Uma primeira aproxima\u00e7\u00e3o aos Conjuntos Num\u00e9ricos – ToposUranos.com<\/title> <\/head> <body> <\/p>\n<div style=\"background-color:#F3F3F3; padding:20px;\">\n<center><\/p>\n<h1>Uma Primeira Aproxima\u00e7\u00e3o aos Conjuntos Num\u00e9ricos: Dos Naturais aos Complexos<\/h1>\n<\/center><\/p>\nResumo:<\/strong><\/br>Nesta aula, exploraremos como os n\u00fameros naturais podem ser usados como base para a constru\u00e7\u00e3o de outros conjuntos num\u00e9ricos para superar certas limita\u00e7\u00f5es operacionais. Come\u00e7aremos com os n\u00fameros inteiros, que nos permitem realizar subtra\u00e7\u00f5es de maneira ampla. Depois, avan\u00e7aremos para os n\u00fameros racionais, que nos fornecem a ferramenta de divis\u00e3o de maneira completa. Posteriormente, nos aprofundaremos nos n\u00fameros reais para poder trabalhar com ra\u00edzes en\u00e9simas, e mencionaremos como os n\u00fameros complexos s\u00e3o introduzidos para abordar cen\u00e1rios espec\u00edficos com ra\u00edzes en\u00e9simas. Atrav\u00e9s destes desenvolvimentos, compreender\u00e1 como cada novo conjunto num\u00e9rico surge para resolver problemas inerentes ao anterior.<\/em><\/p>\nObjetivos de Aprendizagem<\/u>:<\/strong> Ao concluir esta aula, o estudante ser\u00e1 capaz de:<\/p>\n<ol>\n<li>Identificar<\/strong> as propriedades b\u00e1sicas dos n\u00fameros naturais, inteiros e racionais.<\/li>\n<li>Interpretar<\/strong> as propriedades e opera\u00e7\u00f5es b\u00e1sicas que s\u00e3o herdadas ou modificadas ao transitar de um conjunto num\u00e9rico para outro.<\/li>\n<li>Comparar<\/strong> as propriedades dos diferentes conjuntos num\u00e9ricos e como se relacionam entre si.<\/li>\n<\/ol>\n\u00cdNDICE DE CONTE\u00daDOS<\/u><\/strong> \n<a href=\"#1\">Introdu\u00e7\u00e3o<\/a> \n<a href=\"#2\">Propriedades dos N\u00fameros Naturais<\/a> \n<a href=\"#3\">Transi\u00e7\u00e3o dos N\u00fameros Naturais para os Inteiros<\/a> \n<a href=\"#4\">O Salto para os N\u00fameros Racionais<\/a> \n<a href=\"#5\">N\u00fameros Reais e Irracionais<\/a> \n<a href=\"#6\">Os Complexos: A Cl\u00e1usula Alg\u00e9brica dos N\u00fameros Reais<\/a>\n<\/p>\n<center><iframe class=\"lazyload\" width=\"560\" height=\"315\" data-src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/PfK-pIlyCj4\" title=\"YouTube video player\" frameborder=\"0\" allow=\"accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture\" allowfullscreen=\"allowfullscreen\"><\/iframe><\/center>\n<\/div>\n<a name=\"1\"><\/a><\/p>\n<h2>Introdu\u00e7\u00e3o<\/h2>\n<div class=\"content\">\n<a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=PfK-pIlyCj4&t=96s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">Os n\u00fameros reais, juntamente com outros conjuntos num\u00e9ricos que exploraremos nesta aula,<\/strong><\/span><\/a> s\u00e3o introduzidos atrav\u00e9s da expans\u00e3o dos n\u00fameros naturais. Acontece que, com quaisquer dois n\u00fameros naturais, nem sempre \u00e9 poss\u00edvel realizar opera\u00e7\u00f5es de subtra\u00e7\u00e3o ou divis\u00e3o, e estas expans\u00f5es visam resolver este inconveniente.