Однопериодная биномиальная модель и условие отсутствия арбитража

Аннотация:
Представьте себе казино, где вы можете делать ставки в игре, в которой всегда выигрываете деньги, независимо от результата. Звучит слишком хорошо, чтобы быть правдой, не так ли? На финансовых рынках такие возможности появляются благодаря арбитражу; однако они быстро исчезают благодаря действиям самих участников рынка. В этом уроке мы изучим однопериодную биномиальную модель и условие отсутствия арбитража, проанализируем, как цены на активы, процентные ставки и инвестиционные стратегии исключают возможность получения безрисковой прибыли. Через подробные примеры и строгие математические доказательства мы раскроем фундаментальные принципы, лежащие в основе финансовой стабильности, и узнаем, почему выявление арбитражной возможности является лишь началом гораздо более сложной истории.

Цели обучения
По окончании этого урока студент сможет:

1. Понимать однопериодную биномиальную модель и её применение для оценки финансовых активов.
2. Определять основные элементы однопериодной биномиальной модели: базовый актив, коэффициенты роста и падения, безрисковый актив.
3. Понимать построение и роль самофинансируемого портфеля в биномиальной модели.
4. Понимать условие отсутствия арбитража на финансовых рынках и то, как оно исключает возможность получения безрисковой прибыли с помощью самофинансируемых портфелей.
5. Оценивать наличие арбитражных возможностей на рынке через анализ условия отсутствия арбитража.
6. Анализировать, как арбитраж влияет на цены активов и вызывает корректировки на рынке.
7. Описывать влияние ставки займа акций на стратегию арбитража и условие отсутствия арбитража.
8. Объяснять с помощью математических моделей, как происходит корректировка рынка после появления арбитражных возможностей.
9. Понимать формальное доказательство теоремы об условии отсутствия арбитража.

СОДЕРЖАНИЕ
Что такое однопериодная биномиальная модель?
Как распознать рынок с арбитражными возможностями и причины их быстрого исчезновения
Доказательство теоремы об условии отсутствия арбитража
Заключение

Что такое однопериодная биномиальная модель?

Однопериодная биномиальная модель — это финансовая модель, описывающая динамику цены актива в дискретном временном промежутке. Термин «биномиальная» подразумевает, что цена актива за один период может двигаться только в двух направлениях: либо вверх, либо вниз. Эта модель широко используется при оценке финансовых деривативов, особенно опционов, и служит основой многопериодной биномиальной модели.

Элементы модели

Однопериодная биномиальная модель основана на следующих элементах:

Актив, рассматриваемый в модели, характеризуется ценой S(t) в момент времени t. В начальный момент t=0 цена актива равна S(0). В момент t=1 цена актива может принять одно из двух возможных значений, обозначенных как S(1,\text{sube}) (при росте цены) или S(1,\text{baja}) (при снижении цены):

S(1) = \begin{cases} S(1,\text{sube}) = S(0)u, & \text{с вероятностью } p, \\[6pt] S(1,\text{baja}) = S(0)d, & \text{с вероятностью } 1 - p. \end{cases}

Здесь коэффициенты u (рост) и d (снижение) удовлетворяют условию:

0 \lt d \lt 1 \lt u.

Эти ограничения гарантируют, что будущие цены остаются строго положительными, в соответствии с основными предпосылками простой рыночной модели.

Элементы модели

• Вероятности: Предполагается, что вероятность роста актива равна p, а вероятность его снижения равна 1 - p. Это условие гарантирует возможность обоих направлений движения цены, предотвращая возникновение детерминированных ситуаций, когда цена неизменно растёт или падает, что нарушило бы биномиальную структуру модели и создало бы возможности для арбитража.
• Безрисковый актив: В модель включается облигация или иной финансовый инструмент, цена которого возрастает предсказуемо по безрисковой процентной ставке r. Его стоимость в следующий период времени задаётся формулой A(1) = A(0)(1+r).

