Nombres Naturels et les Axiomes de Peano<\/title><\/head><body><\/p>\n<div style=\"padding:20px;\">\n<center> <\/p>\n<h1>Les Nombres Naturels et les Axiomes de Peano<\/h1>\nR\u00c9SUM\u00c9<\/b> \n Cette classe traite des nombres naturels et comment ils sont d\u00e9finis par les axiomes de Peano : une s\u00e9rie de principes math\u00e9matiques qui \u00e9tablissent leurs propri\u00e9t\u00e9s fondamentales. Elle explique \u00e9galement comment les symboles sont utilis\u00e9s pour repr\u00e9senter les successeurs des nombres naturels, comment ils sont repr\u00e9sent\u00e9s symboliquement et l’utilisation du principe d’induction math\u00e9matique pour effectuer des preuves inductives.<\/em><\/p>\n OBJECTIFS D’APPRENTISSAGE<\/b><\/p>\n<\/center><\/p>\n<ol>\n<li>Comprendre<\/strong> les axiomes de Peano pour la formulation des nombres naturels.<\/li>\n<li>Comprendre<\/strong> la formulation de la repr\u00e9sentation symbolique des nombres naturels. <\/li>\n<\/ol>\n<center><\/p>\nSOMMAIRE<\/strong><\/p>\n<a href=\"#1\">Les axiomes de Peano pour les nombres naturels<\/strong><\/a> \n <a href=\"#2\">Le principe d’induction en math\u00e9matiques<\/strong><\/a> \n <a href=\"#3\">Commentaire sur les d\u00e9monstrations<\/a><\/p>\n<\/center><\/p>\n<center><iframe class=\"lazyload\" width=\"560\" height=\"315\" data-src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/w-BznjX88No\" frameborder=\"0\" allow=\"accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture\" allowfullscreen=\"allowfullscreen\"><\/iframe><\/center><\/div>\n<a name=\"1\"><\/a><\/p>\n<h2>Les Axiomes de Peano pour les Nombres Naturels<\/h2>\nLes Nombres Naturels<\/em>, \u00e9galement connus sous le nom de nombres entiers positifs<\/em>, sont ceux que nous utilisons pour compter et mesurer. Ils apparaissent de la mani\u00e8re la plus naturelle dans l’op\u00e9ration de comptage, qui est la plus simple des arithm\u00e9tiques. Ces nombres sont d\u00e9finis par les axiomes de Peano<\/em><\/strong>, une s\u00e9rie de principes math\u00e9matiques qui \u00e9tablissent comment ces nombres fonctionnent.<\/p>\n<ol style=\"text-align: justify; \">\n<li>\u00ab1<\/span>\u00bb est un nombre naturel<\/li>\n<li>Si n<\/span> est un naturel, alors son successeur S(n)<\/span> l’est \u00e9galement.<\/li>\n<li>\u00ab1<\/span>\u00bb n’est le successeur d’aucun naturel.<\/li>\n<li>Si S(n) = S(m)<\/span>, alors n=m<\/span>.<\/li>\n<li>Si 1<\/span> appartient \u00e0 un ensemble A<\/span>; et si pour un k<\/span> quelconque dans A<\/span>, S(k)<\/span> est aussi dans A<\/span>, alors A<\/span> est l’ensemble des naturels et est not\u00e9 par \\mathbb{N}<\/span>.<\/li>\n<\/ol>\nEn \u00e9tudiant les axiomes de Peano, nous r\u00e9alisons que le symbole \u00ab1<\/span>\u00bb est en r\u00e9alit\u00e9 seulement une repr\u00e9sentation utilis\u00e9e pour d\u00e9signer un nombre naturel sp\u00e9cifique. Ce nombre est celui qui respecte ces propri\u00e9t\u00e9s. Tout comme 1<\/span> repr\u00e9sente le \u00abpremier naturel\u00bb, nous utilisons \u00e9galement des symboles (qui nous sont familiers) pour repr\u00e9senter ses successeurs. <\/p>\n<ul style=\"text-align: justify; \">\n<li>2=S(1)<\/span><\/li>\n<li>3=S(2)<\/span><\/li>\n<li>4=S(3) \\\\ \\vdots<\/span><\/li>\n<\/ul>\net ainsi de suite. Ainsi, les symboles 1<\/span>, 2<\/span>, 3<\/span>, etc… sont des entit\u00e9s abstraites qui repr\u00e9sentent les diff\u00e9rents successeurs de 1<\/span>. La collection de tous ces objets sont les nombres naturels et nous les repr\u00e9sentons par :<\/p>\n\\mathbb{N}=\\{1,2,3,4,\\cdots \\}<\/span>\nOn dit aussi que les nombres naturels sont dispos\u00e9s dans une s\u00e9quence, la s\u00e9quence des nombres naturels :<\/p>\n1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12, \\cdots <\/span>\n<a name=\"2\"><\/a><\/p>\n<h2>Le Principe d’Induction pour les Nombres Naturels<\/h2>\nUn aspect important des nombres naturels est qu’il y a toujours un nombre apr\u00e8s chaque nombre, ce qui signifie qu’il existe une infinit\u00e9 de naturels. Nous pouvons le d\u00e9duire du cinqui\u00e8me axiome, ou principe d’induction<\/strong>, qui s’exprime comme suit :<\/p>\nSi une propri\u00e9t\u00e9 est v\u00e9rifi\u00e9e pour 1<\/span>; et si, en supposant qu’elle est v\u00e9rifi\u00e9e pour un certain nombre naturel k<\/span>, elle est \u00e9galement v\u00e9rifi\u00e9e pour le suivant S(k)<\/span>; alors cette propri\u00e9t\u00e9 est v\u00e9rifi\u00e9e pour tous les nombres naturels.