Область определения, область значений и график — предложенные и решённые
Резюме:
На этом занятии мы практикуем определение области определения, области значений и графика алгебраических функций с помощью упражнений и решённых примеров, подчёркивая важность практики для освоения этих методов.
Цели обучения:
К концу этого занятия студент сможет:
- Понять, как определить область определения алгебраических функций.
- Определить область значений различных типов функций.
- Построить график алгебраических функций в декартовой системе координат.
- Применять методы упрощения для решения более сложных функций.
Как овладеть методами
Чтобы овладеть методами, позволяющими определять область определения, область значений и график, по крайней мере на этом уровне, нет необходимости рассматривать больше теории, чем мы уже прошли. На данном этапе лучше всего делать упражнения, а лучший способ практиковаться — это придумывать случайные задачи. Только так вы действительно узнаете пределы изученных методов и разовьёте интуицию, которая позволит вам действовать с уверенностью.
То, что мы будем делать дальше, — это именно то: я придумаю несколько случайных задач и решу их в рамках изученных методов; если решить их с помощью этих методов невозможно, я объясню, в каких точках они не работают и почему.
Практические упражнения:
Определите область определения, область значений и график следующих функций:
- a(x) = \displaystyle \frac{x^3 - 3x^2 + 5x - 1}{x^2 + 2x - 1}
- b(x) = \displaystyle \frac{4x^4 + 2x^3 - 5x^2 - 2x - 2}{2x^2 - x - 1}
- c(x) = \displaystyle \frac{x^5 + x^3 - x - 1}{x^2 - x - 1}
- d(x) = \displaystyle \frac{3x^2 - 3x - 2}{\sqrt{x^2 - 1}}
- e(x) = \displaystyle \sqrt{\frac{x^4 - x^2 - 11}{(x^2 - 1)\sqrt{x^2 - x - 1}}}
- f(x) = \displaystyle \frac{(x^2 - 2x - 2)\sqrt{7x^8 - 5x^4 - 2}}{x\sqrt{5x^2 - 3x + 2}}
Решение практических упражнений:
Предложенные упражнения:
Следующие предложенные упражнения аналогичны ранее решённым; я просто изменил числа. Структура такая же, поэтому предыдущие решения могут быть полезными. Если вы ещё недостаточно уверенно владеете этими методами, вы всегда можете воспользоваться онлайн-инструментами, такими как WolframAlpha и GeoGebra. Если у вас возникают трудности с алгеброй, повторение следующих занятий вам поможет:
Как и в предыдущих упражнениях, вам нужно вычислить область определения, область значений и график.
- a(x) = \displaystyle \frac{-5x^3 + 9x^2 - 7x - 2}{5x^2 + 3x + 9}
- b(x) = \displaystyle \frac{-8x^4 + 2x^3 + 4x^2 + 4x + 1}{3x^2 - 9x + 3}
- c(x) = \displaystyle \frac{-7x^5 + 9x^3 + 7x + 5}{-2x^2 - 8x + 6}
- d(x) = \displaystyle \frac{4x^2 - 4x - 9}{\sqrt{-3x^2 + 7}}
- e(x) = \displaystyle \sqrt{\frac{9x^4 + 2x^2 + 7}{(-8x^2 + 4)\sqrt{-6x^2 + 9x + 5}}}
- f(x) = \displaystyle \frac{(7x^2 + 6x - 1)\sqrt{9x^8 + 3x^4 + 9}}{5x\sqrt{3x^2 + 8x - 3}}
Отсюда, если вы хотите практиковаться дальше, лучший способ — придумать свои собственные функции и попробовать их решить.