Теорема: Условие отсутствия арбитража в однопериодной биномиальной модели

Пусть имеется актив с начальной ценой S(0) \gt 0, цена которого в момент времени t=1 подчиняется биномиальной структуре, описанной выше. Предположим также, что существует безрисковый актив (облигация) с ценой A(1) = A(0)(1+r), где r — безрисковая процентная ставка. Тогда рынок свободен от арбитража тогда и только тогда, когда коэффициенты роста и снижения удовлетворяют следующему условию:

0 \lt d \lt 1 + r \lt u

На рынке без арбитража невозможно построить самофинансируемый портфель, приносящий безрисковую прибыль.

Как определить рынок без арбитражных возможностей, используя теорему?

Предположим, что у актива начальная цена S(0) = 100 долларов, и в следующем периоде его цена может измениться следующим образом:

S(1) = \begin{cases} S(1,\text{sube}) = S(0) u = 120, & \text{если цена выросла}, \\ S(1,\text{baja}) = S(0) d = 90, & \text{если цена упала}. \end{cases}

При этом облигация возрастает в цене с A(0) = 100 до A(1) = 105 при безрисковой ставке r = 5\%. Проверим возможность арбитража, проверяя выполнение условия отсутствия арбитража:

0 \lt d \lt 1+r\lt u.

Подставляя числовые значения:

0 \lt 0.9 \lt 1.05 \lt 1.2

Так как неравенство выполняется, невозможно построить самофинансируемый портфель с гарантированной прибылью, что подтверждает согласованность биномиальной модели.

Как определить рынок с возможностью арбитража и его быструю дезинтеграцию

Рассмотрим актив, начальная цена которого составляет S(0) = 100 долларов. В следующем периоде его цена может измениться следующим образом:

S(1) = \begin{cases} S(1,\text{sube}) = S(0) u = 105.2, & \text{если цена выросла}, \\ S(1,\text{baja}) = S(0) d = 82, & \text{если цена упала}. \end{cases}

Цена безрискового актива (облигации) составляет A(0) = 100, и в следующем периоде она увеличивается до A(1) = 107 при безрисковой процентной ставке r = 7\%.

Проверим выполнение условия отсутствия арбитража:

0 \lt 0.82 \lt 1.07 \not\lt 1.052

Так как не выполняется неравенство 1+r \lt u, это означает, что существует возможность арбитража на рынке. Рассмотрим, как можно реализовать такую возможность:

• Позиция в рискованном активе: Инвестор осуществляет короткую продажу акции по начальной цене S(0) = 100. Это означает, что инвестор занимает акцию и продаёт её на рынке, получая 100 долларов наличными.
• Инвестиция в безрисковый актив: Полученные 100 долларов инвестируются в безрисковую облигацию под процентную ставку r = 7\%.
• Выкуп акции: В следующем периоде инвестор выкупает акцию обратно. Возможны два сценария:
  • Если цена акции выросла до 105.2, то прибыль инвестора составит 107 - 105.2 = 1.8.
  • Если цена акции снизилась до 82, то прибыль инвестора составит 107 - 82 = 25.

Таким образом, в обоих случаях инвестор гарантированно получает прибыль, что подтверждает наличие арбитража.

📌 Реакция рынка на арбитражные стратегии

Появление арбитражных возможностей вызывает реакцию рынка, которая быстро устраняет эти дисбалансы. Это происходит следующим образом:

• Рост предложения рискованного актива: Короткие продажи увеличивают количество доступных на рынке акций, так как инвесторы берут акции взаймы для продажи. Это приводит к понижению начальной цены актива (S(0)).
• Корректировка коэффициентов будущих цен: Так как будущие цены актива определяются по формулам S(1,\text{sube}) = S(0)u и S(1,\text{baja}) = S(0)d, снижение S(0) приводит к изменению значений u и d, восстанавливая соотношение с безрисковой ставкой 1+r.
• Рост цены безрискового актива: Вложение средств в облигацию увеличивает спрос на неё, повышая её текущую цену (A(0)). Так как будущая стоимость остаётся неизменной (A(1)=107), это снижает эффективную доходность безрискового актива, корректируя доходность вложений и устраняя арбитраж.
• Стоимость заимствования акций: Короткая продажа акций требует займа акций у их владельцев. Такая операция связана с дополнительными расходами (ставка займа акций), что снижает чистую прибыль от арбитражной стратегии.