<\/p>\nDurante esta aula, revisaremos as <a href=\"https:\/\/toposuranos.com\/operacoes-com-numeros-naturais\/\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\">opera\u00e7\u00f5es e propriedades dos n\u00fameros naturais,<\/strong><\/a> e com base nisso, avan\u00e7aremos para a constru\u00e7\u00e3o de todos os outros conjuntos num\u00e9ricos, at\u00e9 atingir os n\u00fameros reais e al\u00e9m.<\/p>\n<a name=\"2\"><\/a><\/p>\n<h2>Propriedades dos N\u00fameros Naturais<\/h2>\n<a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=PfK-pIlyCj4&t=214s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">Ao abordar as opera\u00e7\u00f5es com n\u00fameros naturais,<\/span><\/strong><\/a> referimo-nos principalmente \u00e0 soma e ao produto, juntamente com suas respectivas opera\u00e7\u00f5es inversas. A seguir, resumem-se estas propriedades:<\/p>\nDado que a,b,c\\in\\mathbb{N},<\/span> verifica-se que:<\/p>\n<table>\n<tbody>\n<tr style=\"text-align: justify; color: #000000;\">\n<td>1. <\/td>\n<td>a + b = b + a<\/span>\n<\/td>\n<\/tr>\n<tr style=\"text-align: left; color: #000000;\">\n<td>2. <\/td>\n<td>a \\pm (b \\pm c) = (a\\pm b)\\pm c <\/span> (no caso da subtra\u00e7\u00e3o, \u00e9 v\u00e1lida sempre que estiver bem definida)<\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<tr style=\"text-align: left; color: #000000;\">\n<td>3. <\/td>\n<td>a\\cdot b = b \\cdot a <\/span>\n<\/td>\n<\/tr>\n<tr style=\"text-align: left; color: #000000;\">\n<td>4. <\/td>\n<td>a\\cdot(b\\cdot c)= (a\\cdot b)\\cdot c <\/span>\n<\/td>\n<\/tr>\n<tr style=\"text-align: left; color: #000000;\">\n<td>5.\\;\\;\\;\\;\\;<\/span><\/td>\n<td>a\\cdot b = a \\leftrightarrow b=1 <\/span>\n<\/td>\n<\/tr>\n<tr style=\"text-align: left; color: #000000;\">\n<td>6.<\/td>\n<td>\\displaystyle \\frac{a}{b}\\in\\mathbb{N} \\leftrightarrow (\\exists k\\in\\mathbb{N})(a=b\\cdot k) <\/span>\n<\/td>\n<\/tr>\n<tr style=\"text-align: left; color: #000000;\">\n<td>7.<\/td>\n<td>a\\cdot(b+c)=a\\cdot b + a \\cdot c <\/span><\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<a name=\"3\"><\/a><\/p>\n<h2>Transi\u00e7\u00e3o dos N\u00fameros Naturais para os Inteiros<\/h2>\n<a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=PfK-pIlyCj4&t=418s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">O primeiro aspecto a notar \u00e9 que no caso das somas:<\/span><\/strong><\/a> (\\forall a,b\\in\\mathbb{N})(a+b\\in\\mathbb{N})<\/span>, enquanto que para as subtra\u00e7\u00f5es: (\\forall a,b\\in\\mathbb{N})(a+b\\in\\mathbb{N} \\leftrightarrow a\\gt b)<\/span>. Um inconveniente surge quando a subtra\u00e7\u00e3o entre dois n\u00fameros naturais a<\/span> e b<\/span> n\u00e3o faz sentido se a\\leq b<\/span>; para remediar esta situa\u00e7\u00e3o, expandem-se os n\u00fameros naturais ao conjunto dos n\u00fameros inteiros, onde as subtra\u00e7\u00f5es desta natureza adquirem um valor bem definido. Denotamos este novo conjunto dos n\u00fameros inteiros<\/strong> com a letra \\mathbb{Z}<\/span>, e comp\u00f5e-se de todos os n\u00fameros naturais, seus inversos aditivos e o zero.