5 симметрий пропозициональной логики
Резюме:
На протяжении этого урока мы исследуем, как двойное отрицание, гипотетический силлогизм, контрапозитив импликации, теоремы дедукции и определения связок объединяются, чтобы образовать симметрии пропозициональной логики. С помощью четких и простых доказательств вы научитесь овладевать эквивалентностями и применять их в своих логических задачах.
Симметрии, рассматриваемые на уроке, включают: \downarrow-симметрия, \vee-симметрия, \wedge-симметрия, \leftrightarrow-симметрия и \veebar-симметрия. Кроме того, подчеркиваются взаимодействия между доказательствами и то, как каждое из них опирается на предыдущее, чтобы упростить будущие дедукции. Этот урок не только предоставит вам глубокое знание пропозициональной логики, но и научит вас использовать предыдущие доказательства для оптимизации вашего учебного процесса.
Учебные цели:
К концу этого урока студент сможет
- Запомнить основные понятия пропозициональной логики, такие как гипотетический силлогизм и двойное отрицание.
- Распознавать 5 симметрий пропозициональной логики.
- Понимать процесс доказательства эквивалентностей симметрий.
- Применять предположение, теорему дедукции и ее обратное в доказательствах.
- Связывать определения логических связок с симметриями.
- Оценивать важность проведения доказательств только один раз и их повторного использования в будущих доказательствах.
- Развивать аналитические и критические навыки при выполнении логических доказательств.
Оглавление
\vee — симметрия
\downarrow — симметрия
\wedge — симметрия
\leftrightarrow — симметрия
\veebar — симметрия
Заключительные замечания
Прямым следствием гипотетического силлогизма, двойного отрицания и контрапозитива импликации, теорем дедукции и определений связок являются 5 симметрий пропозициональной логики, которые мы рассмотрим далее.
| (\alpha \downarrow \beta) \dashv\vdash (\beta\downarrow \alpha) | \downarrow-симметрия |
| (\alpha \vee \beta) \dashv\vdash (\beta\vee \alpha) | \vee-симметрия |
| (\alpha \wedge \beta) \dashv\vdash (\beta\wedge \alpha) | \wedge-симметрия |
| (\alpha \leftrightarrow \beta) \dashv\vdash (\beta\leftrightarrow \alpha) | \leftrightarrow-симметрия |
| (\alpha \veebar \beta) \dashv\vdash (\beta\veebar\alpha) | \veebar-симметрия |
Доказательства этих эквивалентностей не совсем тривиальны, но в отличие от некоторых доказательств, которые мы уже видели, они довольно просты. Ниже приведено доказательство каждого в одном направлении; доказательство в обратном направлении практически идентично и остается в качестве упражнения для читателя.
\vee-симметрия
| (1) | \{(\alpha \vee \beta)\}\vdash (\alpha \vee\beta) | ; Предположение |
| (2) | \{(\alpha \vee \beta)\}\vdash (\neg \alpha \rightarrow \beta) | ; потому что (\alpha \vee \beta) := (\neg \alpha \rightarrow \beta) |
| (3) | \{(\alpha \vee \beta)\}\vdash (\neg \beta \rightarrow \alpha) | ; CPI(2) |
| (4) | \boxed{\{(\alpha \vee \beta)\}\vdash ( \beta \vee \alpha)} | ; потому что ( \beta \vee \alpha) := (\neg\beta\rightarrow\alpha) |
Обратное рассуждение получается с минимальными изменениями, начиная с предположения \{(\beta\vee\alpha)\}\vdash (\beta\vee\alpha)
\downarrow-симметрия
| (1) | \{\neg(\alpha \downarrow \beta)\}\vdash \neg(\alpha \downarrow \beta) | ; Предположение |
| (2) | \{\neg(\alpha \downarrow \beta)\}\vdash (\alpha \vee \beta) | ; из (1) потому что (\alpha\vee\beta) := \neg(\alpha \downarrow \beta) |
| (3) | \{\neg(\alpha \downarrow \beta)\}\vdash (\beta \vee \alpha) | ; \vee-симметрия |
| (4) | \vdash (\neg(\alpha \downarrow \beta) \rightarrow (\beta \vee \alpha)) | ; TD(3) |
