N\u00fameros Naturais e os Axiomas de Peano<\/title> <\/head> <body><\/p>\n<div style=\"padding:20px;\">\n<center><\/p>\n<h1>Os N\u00fameros Naturais e os Axiomas de Peano<\/h1>\nRESUMO<\/b> \nEsta aula aborda os n\u00fameros naturais e como s\u00e3o definidos pelos axiomas de Peano: uma s\u00e9rie de princ\u00edpios matem\u00e1ticos que estabelecem suas propriedades fundamentais. Tamb\u00e9m explica como s\u00e3o usados s\u00edmbolos para representar os sucessores dos n\u00fameros naturais, como s\u00e3o representados simbolicamente e o uso do princ\u00edpio da indu\u00e7\u00e3o matem\u00e1tica para realizar provas indutivas.<\/em><\/p>\nOBJETIVOS DE APRENDIZAGEM<\/b><\/p>\n<\/center><\/p>\n<ol>\n<li>Entender<\/strong> os axiomas de Peano para a formula\u00e7\u00e3o dos n\u00fameros naturais.<\/li>\n<li>Entender<\/strong> a formula\u00e7\u00e3o da representa\u00e7\u00e3o simb\u00f3lica dos n\u00fameros naturais.<\/li>\n<\/ol>\n<center><\/p>\n\u00cdNDICE<\/strong><\/p>\n<a href=\"#1\">Os axiomas de Peano para os n\u00fameros naturais<\/strong><\/a> \n<a href=\"#2\">O princ\u00edpio de indu\u00e7\u00e3o nos n\u00fameros naturais<\/strong><\/a> \n<a href=\"#3\">Coment\u00e1rio sobre as demonstra\u00e7\u00f5es<\/a><\/p>\n<\/center><\/p>\n<center><iframe class=\"lazyload\" width=\"560\" height=\"315\" data-src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/w-BznjX88No\" frameborder=\"0\" allow=\"accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture\" allowfullscreen=\"allowfullscreen\"><\/iframe><\/center><\/div>\n<a name=\"1\"><\/a><\/p>\n<h2>Os Axiomas de Peano para os N\u00fameros Naturais<\/h2>\nOs N\u00fameros Naturais<\/em>, tamb\u00e9m conhecidos como n\u00fameros inteiros positivos<\/em>, s\u00e3o aqueles que usamos para contar e medir. Eles aparecem de forma mais natural na opera\u00e7\u00e3o de contagem, que \u00e9 a mais simples da aritm\u00e9tica. Estes n\u00fameros s\u00e3o definidos atrav\u00e9s dos axiomas de Peano<\/em><\/strong>, uma s\u00e9rie de princ\u00edpios matem\u00e1ticos que estabelecem como estes n\u00fameros funcionam.<\/p>\n<ol style=\"text-align: justify; \">\n<li>\u00ab1<\/span>\u00bb \u00e9 um n\u00famero natural<\/li>\n<li>Se n<\/span> \u00e9 um natural, ent\u00e3o seu sucessor S(n)<\/span> tamb\u00e9m o \u00e9.<\/li>\n<li>\u00ab1<\/span>\u00bb n\u00e3o \u00e9 sucessor de nenhum natural.<\/li>\n<li>Se S(n) = S(m)<\/span>, ent\u00e3o n=m<\/span>.<\/li>\n<li>Se 1<\/span> pertence a algum conjunto A<\/span>; e se dado um k<\/span> qualquer em A<\/span>, S(k)<\/span> tamb\u00e9m est\u00e1 em A<\/span>, ent\u00e3o A<\/span> \u00e9 o conjunto dos n\u00fameros naturais e \u00e9 denotado por \\mathbb{N}<\/span>.<\/li>\n<\/ol>\nAo estudar os axiomas de Peano, percebemos que o s\u00edmbolo \u00ab1<\/span>\u00bb na verdade \u00e9 apenas uma representa\u00e7\u00e3o usada para indicar um n\u00famero natural espec\u00edfico. Este n\u00famero \u00e9 aquele que cumpre com estas propriedades. Assim como 1<\/span> representa o \u00abprimeiro natural\u00bb, tamb\u00e9m usamos s\u00edmbolos (que s\u00e3o familiares para n\u00f3s) para representar seus sucessores. <\/p>\n<ul style=\"text-align: justify;\">\n<li>2=S(1)<\/span><\/li>\n<li>3=S(2)<\/span><\/li>\n<li>4=S(3) \\\\ \\vdots<\/span><\/li>\n<\/ul>\ne assim por diante. Deste modo, os s\u00edmbolos 1<\/span>, 2<\/span>, 3<\/span>, etc… s\u00e3o entidades abstratas que representam os