{"id":25460,"date":"2021-03-24T00:00:07","date_gmt":"2021-03-24T00:00:07","guid":{"rendered":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/?p=25460"},"modified":"2024-06-05T04:22:06","modified_gmt":"2024-06-05T04:22:06","slug":"la-medida-de-probabilidad-y-sus-propiedades-clave","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/toposuranos.com\/material\/es\/la-medida-de-probabilidad-y-sus-propiedades-clave\/","title":{"rendered":"La medida de probabilidad y sus propiedades clave"},"content":{"rendered":"<div style=\"background-color:#F3F3F3; padding:20px;\">\n<center><\/p>\n<h1>Propiedades clave de la medida de probabilidad<\/h1>\n<p><\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><strong>Resumen<\/strong><br \/><em>En esta clase se presentan las definiciones b\u00e1sicas de la teor\u00eda de la probabilidad, incluyendo la medida de probabilidad y la sigma-\u00e1lgebra. Adem\u00e1s, se explora la noci\u00f3n de probabilidad como l\u00edmite de frecuencias relativas, utilizando el ejemplo del lanzamiento de un dado de 6 caras. A trav\u00e9s de la funci\u00f3n de frecuencia relativa, se demuestra c\u00f3mo obtener una medida de probabilidad a trav\u00e9s del l\u00edmite, lo que se conoce como la \u00abprobabilidad como l\u00edmite de las frecuencias relativas\u00bb. Se presentan propiedades clave de la medida de probabilidad y se muestra c\u00f3mo se puede calcular la probabilidad de eventos a trav\u00e9s de casos favorables sobre casos totales. Este conocimiento es fundamental para comprender la teor\u00eda de la probabilidad y aplicarla en la toma de decisiones en diferentes contextos.<\/em><\/p>\n<p><\/center><br \/>\n<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><strong>OBJETIVOS DE APRENDIZAJE:<\/strong><br \/>\nAl completar esta clase el estudiante ser\u00e1 capaz de:\n<\/p>\n<ol>\n<li><strong>Conocer<\/strong> la definici\u00f3n de medida de probabilidad y sus propiedades fundamentales.<\/li>\n<li><strong>Comprender<\/strong> la noci\u00f3n de probabilidad como l\u00edmite de frecuencias relativas.<\/li>\n<li><strong>Calcular<\/strong> la probabilidad de eventos a trav\u00e9s de la \u00abprobabilidad como casos favorables sobre casos totales\u00bb.<\/li>\n<\/ol>\n<p style=\"text-align:center;\"><strong>INDICE DE CONTENIDOS<\/strong><br \/>\n<a href=\"#1\">DEFINICIONES B\u00c1SICAS<\/a><br \/>\n<a href=\"#2\">PROBABILIDAD COMO L\u00cdMITE DE FRECUENCIAS RELATIVAS<\/a><\/p>\n<p><center><iframe class=\"lazyload\" width=\"560\" height=\"315\" data-src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/hJJpgf1jRvM\" title=\"YouTube video player\" frameborder=\"0\" allow=\"accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture\" allowfullscreen=\"allowfullscreen\"><\/iframe><\/center>\n<\/div>\n<p><a name=\"1\"><\/a><\/p>\n<h2>Definiciones b\u00e1sicas<\/h2>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\"><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=hJJpgf1jRvM&amp;t=117s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">La parte que condensa la esencia de un espacio de probabilidades<\/span><\/strong><\/a> es justo la idea de medida de probabilidad. Esto es la fuci\u00f3n que cuantifica, finalmente, la posibilidad de que cierto evento ocurra.<\/p>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\"><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=hJJpgf1jRvM&amp;t=157s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">Una medida de probabilidad<\/span><\/strong><\/a> <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">P<\/span> es una funci\u00f3n tal que. dada una <strong><a href=\"http:\/\/toposuranos.com\/material\/es\/que-es-una-sigma-algebra-definicion-y-ejemplos\/\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\">sigma-\u00e1lgebra<\/a><\/strong> <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\Sigma=(\\Omega,\\mathcal{A})<\/span>, asigna una probabilidad a cada evento <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">E\\in\\mathcal{A}<\/span>. Esta medida de probabilidad satisface las siguientes porpiedades:<\/p>\n<ol style=\"text-align: justify; color: #000000;\">\n<li><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(E\\in \\mathcal{A}) \\rightarrow (0 \\leq P(E) \\leq 1)<\/span><\/li>\n<li><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">P(\\Omega) = 1<\/span><\/li>\n<li><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\left[E_1,_2 \\in \\mathcal{A}\\right] \\rightarrow \\left[ (E_1 \\cap E_2 = \\emptyset) \\rightarrow \\left(P\\left(E_1 \\cup E_2 \\right) = P(E_1) + P(E_2) \\right) \\right]<\/span><\/li>\n<li><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\left[E_1 \\subseteq E_2 \\subseteq \\cdots \\subseteq E_n \\in \\mathcal{A}\\right] \\rightarrow \\left[P \\left(\\bigcup_{n=1}^\\infty E_n \\right) = \\lim_{n\\to\\infty}P(E_n)\\right]<\/span> <span style=\"color: #800000;\">(continuidad)<\/span><\/li>\n<\/ol>\n<p><center><img decoding=\"async\" src=\"data:image\/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP\/\/\/yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7\" data-src=\"http:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-content\/uploads\/2023\/12\/apuestas.jpg\" alt=\"medida de probabilidad, limite de las frecuencias relativas\" width=\"1280\" height=\"720\" class=\"aligncenter size-full wp-image-25465 lazyload\" \/><noscript><img decoding=\"async\" src=\"http:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-content\/uploads\/2023\/12\/apuestas.jpg\" alt=\"medida de probabilidad, limite de las frecuencias relativas\" width=\"1280\" height=\"720\" class=\"aligncenter size-full wp-image-25465 lazyload\" srcset=\"https:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-content\/uploads\/2023\/12\/apuestas.jpg 1280w, https:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-content\/uploads\/2023\/12\/apuestas-300x169.jpg 300w, https:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-content\/uploads\/2023\/12\/apuestas-1024x576.jpg 1024w, https:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-content\/uploads\/2023\/12\/apuestas-768x432.jpg 768w\" sizes=\"(max-width: 1280px) 100vw, 1280px\" \/><\/noscript><\/center><br \/>\n<a name=\"2\"><\/a><\/p>\n<h2>Probabilidad como L\u00edmite de Frecuencias Relativas<\/h2>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\"><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=hJJpgf1jRvM&amp;t=510s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">Esta noci\u00f3n de probabilidad se puede comprender<\/span><\/strong><\/a> a trav\u00e9s de la idea intuitiva de probabilidad como \u00abl\u00edmite de las frecuencias relativas\u00bb. Tomemos, por ejemplo,el experimento en que se lanza <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">N<\/span> veces un dado de 6 caras. El <strong><a href=\"http:\/\/toposuranos.com\/material\/es\/conoce-el-espacio-muestral-de-la-teoria-de-las-probabilidades\/\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\">espacio muestral<\/a><\/strong> de cada lanzamiento es <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\Omega_{1d6} = \\{1,2,3,4,5,6\\}<\/span>. Si <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">A<\/span> es un evento cualquiera de <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\Omega_{1d6}<\/span>, entonces podemos medir la frecuencia <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f_N(A)<\/span> con que ocurre el evento <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">A<\/span> al realizarse <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">N<\/span> lanzamientos. Haciendo esto verificaremos que:<\/p>\n<p style=\"text-align: center; color: #000000;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">0 \\leq f_N(A) \\leq f_N(\\Omega_{1d6}) = N<\/span>,<\/p>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">y si consideramos un segundo evento cualquiera <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">B<\/span> de <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\Omega_{1d6}<\/span>, entonces ocurrir\u00e1 que:<\/p>\n<p style=\"text-align: center; color: #000000;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(A\\cap B = \\emptyset ) \\rightarrow (f_N(A\\cup B) = f_N(A)+f_N(B) )<\/span>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">A partir de \u00e9sto podemos definir una nueva \u00abfunci\u00f3n\u00bb <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">g_N<\/span>, que <strong>llamamos frecuecia relativa,<\/strong> a trav\u00e9s de la expresi\u00f3n<\/p>\n<p style=\"text-align: center; color: #000000;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">g_N(A) = \\displaystyle \\frac{f_N(A)}{N}<\/span>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">Notaremos que la funci\u00f3n <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">g_N<\/span> cumple con las primeras tres propiedades, s\u00f3lo la cuarta (de continuidad) no se puede obtener de \u00e9ste modo, pero es introducida por razones mas bien \u00abt\u00e9cnicas\u00bb ya que algunos resultados no pueden ser obtenidos sin esta propiedad.<\/p>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">A\u00fan con esto, <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">g_N<\/span> todav\u00eda no es una medida de probabilidad, porque a\u00fan no es una funci\u00f3n. Esto es debido a que, sin importar el valor de <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">N<\/span>, <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">g_N<\/span> no est\u00e1 entregando por necesidad un \u00fanico valor, como har\u00eda una funcion. Para solucionar esto agregamos un paso al l\u00edmite para tener finalmente una medida de probabilidad, obteniendo:<\/p>\n<p style=\"text-align: center; color: #000000;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle P(A) = \\lim_{N\\to\\infty} g_N(A)<\/span>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">Esto es lo que se conoce como Probabilidad como L\u00edmite de las frecuencias relativas.<\/p>\n<h3>Ejemplo: el lanzamiento de un dado<\/h3>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\"><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=hJJpgf1jRvM&amp;t=932s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">Continuando el an\u00e1lisis del lanzamiento de un dado de 6 caras,<\/span> <\/strong><\/a>se tendr\u00e1 que:<\/p>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle\\left(\\forall x\\in\\{1,2,3,4,5,6\\}\\right) \\left( g_N(\\{x\\}) = \\frac{f_N(\\{x\\})}{N}\\right)<\/span>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">y si el experimento se repite una cantidad grande de veces, se podr\u00e1 verificar que<\/p>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\left(\\forall x\\in\\{1,2,3,4,5,6\\} \\right) \\left( \\lim_{N \\to \\infty} g_N(\\{x\\}) = \\displaystyle \\frac{1}{6} \\right)<\/span>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\lim_{N \\to \\infty} g_N(\\Omega_{1d6}) = 1<\/span>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">Por lo que si definimos <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">P(\\{x\\}) = \\lim_{N\\to\\infty} g_N(\\{x\\})<\/span>, entonces ocurrir\u00e1 que:<\/p>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle P(x=\\{1,3,5\\}) = P(\\{1\\}\\cup\\{3\\}\\cup\\{5\\}) = P(\\{1\\})+P(\\{3\\})+P(\\{5\\}) = \\frac{1}{6}+\\frac{1}{6}+\\frac{1}{6}= \\frac{1}{2} <\/span>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">A partir de este ejemplo tambi\u00e9n es sencillo intuir que, dado un evento <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">E<\/span> de un espacio muestral <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\Omega<\/span>\n<p style=\"text-align: center; color: #000000;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle P(E) = \\frac{\\# E}{\\# \\Omega}<\/span>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">Esto es lo que se conoce como la \u00abprobabilidad como casos faborables sobre casos totales\u00bb y es fundamental para comprender gran cantidad de razonamientos sobre el espacio de probabilidades y la medida de probabilidad.<\/p>\n<p><center><iframe class=\"lazyload\" width=\"560\" height=\"315\" data-src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/OAzCnbW3pSw?si=pNyBUqlZEuhRJO4i\" title=\"YouTube video player\" frameborder=\"0\" allow=\"accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share\" allowfullscreen><\/iframe><\/center><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Propiedades clave de la medida de probabilidad ResumenEn esta clase se presentan las definiciones b\u00e1sicas de la teor\u00eda de la probabilidad, incluyendo la medida de probabilidad y la sigma-\u00e1lgebra. 