V(1) = A(0)(1 + r - r_s) - S(1)

📌 Как влияет ставка займа акций на возможность арбитража?

Предположим, теперь учтём наличие дополнительной ставки займа акций (r_s). В этом случае итоговая прибыль от арбитражной стратегии корректируется следующим образом:

V(1) = A(0)(1 + r - r_s) - S(1)

Где:

• r_s — ставка займа акций.
• A(0) — начальная сумма, вложенная в безрисковый актив.
• r — безрисковая процентная ставка.
• S(1) — цена актива в момент t=1.

С учётом ставки займа акций r_s, условие отсутствия арбитража приобретает следующий вид:

0 \lt d \lt 1 + r - r_s \lt u

Для нашего примера условие примет вид:

0 \lt 0.82 \lt 1.07 - r_s \lt 1.052

Из этого следует, что:

• При 0 \leq r_s \lt 0.018: Арбитражная возможность сохраняется, поскольку прибыль остаётся положительной в обоих сценариях.
• Если 0.018 \leq r_s \leq 0.25: Возможность арбитража исчезает, так как доходность становится недостаточной для покрытия расходов на займ акций и гарантия безрисковой прибыли пропадает.
• При r_s \gt 0.25: Арбитраж становится невыгодным, поскольку затраты на займ акций превышают любые возможные доходы. В такой ситуации рациональный инвестор откажется от реализации стратегии, так как стоимость портфеля окажется отрицательной в любых условиях.

Таким образом, рынок самостоятельно корректирует себя, быстро устраняя любые арбитражные возможности, возникающие из-за несоответствий цен и ставок.

0 \lt 0.82 \lt 1.07 \not\lt 1.052

Поскольку неравенство 1+r \lt u не выполняется, на этом рынке возможен арбитраж. Чтобы это продемонстрировать, построим самофинансируемый портфель следующим образом:

• Короткая продажа одной акции: Акция продаётся в короткую позицию по цене S(0) = 100. Это означает, что инвестор берёт акцию взаймы для её последующей продажи.
• Инвестиция в безрисковый актив: Полученные от продажи 100 долларов вкладываются в облигацию.
• Выкуп акции в следующем периоде:
  • Если цена упадёт до 82, чистая прибыль инвестора составит 107 - 82 = 25 долларов.
  • Если цена возрастёт до 105.2, чистая прибыль будет равна 107 - 105.2 = 1.8.

Таким образом, в обоих случаях инвестор гарантированно получает прибыль, что подтверждает наличие арбитража.

📌 Реакция рынка на арбитражную стратегию

Однако на эффективном рынке такие возможности долго не сохраняются. По мере того как инвесторы замечают наличие арбитража, они начинают активно реализовывать стратегии коротких продаж, что вызывает ряд важных эффектов:

• Увеличение предложения рискованного актива: Короткие продажи означают, что инвесторы занимают и продают акции на рынке, увеличивая предложение акций и оказывая давление на снижение начальной цены актива S(0).
• Корректировка будущих цен актива: Поскольку S(1, \text{sube}) = S(0) u и S(1, \text{baja}) = S(0) d, снижение цены S(0) ведёт к корректировке коэффициентов u и d, восстанавливая соотношение с безрисковой ставкой 1 + r и условие отсутствия арбитража.
• Влияние на цену облигации: Используя деньги от коротких продаж, инвесторы увеличивают спрос на облигации, повышая текущую цену облигации A(0). Поскольку будущая цена облигации фиксирована A(1) = 107, это снижает эффективную доходность облигации и восстанавливает равновесие рынка.
• Затраты на короткие продажи акций: Инвесторы, занимающие акции для короткой продажи, платят ставку заимствования акций r_s. Эта ставка представляет собой дополнительные расходы, снижающие чистую прибыль от реализации арбитража.