diferentes sucessores de 1<\/span>. A cole\u00e7\u00e3o de todos esses objetos s\u00e3o os n\u00fameros naturais e os representamos atrav\u00e9s de:<\/p>\n\\mathbb{N}=\\{1,2,3,4,\\cdots \\}<\/span>\nTamb\u00e9m se diz que os n\u00fameros naturais est\u00e3o dispostos em uma sequ\u00eancia, a sequ\u00eancia dos n\u00fameros naturais:<\/p>\n1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12, \\cdots <\/span>\n<a name=\"2\"><\/a><\/p>\n<h2>O Princ\u00edpio da Indu\u00e7\u00e3o nos N\u00fameros Naturais<\/h2>\nUm aspecto importante dos n\u00fameros naturais \u00e9 que sempre h\u00e1 um n\u00famero ap\u00f3s cada um, o que significa que existem infinitos n\u00fameros naturais. Isso podemos intuir a partir do quinto axioma, ou princ\u00edpio da indu\u00e7\u00e3o,<\/strong> que se expressa da seguinte maneira:<\/p>\nSe uma propriedade \u00e9 verificada para 1<\/span>; e admitindo que se verifique para um natural qualquer k<\/span>, verifica-se tamb\u00e9m para o seguinte S(k)<\/span>; ent\u00e3o essa propriedade \u00e9 verificada para todos os naturais.<\/em><\/p>\nO princ\u00edpio da indu\u00e7\u00e3o fornece, al\u00e9m de uma base fundamental para os n\u00fameros naturais, \u00e9 uma ferramenta \u00fatil para provar se uma propriedade sobre os n\u00fameros naturais \u00e9 cumprida. Para revisar isso, vejamos um exemplo simples:<\/p>\n<table>\n<tbody>\n<tr>\n<td style=\"text-align: justify;\">\n<EXEMPLO:<\/strong> Atrav\u00e9s do princ\u00edpio da indu\u00e7\u00e3o, pode-se demonstrar que todo natural \u00e9 diferente do seu sucessor.<\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"text-align:\">\nEmbora isso seja \u00f3bvio, ajuda a entender o procedimento quando se prova por indu\u00e7\u00e3o.<\/p>\nDemonstra\u00e7\u00e3o:<\/strong><\/p>\n<ul>\n<li>\n\u00c9 claro que 1<\/span> \u00e9 diferente de S(1)=2<\/span>. Este \u00e9 o passo inicial,<\/strong> onde verificamos que a propriedade \u00e9 cumprida para o primeiro elemento.<\/p>\n<\/li>\n<li>\nSuponhamos que a propriedade \u00e9 v\u00e1lida para um k<\/span> qualquer, isto \u00e9, que k\\neq S(k)<\/span>. O que faremos \u00e9 provar que, a partir disso, tamb\u00e9m verifica-se para S(k)<\/span> (ou seja, que tamb\u00e9m verifica-se que S(k)\\neq S(S(k))<\/span>. Este \u00e9 o passo indutivo.<\/strong> Se estes dois passos s\u00e3o completos, ent\u00e3o diz-se que a indu\u00e7\u00e3o \u00e9 completa e a propriedade \u00e9 v\u00e1lida para todos os naturais.<\/p>\n[1]<\/strong> Para come\u00e7ar, notemos que S(k) \\neq k,<\/span> \u00e9 equivalente a dizer que \\neg [k=S(k)]<\/span>.<\/p>\n[2]<\/strong> Mas como tanto k<\/span> quanto S(k)<\/span> s\u00e3o naturais, pelo axioma 2 podemos dizer que ambos t\u00eam sucessores: S(k)<\/span> e S(S(k))<\/span>, respectivamente. Ambos tamb\u00e9m s\u00e3o naturais.<\/p>\n[3]<\/strong> Depois, pelo axioma 4 podemos dizer que: S(k) = S(S(k))<\/span> implica que k = S(k)<\/span>. Isso pode ser escrito da seguinte maneira:<\/p>\n\\left[ S(k) = S(S(k)) \\right] \\rightarrow \\left[k = S(k)\\right]<\/span>\nque por contraposi\u00e7\u00e3o da implic\u00e2ncia, \u00e9 equivalente a dizer:<\/p>\n\\neg \\left[k = S(k)\\right] \\rightarrow \\neg \\left[ S(k) = S(S(k)) \\right] <\/span>\n[4]<\/strong> Finalmente, fazendo um modus ponens entre esta \u00faltima express\u00e3o e a obtida no passo [1]<\/strong>, tem-se:<\/p>\n\\neg \\left[ S(k) = S(S(k)) \\right] <\/span>\nque \u00e9 o mesmo que dizer:<\/p>\n S(k) \\neq S(S(k)) <\/span>\nE portanto, demonstramos que, se \u00e9 verificado que S(k) \\neq k,<\/span>, ent\u00e3o tamb\u00e9m verifica-se que S(k) \\neq S(S(k))<\/span>; al\u00e9m disso, \u00e9 evidente que 1\\neq 2<\/span>, a indu\u00e7\u00e3o \u00e9 completa e pode-se escrever:<\/p>\n\\left(\\forall n\\in\\mathbb{N}\\right)\\left(n \\neq S(n)\\right) <\/span>\n<\/li>\n<\/ul>\n<\/li>\n<\/ul>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<a name=\"3\"><\/a><\/p>\n<h3>Coment\u00e1rio sobre as demonstra\u00e7\u00f5es<\/h3>\nEmbora a propriedade enunciada no exemplo seja bastante \u00f3bvia, \u00e9 muito comum em matem\u00e1tica que as demonstra\u00e7\u00f5es n\u00e3o mantenham essa obviedade. Esta demonstra\u00e7\u00e3o que acabamos de ver \u00e9 um exemplo do que normalmente se faz quando se trabalha matematicamente. Para te apoiar na compreens\u00e3o das t\u00e9cnicas de dedu\u00e7\u00e3o que s\u00e3o caracter\u00edsticas da matem\u00e1tica, recomendo que revises os materiais destinados para o curso de <a href=\"http:\/\/toposuranos.com\/material\/pt\/category\/matematica-pt\/logica-matematica-pt\/logica-proposicional-pt\/\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">l\u00f3gica matem\u00e1tica.<\/strong><\/a><\/p>\n<\/body> \n<\/html><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"N\u00fameros Naturais e os Axiomas de Peano Os N\u00fameros Naturais e os Axiomas de Peano RESUMO Esta aula aborda os n\u00fameros naturais e como s\u00e3o definidos pelos axiomas de Peano: uma s\u00e9rie de princ\u00edpios matem\u00e1ticos que estabelecem suas propriedades fundamentais. 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\n N\u00fameros Naturais e os Axiomas de Peano<\/title> <\/head> <body><\/p>\n<div style=\"padding:20px;\">\n<center><\/p>\n<h1>Os N\u00fameros Naturais e os Axiomas de Peano<\/h1>\nRESUMO<\/b> \nEsta aula aborda os n\u00fameros naturais e como s\u00e3o definidos pelos axiomas de Peano: uma s\u00e9rie de princ\u00edpios matem\u00e1ticos que estabelecem suas propriedades fundamentais. Tamb\u00e9m explica como s\u00e3o usados s\u00edmbolos para representar os sucessores dos n\u00fameros naturais, como s\u00e3o representados simbolicamente e o uso do princ\u00edpio da indu\u00e7\u00e3o matem\u00e1tica para realizar provas indutivas.<\/em><\/p>\nOBJETIVOS DE APRENDIZAGEM<\/b><\/p>\n<\/center><\/p>\n<ol>\n<li>Entender<\/strong> os axiomas de Peano para a formula\u00e7\u00e3o dos n\u00fameros naturais.<\/li>\n<li>Entender<\/strong> a formula\u00e7\u00e3o da representa\u00e7\u00e3o simb\u00f3lica dos n\u00fameros naturais.<\/li>\n<\/ol>\n<center><\/p>\n\u00cdNDICE<\/strong><\/p>\n<a href=\"#1\">Os axiomas de Peano para os n\u00fameros naturais<\/strong><\/a> \n<a href=\"#2\">O princ\u00edpio de indu\u00e7\u00e3o nos n\u00fameros naturais<\/strong><\/a> \n<a href=\"#3\">Coment\u00e1rio sobre as demonstra\u00e7\u00f5es<\/a><\/p>\n<\/center><\/p>\n<center><iframe class=\"lazyload\" width=\"560\" height=\"315\" data-src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/w-BznjX88No\" frameborder=\"0\" allow=\"accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture\" allowfullscreen=\"allowfullscreen\"><\/iframe><\/center><\/div>\n<a name=\"1\"><\/a><\/p>\n<h2>Os Axiomas de Peano para os N\u00fameros Naturais<\/h2>\nOs N\u00fameros Naturais<\/em>, tamb\u00e9m conhecidos como n\u00fameros inteiros positivos<\/em>, s\u00e3o aqueles que usamos para contar e medir. Eles aparecem de forma mais natural na opera\u00e7\u00e3o de contagem, que \u00e9 a mais simples da aritm\u00e9tica. Estes n\u00fameros s\u00e3o definidos atrav\u00e9s dos axiomas de Peano<\/em><\/strong>, uma s\u00e9rie de princ\u00edpios matem\u00e1ticos que estabelecem como estes n\u00fameros funcionam.