<\/p>\n\\mathbb{Z} = \\{\\cdots, -3,-2,-1,0,1,2,3,\\cdots \\}<\/span>\nOs n\u00fameros inteiros herdam todas as propriedades e opera\u00e7\u00f5es dos n\u00fameros naturais, com uma extens\u00e3o sobre a segunda propriedade, e introduzem-se as no\u00e7\u00f5es de inverso e neutro aditivo.<\/p>\n<table>\n<tbody>\n<tr style=\"text-align: left; color: #000000;\">\n<td>2*.<\/td>\n<td>a \\pm (b \\pm c) = (a\\pm b) \\pm c <\/span><\/td>\n<\/tr>\n<tr style=\"text-align: left; color: #000000;\">\n<td>8.<\/td>\n<td>(\\forall a\\in\\mathbb{Z})(\\exists ! b\\in\\mathbb{Z})(a+b=0 \\leftrightarrow b=-a)<\/span><\/td>\n<\/tr>\n<tr style=\"text-align: left; color: #000000;\">\n<td>9.<\/td>\n<td>(\\forall a\\in\\mathbb{Z})(\\exists ! b\\in\\mathbb{Z})(a+b=a \\leftrightarrow b=0)<\/span><\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\nO elemento b=-a<\/span> \u00e9 o que denominamos inverso aditivo<\/strong> de a<\/span>.<\/p>\n<a name=\"4\"><\/a><\/p>\n<h2>O Salto para os N\u00fameros Racionais<\/h2>\n<a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=PfK-pIlyCj4&t=755s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">Neste ponto, a \u00fanica opera\u00e7\u00e3o que nos resta sem definir corretamente \u00e9 a divis\u00e3o.<\/span><\/strong><\/a> Para resolver isso realizaremos uma expans\u00e3o sobre o conjunto dos n\u00fameros inteiros ao conjunto dos n\u00fameros racionais, que ser\u00e1 dado pelo seguinte conjunto:<\/p>\n\\mathbb{Q}=\\left\\{a= \\displaystyle\\frac{n}{m}\\;|\\;n,m\\in\\mathbb{Z}\\wedge m\\neq 0 \\right\\}<\/span>\nCom isso adquire-se uma nova propriedade<\/p>\n<table>\n<tbody>\n<tr style=\"text-align: justify; color: #000000;\">\n<td>10.<\/td>\n<td>(\\forall a \\in \\mathbb{Q}\\setminus\\{0\\})(\\exists ! b \\in \\mathbb{Q})<\/span> \\left[(a\\cdot b = 1) \\leftrightarrow \\left( b = \\displaystyle \\frac{1}{a} = a^{-1} \\right)\\right]<\/span><\/td>\n<\/tr>\n<tr style=\"text-align: justify; color: #000000;\">\n<td colspan=\"2\">Todo racional n\u00e3o nulo tem um inverso multiplicativo. O inverso multiplicativo de a<\/span> \u00e9 a^{-1}<\/span><\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\nCom estes n\u00fameros, opera\u00e7\u00f5es e propriedades definem-se novas opera\u00e7\u00f5es com suas propriedades. Nestes define-se a pot\u00eancia n-\u00e9sima de um racional q<\/span> atrav\u00e9s de<\/p>\nq^n = \\underbrace{q\\cdot q \\cdot \\cdots \\cdot q}_{n\\;vezes};<\/span> com n\\in\\mathbb{N}<\/span>\nq^{-n}= \\displaystyle \\frac{1}{q^n}<\/span>\nNotemos que, a partir disso, e sempre que q\\neq 0<\/span>, podemos dizer que<\/p>\nq^0 = 1<\/span>\nAl\u00e9m disso, sempre que aparecerem divis\u00f5es por zero, dados dois racionais quaisquer a,b<\/span> , e dois inteiros n,m<\/span> cumprir-se-\u00e3o as seguintes propriedades:<\/p>\n<table>\n<tbody>\n<tr style=\"text-align: justify; color: #000000;\">\n<td>11.<\/td>\n<td>a^n \\cdot a^m = a^{n+m} <\/span>\n<\/td>\n<\/tr>\n<tr style=\"text-align: justify; color: #000000;\">\n<td>12.<\/td>\n<td>(a^n)^m = a^{n\\cdot m} <\/span>\n<\/td>\n<\/tr>\n<tr style=\"text-align: justify; color: #000000;\">\n<td>13.