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Licenciado en F\u00edsica, Magister en Ingenier\u00eda Industrial y Docente Universitario. Me dedico a desmitificar la f\u00edsica y las matem\u00e1ticas. Mi objetivo es hacer que estos campos sean f\u00e1cilmente comprensibles para todos, proporcionando las herramientas para explorar no solo el mundo que nos rodea, sino tambi\u00e9n las profundidades de nuestra propia existencia y el orden natural que nos conecta con el cosmos.\",\"sameAs\":[\"http:\\\/\\\/toposuranos.com\\\/material\"],\"url\":\"https:\\\/\\\/toposuranos.com\\\/material\\\/author\\\/giorgio-reveco\\\/\"}]}<\/script>\n<!-- \/ Yoast SEO plugin. -->","yoast_head_json":{"title":"La medida de probabilidad y sus propiedades clave - toposuranos.com\/material","description":"Aprende sobre la medida de probabilidad y el an\u00e1lisis de probabilidad como l\u00edmite de frecuencias relativas con ejemplos pr\u00e1cticos","robots":{"index":"index","follow":"follow","max-snippet":"max-snippet:-1","max-image-preview":"max-image-preview:large","max-video-preview":"max-video-preview:-1"},"canonical":"https:\/\/toposuranos.com\/material\/es\/la-medida-de-probabilidad-y-sus-propiedades-clave\/","og_locale":"es_ES","og_type":"article","og_title":"Propiedades clave de la medida de probabilidad","og_description":"Aprende sobre la medida de probabilidad y el an\u00e1lisis de probabilidad como l\u00edmite de frecuencias relativas con ejemplos pr\u00e1cticos","og_url":"https:\/\/toposuranos.com\/material\/es\/la-medida-de-probabilidad-y-sus-propiedades-clave\/","og_site_name":"toposuranos.com\/material","article_publisher":"https:\/\/www.facebook.com\/groups\/toposuranos","article_published_time":"2021-03-24T00:00:07+00:00","article_modified_time":"2024-06-05T04:22:06+00:00","og_image":[{"width":1280,"height":720,"url":"https:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-content\/uploads\/2023\/03\/MEDIDADEPROBABILIDAD-1.jpg","type":"image\/jpeg"}],"author":"giorgio.reveco","twitter_card":"summary_large_image","twitter_title":"Propiedades clave de la medida de probabilidad","twitter_description":"Aprende sobre la medida de probabilidad y el an\u00e1lisis de probabilidad como l\u00edmite de frecuencias relativas con ejemplos pr\u00e1cticos","twitter_image":"https:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-content\/uploads\/2023\/03\/MEDIDADEPROBABILIDAD-1.jpg","twitter_creator":"@topuranos","twitter_site":"@topuranos","twitter_misc":{"Escrito por":"giorgio.reveco","Tiempo de lectura":"4 minutos"},"schema":{"@context":"https:\/\/schema.org","@graph":[{"@type":"Article","@id":"https:\/\/toposuranos.com\/material\/es\/la-medida-de-probabilidad-y-sus-propiedades-clave\/#article","isPartOf":{"@id":"https:\/\/toposuranos.com\/material\/es\/la-medida-de-probabilidad-y-sus-propiedades-clave\/"},"author":{"name":"giorgio.reveco","@id":"https:\/\/toposuranos.com\/material\/#\/schema\/person\/e15164361c3f9a2a02cf6c234cf7fdc1"},"headline":"La medida de probabilidad y sus propiedades clave","datePublished":"2021-03-24T00:00:07+00:00","dateModified":"2024-06-05T04:22:06+00:00","mainEntityOfPage":{"@id":"https:\/\/toposuranos.com\/material\/es\/la-medida-de-probabilidad-y-sus-propiedades-clave\/"},"wordCount":894,"commentCount":0,"publisher":{"@id":"https:\/\/toposuranos.com\/material\/#organization"},"image":{"@id":"https:\/\/toposuranos.com\/material\/es\/la-medida-de-probabilidad-y-sus-propiedades-clave\/#primaryimage"},"thumbnailUrl":"https:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-content\/uploads\/2023\/03\/MEDIDADEPROBABILIDAD-1.jpg","articleSection":["Matem\u00e1tica","Probabilidades y Estad\u00edstica"],"inLanguage":"es","potentialAction":[{"@type":"CommentAction","name":"Comment","target":["https:\/\/toposuranos.com\/material\/es\/la-medida-de-probabilidad-y-sus-propiedades-clave\/#respond"]}]},{"@type":"WebPage","@id":"https:\/\/toposuranos.com\/material\/es\/la-medida-de-probabilidad-y-sus-propiedades-clave\/","url":"https:\/\/toposuranos.com\/material\/es\/la-medida-de-probabilidad-y-sus-propiedades-clave\/","name":"La medida de probabilidad y sus propiedades clave - 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