Что такое равномерно ускоренное прямолинейное движение?

Равномерно ускоренное прямолинейное движение, сокращенно РУПД, это вид движения, который мы уже изучали косвенно. Вы увидите это, когда мы рассмотрим, как оно моделируется с помощью уравнений траектории. Но если нам нужна быстрая характеристика, РУПД — это тип движения, при котором ускорение постоянно как по величине, так и по направлению, и оно происходит по прямой линии, то есть в одном измерении.

Равномерно ускоренное прямолинейное движение из уравнений траектории

Вывод РУПД является прямым результатом работы, которую мы проделали для получения уравнений траектории путем интегрирования на предыдущих занятиях. Поскольку РУПД — это движение с постоянным и одномерным ускорением, нам достаточно сделать выводы на единственной координатной оси; если мы рассуждаем на оси \hat{x}, мы получаем следующее:

\begin{array}{rcl} a_x(t) & =& a_{0x} \\ \\ v_x(t) & =& \int a_{0x}dt = a_{0x}t + v_{0x} \\ \\ x(t) & =& \displaystyle \int v_{x}(t)dt = \frac{1}{2}a_{0x}t^2 + v_{0x}t + x_0 \end{array}

Здесь, a_{0x}, v_{0x} и x_0 являются постоянными, причем последние две являются постоянными интегрирования. С этим у нас есть полная модель равномерно ускоренного прямолинейного движения в направлении оси \hat{x}. Рассуждение для любой другой оси полностью аналогично.

РУПД и случай свободного падения

Один из самых показательных случаев РУПД — это свободное падение. Это равномерно ускоренное прямолинейное движение, которое развивается вертикально и вызвано ускорением гравитации. Его модель через уравнения траектории выглядит следующим образом:

\begin{array}{rcl} a_y(t) & =& -g \\ \\ v_y(t) & =& -gt + v_{0y} \\ \\ y(t) & =& \displaystyle - \frac{1}{2}gt^2 + v_{0y}t+ y_0 \end{array}

Здесь ускорение свободного падения g=9,81[m/s^2]. Обычно свободное падение начинается с состояния покоя (v_{0y}=0) и начальной высоты y_0=h, так что уравнения упрощаются до

\begin{array}{rcl} a_y(t) & =& -g \\ \\ v_y(t) & =& -gt \\ \\ y(t) & =& \displaystyle - \frac{1}{2}gt^2 + h \end{array}

Неважно, какое уравнение у вас есть, можно извлечь информацию, «задавая правильные вопросы» уравнениям.

Если тело начинает с покоя с высоты h

Сколько времени потребуется, чтобы упасть?

Если мы спросим это у уравнений, они скажут нам, что «тело касается земли, когда высота равна нулю», то есть y(t)=0. Если это так, нам нужно решить уравнение для времени \displaystyle \frac{1}{2}gt^2 + h = 0. Отсюда получается два возможных результата:

\displaystyle t=\pm\sqrt{\frac{2h}{g}}

Отрицательное время указывает на прошлое, а положительное на будущее. Поскольку падение происходит в будущем, мы можем определить время падения как

\displaystyle t_{падения}=+\sqrt{\frac{2h}{g}}

С какой скоростью оно достигает земли?

Этот вопрос мы можем ответить, просто подставив время падения в уравнение скорости. Если мы это сделаем, мы получим скорость падения:

\displaystyle v_{падения} = v_y(t_{падения})=-g\sqrt{\frac{2h}{g}}=-\sqrt{\frac{2g^2h}{g}} = -\sqrt{2gh}

Упражнения, связанные с равномерно ускоренным прямолинейным движением

1. Мобильное устройство проходит через начало координат с начальной скоростью v_0=10[km/h] и с ускорением a_0=\displaystyle \frac{20[km/h]}{5[s]}. Рассчитайте положение и скорость мобильного устройства в моменты времени: a) t=5[s], b) t=10[s], c) t=15[s] и d) t=1[min]. [РЕШЕНИЕ]
2. Человек бросает стальной шар и камень с высоты 20[m] одновременно из состояния покоя. Оба объекта имеют одинаковые размеры, но разный вес. Сколько времени они падают и с какой скоростью движутся в момент удара о землю? Может ли одно из этих тел падать быстрее другого или достичь большей скорости? [РЕШЕНИЕ]
3. Монета брошена на дно колодца. Звук, указывающий, что монета достигла дна, слышен через 10 [s]. Какова глубина колодца? [РЕШЕНИЕ]
4. Человек плюет вертикально в небо, и через 1,2[s] он падает ему на лицо. a) С какой скоростью он плевал? b) Какую высоту достиг плевок? [РЕШЕНИЕ]