| (5) | \vdash (\neg(\beta \vee \alpha) \rightarrow (\alpha \downarrow \beta)) | ; CPI(4) |
| (6) | \vdash ((\beta \downarrow \alpha) \rightarrow (\alpha \downarrow \beta)) | ; из (5) потому что (\beta\vee\alpha) := \neg(\beta \downarrow \alpha) |
| (7) | \boxed{\{(\beta \downarrow \alpha) \} \vdash (\alpha \downarrow \beta)} | ; RTD(6) |
Наконец, обратное рассуждение получается, начиная с предположения \{\neg(\beta\downarrow\alpha)\}\vdash \neg(\beta\downarrow\alpha)
\wedge-симметрия
| (1) | \{(\alpha \wedge \beta)\} \vdash (\alpha \wedge \beta) | ; Предположение |
| (2) | \{(\alpha \wedge \beta)\} \vdash (\neg\alpha \downarrow \neg\beta) | ; из (1) потому что (\alpha \wedge \beta) := (\neg\alpha \downarrow \neg\beta) |
| (3) | \{(\alpha \wedge \beta)\} \vdash (\neg\beta \downarrow \neg\alpha) | ; \downarrow-симметрия (2) |
| (4) | \boxed{\{(\alpha \wedge \beta)\} \vdash ( \beta \wedge \alpha)} | ; из (3) потому что (\beta \wedge \alpha) := (\neg\beta \downarrow \neg\alpha) |
Как и в предыдущем случае, обратное рассуждение получается с минимальными изменениями, начиная с предположения \{( \beta \wedge \alpha)\}\vdash ( \beta \wedge \alpha)
\leftrightarrow-симметрия
| (1) | \{(\alpha \leftrightarrow \beta)\} \vdash (\alpha \leftrightarrow \beta) | ; Предположение |
| (2) | \{(\alpha \leftrightarrow \beta)\} \vdash ((\alpha \rightarrow \beta) \wedge (\alpha \rightarrow \beta)) | ; из (1) потому что (\alpha \leftrightarrow \beta) := ((\alpha \rightarrow \beta) \wedge (\beta \rightarrow \alpha)) |
| (3) | \{(\alpha \leftrightarrow \beta)\} \vdash ((\beta \rightarrow \alpha) \wedge (\alpha \rightarrow \beta) ) | ; \wedge-симметрия(2) |
| (4) | \boxed{\{(\alpha \leftrightarrow \beta)\} \vdash (\beta \leftrightarrow \alpha)} | ; из (3) потому что (\beta \leftrightarrow \alpha) := ((\beta \rightarrow \alpha) \wedge (\alpha \rightarrow \beta)) |
Как и в предыдущем случае, но начиная с предположения \{( \beta \leftrightarrow \alpha)\}\vdash ( \beta\leftrightarrow \alpha)
\veebar-симметрия
| (1) | \{(\alpha \leftrightarrow \beta)\} \vdash (\alpha \leftrightarrow \beta) | ; Предположение |
| (2) | \{(\alpha \leftrightarrow \beta)\} \vdash ( \beta \leftrightarrow \alpha) | ; \leftrightarrow-симметрия(1) |
| (3) | \vdash ((\alpha \leftrightarrow \beta) \rightarrow ( \beta \leftrightarrow \alpha)) | ; TD(2) |
| (4) | \vdash (\neg ( \beta \leftrightarrow \alpha) \rightarrow \neg (\alpha \leftrightarrow \beta)) | ; CPI(3) |
| (5) | \{\neg ( \beta \leftrightarrow \alpha)\} \vdash \neg (\alpha \leftrightarrow \beta) | ; RTD(4) |
| (6) | \boxed{\{ ( \beta \veebar \alpha)\} \vdash (\alpha \veebar \beta)} | ; из (5) потому что ( \beta \veebar \alpha) := \neg\beta \leftrightarrow \alpha) и (\alpha \veebar \beta) := \neg (\alpha \leftrightarrow \beta) |
Как и в остальных случаях, достаточно проверить предположение в обратном направлении \{(\beta \leftrightarrow \alpha)\} \vdash (\beta \leftrightarrow \alpha), чтобы получить доказательство в этом направлении.
Заключительные замечания
На что должен обратить внимание читатель, так это на порядок, в котором выбраны доказательства этих 5 симметрий пропозициональной логики. Обратите внимание, что каждое из них сделано таким образом, чтобы использовать некоторые из ранее выполненных доказательств. Это отражает подход, который следует соблюдать при выполнении доказательств: доказательства выполняются только один раз (и никогда больше!); после этого ваша цель должна быть сосредоточена на использовании предыдущих доказательств для упрощения будущих выводов.