<\/td>\n<td>(a\\cdot b)^n = a^{n} \\cdot a^{m} <\/span>\n<\/td>\n<\/tr>\n<tr style=\"text-align: justify; color: #000000;\">\n<td>14.<\/td>\n<td>\\left(\\displaystyle \\frac{a}{a}\\right)^n = \\frac{a^n}{a^n} <\/span>\n<\/td>\n<\/tr>\n<tr style=\"text-align: justify; color: #000000;\">\n<td>15.<\/td>\n<td>\\displaystyle \\frac{a^n}{a^m} = a^{n-m} = \\frac{1}{a^{m-n}} <\/span>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<a name=\"5\"><\/a><\/p>\n<h2>N\u00fameros Reais e Irracionais<\/h2>\n<a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=PfK-pIlyCj4&t=1031s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">Assim como a opera\u00e7\u00e3o da subtra\u00e7\u00e3o (inversa da soma) e a divis\u00e3o<\/span><\/strong><\/a> (inversa do produto) fizeram necess\u00e1rio expandir os naturais aos inteiros e racionais, respectivamente, para formar opera\u00e7\u00f5es bem definidas, de forma an\u00e1loga ocorre com as pot\u00eancias. A opera\u00e7\u00e3o inversa da n<\/span>-\u00e9sima pot\u00eancia \u00e9 a raiz n<\/span>-\u00e9sima.<\/p>\n<h3>Defini\u00e7\u00e3o de Raiz<\/h3>\n<a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=PfK-pIlyCj4&t=1071s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">Seja n<\/span> um inteiro maior que 1<\/span><\/strong><\/a> e p,q<\/span> n\u00fameros racionais quaisquer, define-se a raiz n<\/span>-\u00e9sima de q<\/span>, que representamos atrav\u00e9s das seguintes regras:<\/p>\n<table>\n<tbody>\n<tr style=\"text-align: justify; color: #000000;\">\n<td>16.<\/td>\n<td>q=0 \\rightarrow \\sqrt[n]{q} = 0<\/span><\/td>\n<\/tr>\n<tr style=\"text-align: justify; color: #000000;\">\n<td>17.<\/td>\n<td>q \\gt 0 \\rightarrow \\left[ \\sqrt[n]{q} = p \\leftrightarrow p^n = q \\right]<\/span><\/td>\n<\/tr>\n<tr style=\"text-align: justify; color: #000000;\">\n<td>18.<\/td>\n<td> \\left[ q \\lt 0 \\wedge n {\\;\u00e9\\;\u00edmpar} \\right]\\rightarrow \\left[ \\sqrt[n]{q} = p \\leftrightarrow p^n = q \\right]<\/span><\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\nEm resumo, a n<\/span>-\u00e9sima raiz de q<\/span> \u00e9 um n\u00famero p<\/span> tal que, ao ser elevado a n<\/span>, te devolve o n\u00famero q<\/span>. Nestes casos, quando n=2<\/span>, em vez de escrever \\sqrt[2]{q}<\/span>, por simplicidade escrevemos \\sqrt{q}.<\/span>\n<h3>A Apari\u00e7\u00e3o dos N\u00fameros Irracionais<\/h3>\n<a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=PfK-pIlyCj4&t=1216s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">Chegados a este ponto \u00e9 quando nos perguntamos<\/span><\/strong><\/a> Estar\u00e1 bem definida a raiz n-\u00e9sima para todos os elementos de \\mathbb{Q}<\/span>? A verdade, \u00e9 que apesar de n\u00e3o ser t\u00e3o evidente (em compara\u00e7\u00e3o ao visto com a subtra\u00e7\u00e3o e a divis\u00e3o), existem racionais que n\u00e3o t\u00eam raiz n-\u00e9sima racional. Para ver isso basta com revisar o seguinte exemplo:<\/p>\n\\sqrt{2}<\/span> n\u00e3o \u00e9 um n\u00famero racional.<\/strong><\/em><\/p>\nDEMONSTRA\u00c7\u00c3O<\/strong><\/p>\nProvaremos isso por redu\u00e7\u00e3o ao absurdo.