📌 Как ставка займа акций влияет на арбитраж?

Если ставка займа акций (r_s) высока, она может уменьшить или даже полностью устранить чистую прибыль от арбитража. Скорректированная формула для итоговой стоимости арбитражной стратегии имеет следующий вид:

V(1) = A(0)(1 + r - r_s) - S(1)

Где:

• r_s — ставка займа акций;
• A(0)(1+r) — сумма, вложенная в облигацию;
• S(1) — стоимость выкупа акции в конце периода.

С учётом ставки займа акций r_s, условие отсутствия арбитража корректируется следующим образом:

0 \lt d \lt 1 + r - r_s \lt u

В данном конкретном примере значения r_s, удовлетворяющие неравенству, таковы:

0 \lt 0.82 \lt 1.07 - r_s \lt 1.052

Из этого следует:

• Если 0 \leq r_s \lt 0.018: Возможность арбитража сохраняется, так как чистая прибыль остаётся положительной в обоих сценариях.
• Если 0.018 \leq r_s \leq 0.25: Возможность арбитража исчезает, так как затраты на заём акций приводят к балансу, устраняя гарантированную прибыль.
• Если r_s \gt 0.25: В этом случае ни один рациональный инвестор не станет проводить операцию, так как расходы на заём превышают возможную прибыль. Поскольку будущая стоимость портфеля отрицательна во всех сценариях, самофинансируемый портфель в данных условиях математически невозможен.

Это приводит к скорректированному условию отсутствия арбитража:

0 \lt \dfrac{S(1,\text{baja})}{\beta S(0)} \lt 1 + r - r_s \lt \dfrac{S(1,\text{sube})}{\beta S(0)}

Отсюда получаем следующее неравенство для коэффициентов коррекции:

\beta \gt \dfrac{A(0) S(1,\text{baja}) \alpha}{S(0)(A(1) - r_s A(0)\alpha)}

и с учётом верхней границы получаем также:

\beta \lt \dfrac{A(0) S(1,\text{sube}) \alpha}{S(0)(A(1) - r_s A(0)\alpha)}

Используя численные данные нашего примера, при условии, что цена акции снижается, а стоимость облигации увеличивается, получаем:

\begin{array}{rl} \beta &\gt \dfrac{82\,\alpha}{107 - 1.5\alpha} \\[8pt] \beta &\lt \dfrac{105.2 \alpha}{107 - 1.5\alpha} \end{array}

Эти условия иллюстрируются на следующем графике, где подходящие значения находятся в тёмной области:





Таким образом, выбирая значения, удовлетворяющие неравенствам, рынок корректируется, устраняя возможность арбитража. Рассмотрим, например, коэффициенты коррекции:

\alpha = 1.05,\quad \beta = 0.95

Тогда скорректированные коэффициенты будут выглядеть следующим образом:

\begin{array}{rl} u^\prime &= \dfrac{S(1,\text{sube})}{\beta S(0)} = \dfrac{105.2}{0.95\cdot 100} \approx 1.107 \\[8pt] d^\prime &= \dfrac{S(1,\text{baja})}{\beta S(0)} = \dfrac{82}{0.95\cdot 100} \approx 0.863 \\[8pt] 1 + r^\prime &= \dfrac{A(1)}{\alpha A(0)} = \dfrac{107}{1.05 \cdot 100} \approx 1.019 \end{array}

Теперь проверим исправленную версию условия отсутствия арбитража:

0 \lt d^\prime \lt 1 + r^\prime - r_s \lt u^\prime

Подставим численные значения:

0 \lt 0.863 \lt 1.019 - 0.015 = 1.004 \lt 1.107

Таким образом, условие отсутствия арбитража выполняется, и рынок возвращается к равновесию.