<\/p>\n<ol style=\"text-align: justify; \">\n<li>\u00ab1<\/span>\u00bb \u00e9 um n\u00famero natural<\/li>\n<li>Se n<\/span> \u00e9 um natural, ent\u00e3o seu sucessor S(n)<\/span> tamb\u00e9m o \u00e9.<\/li>\n<li>\u00ab1<\/span>\u00bb n\u00e3o \u00e9 sucessor de nenhum natural.<\/li>\n<li>Se S(n) = S(m)<\/span>, ent\u00e3o n=m<\/span>.<\/li>\n<li>Se 1<\/span> pertence a algum conjunto A<\/span>; e se dado um k<\/span> qualquer em A<\/span>, S(k)<\/span> tamb\u00e9m est\u00e1 em A<\/span>, ent\u00e3o A<\/span> \u00e9 o conjunto dos n\u00fameros naturais e \u00e9 denotado por \\mathbb{N}<\/span>.<\/li>\n<\/ol>\nAo estudar os axiomas de Peano, percebemos que o s\u00edmbolo \u00ab1<\/span>\u00bb na verdade \u00e9 apenas uma representa\u00e7\u00e3o usada para indicar um n\u00famero natural espec\u00edfico. Este n\u00famero \u00e9 aquele que cumpre com estas propriedades. Assim como 1<\/span> representa o \u00abprimeiro natural\u00bb, tamb\u00e9m usamos s\u00edmbolos (que s\u00e3o familiares para n\u00f3s) para representar seus sucessores. <\/p>\n<ul style=\"text-align: justify;\">\n<li>2=S(1)<\/span><\/li>\n<li>3=S(2)<\/span><\/li>\n<li>4=S(3) \\\\ \\vdots<\/span><\/li>\n<\/ul>\ne assim por diante. Deste modo, os s\u00edmbolos 1<\/span>, 2<\/span>, 3<\/span>, etc… s\u00e3o entidades abstratas que representam os diferentes sucessores de 1<\/span>. A cole\u00e7\u00e3o de todos esses objetos s\u00e3o os n\u00fameros naturais e os representamos atrav\u00e9s de:<\/p>\n\\mathbb{N}=\\{1,2,3,4,\\cdots \\}<\/span>\nTamb\u00e9m se diz que os n\u00fameros naturais est\u00e3o dispostos em uma sequ\u00eancia, a sequ\u00eancia dos n\u00fameros naturais:<\/p>\n1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12, \\cdots <\/span>\n<a name=\"2\"><\/a><\/p>\n<h2>O Princ\u00edpio da Indu\u00e7\u00e3o nos N\u00fameros Naturais<\/h2>\nUm aspecto importante dos n\u00fameros naturais \u00e9 que sempre h\u00e1 um n\u00famero ap\u00f3s cada um, o que significa que existem infinitos n\u00fameros naturais. Isso podemos intuir a partir do quinto axioma, ou princ\u00edpio da indu\u00e7\u00e3o,<\/strong> que se expressa da seguinte maneira:<\/p>\nSe uma propriedade \u00e9 verificada para 1<\/span>; e admitindo que se verifique para um natural qualquer k<\/span>, verifica-se tamb\u00e9m para o seguinte S(k)<\/span>; ent\u00e3o essa propriedade \u00e9 verificada para todos os naturais.<\/em><\/p>\nO princ\u00edpio da indu\u00e7\u00e3o fornece, al\u00e9m de uma base fundamental para os n\u00fameros naturais, \u00e9 uma ferramenta \u00fatil para provar se uma propriedade sobre os n\u00fameros naturais \u00e9 cumprida. Para revisar isso, vejamos um exemplo simples:<\/p>\n<table>\n<tbody>\n<tr>\n<td style=\"text-align: justify;\">\n<EXEMPLO:<\/strong> Atrav\u00e9s do princ\u00edpio da indu\u00e7\u00e3o, pode-se demonstrar que todo natural \u00e9 diferente do seu sucessor.<\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"text-align:\">\nEmbora isso seja \u00f3bvio, ajuda a entender o procedimento quando se prova por indu\u00e7\u00e3o.