<\/p>\nSuponhamos que \\sqrt{2}<\/span> seja um n\u00famero racional, isto \u00e9, que existem p,q\\in\\mathbb{Z}<\/span>, com q\\neq 0,<\/span> tais que \\sqrt{2}=p\/q,<\/span> e que al\u00e9m disso foi simplificado at\u00e9 ficar irredut\u00edvel. Se o fazemos ent\u00e3o podemos dizer que<\/p>\n2 = \\left(\\sqrt{2} \\right)^2 =\\displaystyle \\frac{p^2}{q^2} = <\/span> \\left(\\displaystyle \\frac{p}{q}\\right)^2<\/span>\n<\/span><\/p>\nMas isso entra em contradi\u00e7\u00e3o com o fato de que p\/q<\/span> estava escrito em forma irredut\u00edvel (agora resulta que se pode simplificar (p\/q)^2<\/span> e seu resultado \u00e9 2). Como o supor que \\sqrt{2}<\/span> \u00e9 racional produz uma contradi\u00e7\u00e3o, ent\u00e3o este n\u00e3o pode ser um n\u00famero racional e dizemos, em consequ\u00eancia, que \u00e9 irracional.<\/p>\n<h3>A Expans\u00e3o para os N\u00fameros Reais<\/h3>\n<a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=PfK-pIlyCj4&t=1514s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">Esses resultados evidenciam o fato de que,<\/span> <\/strong><\/a>para definir corretamente a raiz n-\u00e9sima, \u00e9 necess\u00e1rio ampliar os racionais para um novo conjunto, este \u00e9 o conjunto dos n\u00fameros reais, que denotamos por \\mathbb{R}<\/span> e que cont\u00e9m tanto os racionais quanto os irracionais.<\/p>\n\\mathbb{R}= \\mathbb{Q}\\cup \\mathbb{Q}^*<\/span>\n<a name=\"6\"><\/a><\/p>\n<h2>Os Complexos: A Cl\u00e1usula Alg\u00e9brica dos N\u00fameros Reais<\/h2>\n<a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=PfK-pIlyCj4&t=1532s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">Neste ponto, devemos notar duas coisas:<\/span><\/strong><\/a> (1) quando n<\/span> \u00e9 par, a raiz n-\u00e9sima fica multivalorada e, (2) se tamb\u00e9m tentarmos calcular \\sqrt[n]{q}<\/span> com q\\lt 0,<\/span> veremos que tal n\u00famero n\u00e3o pode ser um n\u00famero real.<\/p>\nO primeiro \u00e9 resolvido definindo a raiz principal<\/strong>, aplicando uma pequena altera\u00e7\u00e3o no ponto (17) que fala sobre a defini\u00e7\u00e3o da raiz, ficando da seguinte maneira:<\/p>\n<table>\n<tbody>\n<tr style=\"text-align: justify; color: #000000;\">\n<td>17*.<\/td>\n<td>q\\gt 0 \\rightarrow \\left[ 0\\lt p=\\sqrt[n]{q} \\leftrightarrow p^n=q \\right]<\/span><\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\nO segundo \u00e9 conseguido expandindo o conjunto dos reais para o conjunto dos n\u00fameros complexos \\mathbb{C},<\/span> mas essa constru\u00e7\u00e3o ser\u00e1 para mais tarde.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"Uma primeira aproxima\u00e7\u00e3o aos Conjuntos Num\u00e9ricos – ToposUranos.com Uma Primeira Aproxima\u00e7\u00e3o aos Conjuntos Num\u00e9ricos: Dos Naturais aos Complexos Resumo:Nesta aula, exploraremos como os n\u00fameros naturais podem ser usados como base para a constru\u00e7\u00e3o de outros conjuntos num\u00e9ricos para superar certas limita\u00e7\u00f5es operacionais. 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