Кроме того, можно вычислить скорректированные текущие стоимости активов, возникающие в результате давления инвесторов, стремящихся использовать возможности арбитража:

\begin{array}{rl} A^\prime(0) &= \alpha A(0) = 1.05\cdot 100 = 105 \\[6pt] S^\prime(0) &= \beta S(0) = 0.95\cdot 100 = 95 \end{array}




Доказательство теоремы об условии отсутствия арбитража

До этого момента мы изучили, как действует условие отсутствия арбитража. Теперь приступим к пошаговому доказательству этой теоремы. Для начала полезно определить признаки, указывающие на наличие арбитражной возможности:

• Связь между доходностями рискованных активов и безрисковых облигаций:

  Если доходность рискованного актива в худшем сценарии превышает безрисковую ставку, тогда можно профинансировать покупку актива, взяв заём под эту безрисковую ставку, гарантируя прибыль даже в худшем случае.

  Аналогично, если безрисковая ставка превышает доходность рискованного актива в лучшем сценарии, то можно провести арбитраж, продав актив в короткую позицию и инвестировав в облигацию, снова гарантируя прибыль без риска.

• Связь между безрисковой ставкой и ставкой заимствования:

  Дополняя предыдущий пункт, важно различать ставку займа акций r_s и безрисковую ставку r, особенно при анализе арбитражных стратегий и коротких продаж. В общем случае справедливо следующее неравенство:

  -1 \leq r \leq r_s

  Если это условие не выполняется, возможен арбитраж путём заимствования по более низкой ставке r_s и инвестирования в облигации под более высокую ставку r, получая безрисковую прибыль. Если такая возможность возникнет, инвесторы быстро её используют, пока рынок не скорректирует ставки, устраняя арбитраж. Кроме того, заимодавцы обычно требуют более высокую ставку, чтобы компенсировать риск дефолта.

  В упрощённых финансовых моделях часто предполагается равенство ставок r_s = r, а также обычно принимается r \geq 0, чтобы избежать отрицательных ставок, хотя это не является строгим требованием.

• Условия существования арбитража для портфеля:

  Стоимость портфеля в текущий момент времени t=0 задаётся формулой:

  V(0) = xS(0) + yA(0)

  где S(0) — текущая стоимость акций, а A(0) — текущая стоимость облигаций. Будущая стоимость портфеля в момент t=1 зависит от движения цены рискованного актива:

  V(1) = \begin{cases} x S(0) u + y A(0)(1 + r), &\text{если цена выросла},\\[6pt] x S(0) d + y A(0)(1 + r), &\text{если цена упала}. \end{cases}

  Арбитражная возможность существует тогда и только тогда, когда можно построить портфель (x,y), удовлетворяющий одновременно следующим трём условиям:

  1. V(0)=0, то есть портфель самофинансируем и не требует первоначальных вложений.
  2. V(1)\geq 0 при любом возможном исходе рынка, гарантируя отсутствие убытков.
  3. V(1) \gt 0 хотя бы в одном возможном исходе, гарантируя строго положительную прибыль.

Для построения доказательства введём следующие соглашения в обозначениях:

\begin{array}{rcl} V(1,\omega) &=& xS(1,\omega) + yA(1). \end{array}

Где \omega может принимать значения \text{sube} или \text{baja}. Кроме того, необходимо математически выразить условие, при котором существует портфель (x,y), использующий арбитражную возможность. Это записывается следующим образом:

\begin{array}{l} V(0) = 0, \\[6pt] \forall \omega \quad V(1,\omega) \geq 0, \\[6pt] \exists \omega \quad V(1,\omega) > 0. \end{array}

