_2 \\subseteq \\cdots \\subseteq E_n \\in \\mathcal{A}\\right] \\rightarrow \\left[P \\left(\\bigcup_{n=1}^\\infty E_n \\right) = \\lim_{n\\to\\infty}P(E_n)\\right]<\/span> <span style=\"color: #800000;\">(continuidade)<\/span><\/li>\n<\/ol>\n<p><center><img decoding=\"async\" src=\"data:image\/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP\/\/\/yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7\" data-src=\"http:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-content\/uploads\/2023\/12\/apuestas.jpg\" alt=\"medida de probabilidade, limite das frequ\u00eancias relativas\" width=\"1280\" height=\"720\" class=\"aligncenter size-full wp-image-25465 lazyload\" \/><noscript><img decoding=\"async\" src=\"http:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-content\/uploads\/2023\/12\/apuestas.jpg\" alt=\"medida de probabilidade, limite das frequ\u00eancias relativas\" width=\"1280\" height=\"720\" class=\"aligncenter size-full wp-image-25465 lazyload\" srcset=\"https:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-content\/uploads\/2023\/12\/apuestas.jpg 1280w, https:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-content\/uploads\/2023\/12\/apuestas-300x169.jpg 300w, https:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-content\/uploads\/2023\/12\/apuestas-1024x576.jpg 1024w, https:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-content\/uploads\/2023\/12\/apuestas-768x432.jpg 768w\" sizes=\"(max-width: 1280px) 100vw, 1280px\" \/><\/noscript><\/center><br \/>\n<a name=\"2\"><\/a><\/p>\n<h2>Probabilidade como Limite de Frequ\u00eancias Relativas<\/h2>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\"><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=hJJpgf1jRvM&amp;t=510s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">Esta no\u00e7\u00e3o de probabilidade pode ser compreendida<\/span><\/strong><\/a> atrav\u00e9s da ideia intuitiva de probabilidade como \u00ablimite de frequ\u00eancias relativas\u00bb. Por exemplo, no experimento em que se lan\u00e7a <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">N<\/span> vezes um dado de 6 faces. O <strong><a href=\"http:\/\/toposuranos.com\/material\/es\/conoce-el-espacio-muestral-de-la-teoria-de-las-probabilidades\/\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\">espa\u00e7o amostral<\/a><\/strong> de cada lan\u00e7amento \u00e9 <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\Omega_{1d6} = \\{1,2,3,4,5,6\\}<\/span>. Se <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">A<\/span> \u00e9 um evento qualquer de <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\Omega_{1d6}<\/span>, ent\u00e3o podemos medir a frequ\u00eancia <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f_N(A)<\/span> com que ocorre o evento <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">A<\/span> ao realizar <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">N<\/span> lan\u00e7amentos. Ao fazer isso, verificaremos que:<\/p>\n<p style=\"text-align: center; color: #000000;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">0 \\leq f_N(A) \\leq f_N(\\Omega_{1d6}) = N<\/span>,<\/p>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">e se considerarmos um segundo evento qualquer <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">B<\/span> de <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\Omega_{1d6}<\/span>, ent\u00e3o ocorrer\u00e1 que:<\/p>\n<p style=\"text-align: center; color: #000000;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(A \\cap B = \\emptyset ) \\rightarrow (f_N(A \\cup B) = f_N(A) + f_N(B) )<\/span>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">A partir disto podemos definir uma nova \u00abfun\u00e7\u00e3o\u00bb <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">g_N<\/span>, que <strong>chamamos frequ\u00eancia relativa,<\/strong> atrav\u00e9s da express\u00e3o<\/p>\n<p style=\"text-align: center; color: #000000;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">g_N(A) = \\displaystyle \\frac{f_N(A)}{N}<\/span>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">Notaremos que a fun\u00e7\u00e3o <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">g_N<\/span> cumpre com as primeiras tr\u00eas propriedades, apenas a quarta (de continuidade) n\u00e3o pode ser obtida desta maneira, mas \u00e9 introduzida por raz\u00f5es mais \u00abt\u00e9cnicas\u00bb, j\u00e1 que alguns resultados n\u00e3o podem ser obtidos sem esta propriedade.<\/p>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">Mesmo com isso, <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">g_N<\/span> ainda n\u00e3o \u00e9 uma medida de probabilidade, porque ainda n\u00e3o \u00e9 uma fun\u00e7\u00e3o. Isso \u00e9 devido ao fato de que, independentemente do valor de <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">N<\/span>, <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">g_N<\/span> n\u00e3o est\u00e1 necessariamente entregando um \u00fanico valor, como faria uma fun\u00e7\u00e3o. Para resolver isso, adicionamos um passo ao limite para finalmente ter uma medida de probabilidade, obtendo:<\/p>\n<p style=\"text-align: center; color: #000000;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle P(A) = \\lim_{N\\to\\infty} g_N(A)<\/span>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">Isto \u00e9 o que se conhece como Probabilidade como Limite das frequ\u00eancias relativas.<\/p>\n<h3>Exemplo: o lan\u00e7amento de um dado<\/h3>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\"><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=hJJpgf1jRvM&amp;t=932s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">Continuando a an\u00e1lise do lan\u00e7amento de um dado de 6 faces,<\/span> <\/strong><\/a>teremos que:<\/p>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle\\left(\\forall x\\in\\{1,2,3,4,5,6\\}\\right) \\left( g_N(\\{x\\}) = \\frac{f_N(\\{x\\})}{N}\\right)<\/span>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">e se o experimento se repete um grande n\u00famero de vezes, poder\u00e1 verificar que<\/p>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\left(\\forall x\\in\\{1,2,3,4,5,6\\} \\right) \\left( \\lim_{N \\to \\infty} g_N(\\{x\\}) = \\displaystyle \\frac{1}{6} \\right)<\/span>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\lim_{N \\to \\infty} g_N(\\Omega_{1d6}) = 1<\/span>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">Por isso, se definimos <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">P(\\{x\\}) = \\lim_{N\\to\\infty} g_N(\\{x\\})<\/span>, ent\u00e3o ocorrer\u00e1 que:<\/p>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle P(x=\\{1,3,5\\}) = P(\\{1\\}\\cup\\{3\\}\\cup\\{5\\}) = P(\\{1\\})+P(\\{3\\})+P(\\{5\\}) = \\frac{1}{6}+\\frac{1}{6}+\\frac{1}{6}= \\frac{1}{2} <\/span>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">A partir deste exemplo tamb\u00e9m \u00e9 simples intuir que, dado um evento <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">E<\/span> de um espa\u00e7o amostral <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\Omega<\/span>\n<p style=\"text-align: center; color: #000000;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle P(E) = \\frac{\\# E}{\\# \\Omega}<\/span>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">Isto \u00e9 o que se conhece como a \u00abprobabilidade como casos favor\u00e1veis sobre casos totais\u00bb e \u00e9 fundamental para compreender uma grande quantidade de racioc\u00ednios sobre o espa\u00e7o de probabilidades e a medida de probabilidade.<\/p>\n<p><center><iframe class=\"lazyload\" width=\"560\" height=\"315\" data-src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/OAzCnbW3pSw?si=pNyBUqlZEuhRJO4i\" title=\"YouTube video player\" frameborder=\"0\" allow=\"accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share\" allowfullscreen><\/iframe><\/center><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Propriedades chave da medida de probabilidade ResumoNesta aula s\u00e3o apresentadas as defini\u00e7\u00f5es b\u00e1sicas da teoria da probabilidade, incluindo a medida de probabilidade e a sigma-\u00e1lgebra. 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