<\/em><\/p>\nLe principe d’induction offre non seulement une base fondamentale pour les nombres naturels, mais est \u00e9galement un outil utile pour d\u00e9montrer si une propri\u00e9t\u00e9 est vraie pour les nombres naturels. Pour examiner cela, regardons un exemple simple :<\/p>\n<table>\n<tbody>\n<tr>\n<td style=\"text-align: justify; \">\nEXEMPLE :<\/strong>Gr\u00e2ce au principe d’induction, on peut d\u00e9montrer que chaque nombre naturel est diff\u00e9rent de son successeur.<\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"text-align: justify;\">\nBien que cela semble \u00e9vident, cela aide \u00e0 comprendre comment proc\u00e9der lorsqu’on d\u00e9montre par induction.<\/p>\nD\u00e9monstration :<\/strong><\/p>\n<ul>\n<li>\nIl est clair que 1<\/span> est diff\u00e9rent de S(1)=2<\/span>. Ceci est la \u00e9tape initiale,<\/strong> o\u00f9 nous v\u00e9rifions que la propri\u00e9t\u00e9 est vraie pour le premier \u00e9l\u00e9ment.<\/p>\n<\/li>\n<li>\nSupposons que la propri\u00e9t\u00e9 est vraie pour un k<\/span> quelconque, c’est-\u00e0-dire que k\\neq S(k)<\/span>, nous allons alors prouver que cela signifie \u00e9galement que cela est vrai pour S(k)<\/span> (c’est-\u00e0-dire que S(k)\\neq S(S(k))<\/span>). Ceci est l’\u00e9tape inductive.<\/strong> Si ces deux \u00e9tapes sont compl\u00e9t\u00e9es, alors on dit que l’induction est compl\u00e8te et que la propri\u00e9t\u00e9 est vraie pour tous les nombres naturels.<\/p>\n<\/p>\n[1]<\/strong> Pour commencer, notons que S(k) \\neq k,<\/span> \u00e9quivaut \u00e0 dire que \\neg [k=S(k)]<\/span>.<\/p>\n[2]<\/strong> Mais comme k<\/span> et S(k)<\/span> sont tous deux des nombres naturels, selon l’axiome 2, nous pouvons dire qu’ils ont tous les deux des successeurs: S(k)<\/span> et S(S(k))<\/span>, respectivement. Les deux sont \u00e9galement des nombres naturels.<\/p>\n[3]<\/strong> Par cons\u00e9quent, en utilisant l’axiome 4, nous pouvons dire que : S(k) = S(S(k))<\/span> implique que k = S(k)<\/span>. Cela peut \u00eatre \u00e9crit de la mani\u00e8re suivante :<\/p>\n\\left[ S(k) = S(S(k)) \\right] \\rightarrow \\left[k = S(k)\\right]<\/span>\nce qui, par le contrapos\u00e9 de l’implication, \u00e9quivaut \u00e0 dire que :<\/p>\n\\neg \\left[k = S(k)\\right] \\rightarrow \\neg \\left[ S(k) = S(S(k)) \\right] <\/span>\n[4]<\/strong> Enfin, en effectuant un modus ponens entre cette derni\u00e8re expression et celle obtenue \u00e0 l’\u00e9tape [1]<\/strong>, nous obtenons :<\/p>\n\\neg \\left[ S(k) = S(S(k)) \\right] <\/span>\nce qui est \u00e9quivalent \u00e0 dire<\/p>\n S(k) \\neq S(S(k)) <\/span>\nPar cons\u00e9quent, nous avons d\u00e9montr\u00e9 que si S(k) \\neq k,<\/span> est v\u00e9rifi\u00e9, alors S(k) \\neq S(S(k))<\/span> est \u00e9galement v\u00e9rifi\u00e9. Comme il est \u00e9galement \u00e9vident que 1\\neq 2<\/span>, l’induction est compl\u00e8te et nous pouvons affirmer que :<\/p>\n\\left(\\forall n\\in\\mathbb{N}\\right)\\left(n \\neq S(n)\\right) <\/span>\n<\/li>\n<\/ul>\n<\/li>\n<\/ul>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<a name=\"3\"><\/a><\/p>\n<h3>Commentaire sur les d\u00e9monstrations<\/h3>\nBien que la propri\u00e9t\u00e9 \u00e9nonc\u00e9e dans l’exemple semble assez \u00e9vidente, il est tr\u00e8s courant en math\u00e9matiques que les d\u00e9monstrations ne soient pas aussi \u00e9videntes. Cette d\u00e9monstration que nous venons de voir est un exemple de ce qui est habituellement fait en math\u00e9matiques. Pour vous aider \u00e0 comprendre les techniques de d\u00e9duction propres aux math\u00e9matiques, je vous recommande de consulter les mat\u00e9riaux destin\u00e9s au cours de <a href=\"http:\/\/toposuranos.com\/material\/fr\/category\/mathematiques\/logique-mathematique\/logique-propositionnelle\/\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">logique math\u00e9matique.<\/strong><\/a><\/p>\n<\/body> \n<\/html><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"Nombres Naturels et les Axiomes de Peano Les Nombres Naturels et les Axiomes de Peano R\u00c9SUM\u00c9 Cette classe traite des nombres naturels et comment ils sont d\u00e9finis par les axiomes de Peano : une s\u00e9rie de principes math\u00e9matiques qui \u00e9tablissent leurs propri\u00e9t\u00e9s fondamentales. 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