С этими определениями теперь можно формально записать математическое выражение, определяющее арбитражную возможность:

\begin{array}{rl} \text{Арбитраж}:= & V(0) = 0 \wedge (\exists xy\in\mathbb{R}\setminus\{0\})(\forall \omega \quad V(1,\omega) \geq 0) \wedge \cdots \\ & \cdots \wedge (\exists xy\in\mathbb{R}\setminus\{0\})(\exists \omega \quad V(1,\omega) \gt 0) \\[8pt] \text{Отсутствие арбитража}:= & \neg \text{Арбитраж}\\ = & V(0) \neq 0 \vee \neg(\exists xy\in\mathbb{R}\setminus\{0\})(\forall \omega \quad V(1,\omega) \geq 0) \vee \cdots \\ & \cdots \vee \neg(\exists xy\in\mathbb{R}\setminus\{0\})(\exists \omega \quad V(1,\omega) \gt 0) \end{array}

Наконец, множество предпосылок \mathcal{H}, на которых строится доказательство, записывается следующим образом:

\begin{array}{rcl} \mathcal{H} &=& \left\{ \right. V(0)=xS(0) + yA(0) = 0, \\[8pt] & &V(t,\omega) = xS(t,\omega) + yA(t), A(0), S(0) \gt 0, \\[8pt] & & S(1) = \begin{cases} S(1, \text{sube}) = S(0)u & \text{с вероятностью } p \\ S(1,\text{baja}) = S(0)d & \text{с вероятностью } 1-p \end{cases}, \\[8pt] & & 0 \lt d \lt u , \left. A(1) = A(0)(1+r), r\geq -1 \right\} \end{array}

Этот набор включает не только предпосылки теоремы, но и основные условия биномиальной модели с одним периодом.

С установленными принципами теперь мы переходим к математическому доказательству условий, которые должны выполняться в рынке без арбитража.

Формальное доказательство теоремы:

\begin{array}{rll} (1) & \mathcal{H} \models V(0) =xS(0) + yA(0) = 0 & \text{; Предположение} \\[6pt] (2) & \mathcal{H} \models V(1,\omega) =xS(1,\omega) + yA(1) & \text{; Предположение} \\[6pt] (3) & \mathcal{H} \models A(0) \gt 0 & \text{; Предположение} \\[6pt] (4) & \mathcal{H} \models S(0) \gt 0 & \text{; Предположение} \\[6pt] (5) & \mathcal{H} \models r \gt -1 & \text{; Предположение} \\[6pt] (6) & \mathcal{H} \models A(1) = (1+r) A(0) & \text{; Предположение} \\[6pt] (7) &\color{red}\mathcal{H} \models 0 \lt d \lt u \color{black}& \text{; Предположение} \\[8pt] (8) & \mathcal{H} \models S(1) = \begin{cases}S(1,\text{sube})=S(0)u & \text{, с вероятностью } p \\ S(1,\text{baja}) = S(0)d & \text{, с вероятностью } 1-p\end{cases} & \text{; Предположение} \\[8pt] (9) & \mathcal{H} \models y = \dfrac{-xS(0)}{A(0)} \wedge x\in\mathbb{R} & \text{; Из(1)} \\[6pt] (10)& \mathcal{H} \models V(1,\omega) =xS(1,\omega) - \dfrac{xS(0)}{A(0)} A(1) & \text{; Из(2,9)} \\[6pt] (11)& \mathcal{H} \models V(1,\omega) =xS(1,\omega) - x(1+r)S(0) & \text{; Из(6,10)} \\[6pt] &\text{Это будущая стоимость портфеля, финансируемого займом} &\\ &\text{под процентную ставку $r$ с целью финансирования акции.} &\\[6pt] (12)& \mathcal{H}\cup\{1+r\leq d\} \models 0 \leq (1+r)S(0) \leq \underbrace{S(0) d}_{S(1,\text{baja})} \lt \underbrace{S(0) u}_{S(1,\text{sube})} & \text{; Из(4,5,7,8)}\\[6pt] (13)& \mathcal{H}\cup\{1+r\leq d\} \models x(1+r)S(0) \leq xS(1,\omega) \leftrightarrow x\gt 0 & \text{; Из(12)}\\[6pt] (14)& \mathcal{H}\cup\{1+r\leq d\} \models (\exists xy\in\mathbb{R}\setminus\{0\})(\forall \omega\quad V(1,\omega) \geq 0) &\text{; Из(2,9,13)}\\[6pt] (15)& \mathcal{H}\cup\{1+r\leq d\} \models V(1,\omega) \gt 0 \leftrightarrow y \gt \dfrac{-xS(1,\omega)}{A(1)} = \dfrac{-xS(1,\omega)}{(1+r)A(0)} & \text{; Из(2,3,6,7,8)}\\[6pt] (16)&\mathcal{H}\cup\{1+r\leq d\} \models (\exists xy\in\mathbb{R}\setminus\{0\})(\exists \omega\quad V(1,\omega)\gt 0) &\text{; Из(14,15)}\\[6pt] (17)& \mathcal{H}\cup\{1+r\leq d\} \models \text{Арбитраж} &\text{; Из(1,14,16)}\\[6pt] (18)& \color{red}\mathcal{H}\cup\{\text{Отсутствие арбитража}\} \models d \lt 1+r\color{black}& \text{; RTD,CPI,TD(17)}\\[8pt] (19)& \mathcal{H}\cup\{u \leq 1+r\} \models 0 \lt \underbrace{S(0)d}_{S(1,\text{baja})} \lt \underbrace{S(0)u}_{S(1,\text{sube})} \leq (1+r)S(0) & \text{; Из(4,5,7,8)}\\ (20)& \mathcal{H}\cup\{u \leq 1+r\} \models xS(1,\omega) \leq x(1+r)S(0) \leftrightarrow x\gt 0 &\text{; Из(19)} \\[6pt] (21)&\mathcal{H}\cup\{u \leq 1+r\} \models \tilde{V}(0) = - V(0) = 0 & \text{; Из(1)}\\ (22)&\mathcal{H}\cup\{u \leq 1+r\} \models\tilde{V}(1,\omega)=-V(1,\omega) & \\ &\phantom{\mathcal{H}\cup\{u \leq 1+r\} \models\tilde{V}(1,\omega)}=-xS(1,\omega)+x(1+r)S(0) & \text{; Из(11)}\\ &\text{Это будущая стоимость портфеля, финансируемого} &\\ &\text{продажей акций в короткую позицию и покупкой} &\\ &\text{облигации с доходностью $r$.