<\/p>\nDemonstra\u00e7\u00e3o:<\/strong><\/p>\n<ul>\n<li>\n\u00c9 claro que 1<\/span> \u00e9 diferente de S(1)=2<\/span>. Este \u00e9 o passo inicial,<\/strong> onde verificamos que a propriedade \u00e9 cumprida para o primeiro elemento.<\/p>\n<\/li>\n<li>\nSuponhamos que a propriedade \u00e9 v\u00e1lida para um k<\/span> qualquer, isto \u00e9, que k\\neq S(k)<\/span>. O que faremos \u00e9 provar que, a partir disso, tamb\u00e9m verifica-se para S(k)<\/span> (ou seja, que tamb\u00e9m verifica-se que S(k)\\neq S(S(k))<\/span>. Este \u00e9 o passo indutivo.<\/strong> Se estes dois passos s\u00e3o completos, ent\u00e3o diz-se que a indu\u00e7\u00e3o \u00e9 completa e a propriedade \u00e9 v\u00e1lida para todos os naturais.<\/p>\n[1]<\/strong> Para come\u00e7ar, notemos que S(k) \\neq k,<\/span> \u00e9 equivalente a dizer que \\neg [k=S(k)]<\/span>.<\/p>\n[2]<\/strong> Mas como tanto k<\/span> quanto S(k)<\/span> s\u00e3o naturais, pelo axioma 2 podemos dizer que ambos t\u00eam sucessores: S(k)<\/span> e S(S(k))<\/span>, respectivamente. Ambos tamb\u00e9m s\u00e3o naturais.<\/p>\n[3]<\/strong> Depois, pelo axioma 4 podemos dizer que: S(k) = S(S(k))<\/span> implica que k = S(k)<\/span>. Isso pode ser escrito da seguinte maneira:<\/p>\n\\left[ S(k) = S(S(k)) \\right] \\rightarrow \\left[k = S(k)\\right]<\/span>\nque por contraposi\u00e7\u00e3o da implic\u00e2ncia, \u00e9 equivalente a dizer:<\/p>\n\\neg \\left[k = S(k)\\right] \\rightarrow \\neg \\left[ S(k) = S(S(k)) \\right] <\/span>\n[4]<\/strong> Finalmente, fazendo um modus ponens entre esta \u00faltima express\u00e3o e a obtida no passo [1]<\/strong>, tem-se:<\/p>\n\\neg \\left[ S(k) = S(S(k)) \\right] <\/span>\nque \u00e9 o mesmo que dizer:<\/p>\n S(k) \\neq S(S(k)) <\/span>\nE portanto, demonstramos que, se \u00e9 verificado que S(k) \\neq k,<\/span>, ent\u00e3o tamb\u00e9m verifica-se que S(k) \\neq S(S(k))<\/span>; al\u00e9m disso, \u00e9 evidente que 1\\neq 2<\/span>, a indu\u00e7\u00e3o \u00e9 completa e pode-se escrever:<\/p>\n\\left(\\forall n\\in\\mathbb{N}\\right)\\left(n \\neq S(n)\\right) <\/span>\n<\/li>\n<\/ul>\n<\/li>\n<\/ul>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<a name=\"3\"><\/a><\/p>\n<h3>Coment\u00e1rio sobre as demonstra\u00e7\u00f5es<\/h3>\nEmbora a propriedade enunciada no exemplo seja bastante \u00f3bvia, \u00e9 muito comum em matem\u00e1tica que as demonstra\u00e7\u00f5es n\u00e3o mantenham essa obviedade. Esta demonstra\u00e7\u00e3o que acabamos de ver \u00e9 um exemplo do que normalmente se faz quando se trabalha matematicamente. Para te apoiar na compreens\u00e3o das t\u00e9cnicas de dedu\u00e7\u00e3o que s\u00e3o caracter\u00edsticas da matem\u00e1tica, recomendo que revises os materiais destinados para o curso de <a href=\"http:\/\/toposuranos.com\/material\/pt\/category\/matematica-pt\/logica-matematica-pt\/logica-proposicional-pt\/\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">l\u00f3gica matem\u00e1tica.<\/strong><\/a><\/p>\n<\/body> \n<\/html><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"N\u00fameros Naturais e os Axiomas de Peano Os N\u00fameros Naturais e os Axiomas de Peano RESUMO Esta aula aborda os n\u00fameros naturais e como s\u00e3o definidos pelos axiomas de Peano: uma s\u00e9rie de princ\u00edpios matem\u00e1ticos que estabelecem suas propriedades fundamentais. 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