} & \\[6pt] (23)&\mathcal{H}\cup\{u \leq 1+r\} \models (\exists xy\in\mathbb{R}\setminus\{0\})(\forall \omega\quad \tilde{V}(1,\omega) \geq 0) & \text{; Из(2,9,20,22)}\\ (24)&\mathcal{H}\cup\{u \leq 1+r\} \models \tilde{V}(1,\omega)\gt 0 \leftrightarrow y \lt \dfrac{-xS(1,\omega)}{A(1)} = \dfrac{-xS(1,\omega)}{(1+r)A(0)} &\text{; Из(2,3,4,6,22)}\\ (25)&\mathcal{H}\cup\{u \leq 1+r\} \models(\exists xy\in\mathbb{R}\setminus\{0\})(\exists \omega\quad \tilde{V}(1,\omega)\gt 0) &\text{; Из(23,24)}\\ (26)&\mathcal{H}\cup\{u \leq 1+r\} \models \text{Арбитраж} &\text{; Из(21,23,25)}\\ (27)&\color{red}\mathcal{H}\cup\{\text{Отсутствие арбитража}\} \models 1+r \lt u\color{black}& \text{; RTD,CPI,TD(26)}\\ (28) &\mathcal{H}\cup\{\text{Отсутствие арбитража}\} \models 0\lt d\lt1+r\lt u &\text{;\color{red}$\wedge$-Int(Mon(7),18,27)}\color{black} \\[6pt] (29)& \boxed{\mathcal{H} \models\text{Отсутствие арбитража}\rightarrow 0\lt d\lt1+r\lt u} & \text{; TD(28)}\\ \\[6pt] (30)&\mathcal{H}\cup\{0\lt d\lt 1+r \lt u\} \models 0\lt d\lt 1+r \lt u & \text{; Предположение}\\ (31)&\mathcal{H}\cup\{0\lt d\lt 1+r \lt u\} \models xS(0)d\lt x(1+r)S(0) \lt xS(0)u \leftrightarrow x\gt 0 & \text{; Из(4,30)}\\ &\phantom{\mathcal{H}\cup\{0\lt d\lt 1+r \lt u\}} \models xS(0)d\lt x(1+r)S(0)\dfrac{A(0)}{A(0)} \lt xS(0)u \leftrightarrow x\gt 0 & \\ &\phantom{\mathcal{H}\cup\{0\lt d\lt 1+r \lt u\}} \models xS(0)d\lt -y(1+r)A(0) \lt xS(0)u \leftrightarrow x\gt 0 & \text{; Из(9)} \\[6pt] &\phantom{\mathcal{H}\cup\{0\lt d\lt 1+r \lt u\}} \models xS(1,\text{baja})\lt -yA(1) \lt xS(1,\text{sube}) \leftrightarrow x\gt 0 & \text{; Из(6,8)} \\[6pt] (32)& \mathcal{H}\cup\{0\lt d\lt 1+r \lt u\} \models V(1,\text{baja})\lt 0 \lt V(1,\text{sube}) \leftrightarrow x\gt 0 & \text{; Из(2,31)} \\[6pt] (33)& \mathcal{H}\cup\{0\lt d\lt 1+r \lt u\} \models V(1,\text{baja})\gt 0 \gt V(1,\text{sube}) \leftrightarrow x\lt 0 & \text{; Из(31,32)} \\[6pt] (34)&\mathcal{H}\cup\{0\lt d\lt 1+r \lt u\} \models \neg(\exists xy\in\mathbb{R}\setminus\{0\})(\forall \omega\quad V(1,\omega)\geq 0) & \text{; Из(32,33)} \\[6pt] (35)&\mathcal{H}\cup\{0\lt d\lt 1+r \lt u\} \models \text{Отсутствие арбитража} & \text{; $\vee$-int(34)}\\ (36)&\boxed{\mathcal{H} \models 0\lt d\lt 1+r \lt u \rightarrow \text{Отсутствие арбитража}} & \text{; TD(35)}\\ \\[6pt] (37)& \color{blue}\mathcal{H} \models 0\lt d\lt 1+r \lt u \leftrightarrow \text{Отсутствие арбитража}\color{black}\quad\blacksquare & \text{; Из(29,36)} \end{array}

Заключение

Однопериодная биномиальная модель и условие отсутствия арбитража являются фундаментальными элементами финансовой теории, обеспечивая структурированную основу для оценки активов и стабильности рынков. В ходе данной статьи мы рассмотрели, как арбитражные возможности, хотя и привлекательны в теории, быстро устраняются рыночными силами через корректировку цен активов и процентных ставок. Мы математически доказали, что соотношение между коэффициентами роста и падения актива и безрисковой процентной ставкой играет ключевую роль в обеспечении эффективности рынка и устранении безрисковых возможностей заработка.

Кроме того, мы увидели, что даже если на рынке возникают арбитражные возможности, механизмы, такие как давление на цены, стоимость займов и перестройка рыночных параметров, неизбежно приводят к восстановлению равновесия. Таким образом, становится очевидным, что арбитраж — это не просто временная аномалия, а фундаментальный элемент динамики финансовых рынков, который способствует их эффективности и математической согласованности.

Просмотры: 1