Простая модель рынка:
Основные понятия и предположения

Резюме:
Этот урок вводит «Простую модель рынка», подход, который облегчает изучение ключевых инвестиционных концепций, комбинируя безрисковые активы (облигации, с известной доходностью) и рисковые активы (акции, с неопределенной доходностью). Мы увидим, как эти активы могут быть объединены в портфель, который, при правильном управлении, позволяет получать доходность выше банковских процентов, сбалансировав рост и безопасность. Кроме того, мы научимся рассчитывать доходность этих активов на упрощенной временной шкале (настоящее и будущее) и анализировать рыночные предположения, такие как случайность цен и платежеспособность, чтобы принимать обоснованные решения по инвестициям и рискам.

Цели обучения:
По завершении этого урока студент сможет:

• Распознавать характеристики простой модели рынка, а также рисковых и безрисковых активов при принятии инвестиционных решений.
• Понимать разницу между рисковыми и безрисковыми активами, определяя, как каждый из них влияет на доходность и риск в портфеле.
• Применять формулы для расчета доходности инвестиций в рисковые и безрисковые активы, используя начальные и конечные цены.
• Анализировать создание портфелей, которые комбинируют рисковые и безрисковые активы для оптимизации доходности при управлении риском в простой модели рынка.
• Оценивать влияние рыночных сценариев на стоимость и доходность портфеля, учитывая изменения в цене активов.
• Применять вероятность для расчета ожидаемой доходности в условиях рыночной неопределенности, определяя возможные финансовые результаты.

СОДЕРЖАНИЕ
Введение
Определения и теоретические предположения
Рисковые и безрисковые активы
Временная шкала в модели
Доходность инвестиции
Строительство и оценка портфеля
Основные предположения модели
Решенные примеры
Предложенные упражнения

Введение

Представьте, что вы только что получили бонус на работе и накопили значительную сумму на счете. Однако, наблюдая за текущими процентными ставками и влиянием инфляции, вас беспокоит то, что покупательная способность ваших сбережений с текущем временем уменьшается. Вы хотите, чтобы ваши деньги не только сохранялись, но и расти.

Вы слышали, что инвестиции в акции и облигации могут быть хорошим способом увеличить деньги. Вы знаете, что некоторые активы, такие как облигации, безопасны, в то время как другие, как акции, предлагают большую доходность, но несут больший риск. Вы задумываетесь, можно ли сочетать оба типа активов в одной стратегии, чтобы заработать больше, чем банковские проценты, не несущи слишком большого риска.

Вы решаете поискать и находите подход, называемый «Простая модель рынка», который облегчает изучение основных понятий рисковых и безрисковых активов, доходности и создания портфеля. Эта модель подходит для начинающих, поскольку она упрощает финансовый анализ, сосредотачиваясь на двух точках времени: настоящее и будущее.

С этой мотивацией вы решаете узнать больше о том, как расчитать доходность инвестиции и создать портфель, который максимизирует ваши доходы. Постепенно мы погрузимся в эти понятия, чтобы вы могли принимать основанные на данных решения и лучше управлять личными финансами.

Теперь, когда вы готовы, погрузимся в теоретические знания, которые вам нужны для понимания этой рыночной модели и принятия решений о вложениях.

Определения и теоретические предположения

Рисковые и безрисковые активы

Чтобы начать разбираться в простой модели рынка, нам нужно ознакомиться с понятиями рисковые активы и безрисковые активы. Эти два типа активов составляют основу большинства инвестиционных стратегий.

Безрисковый актив — это тип инвестиции, рентабельность которой заранее известна и гарантирована. Классический пример безрискового актива — это облигация, выпущенная правительством или стабильной финансовой институцией, которая гарантирует выплату фиксированного процента на конец периода. Эти облигации могут рассматриваться как депозиты на счете в банке или долговые инструменты, предлагающие предсказуемую и стабильную рентабельность.

С другой стороны, рисковый актив — это тот, чья будущая цена неизвестна и может меняться, как в сторону повышения, так и в сторону понижения. Обычный пример рискового актива — это акции компаний, которые торгуются на бирже. Акции могут быть волатильными, и их цена зависит от многих факторов, что делает их будущую стоимость непредсказуемой.

Временная шкала в модели

В простой модели рынка мы ограничиваем анализ только двумя моментами времени: настоящее время, которое мы обозначаем t = 0 , и момент в будущем, например через год, который мы обозначаем t = 1 . Этот упрощенный подход позволяет анализировать изменения ценности активов, не вступая в лишнюю сложность.

Эта модель двух точек времени особенно полезна для начинающих, так как она облегчает понимание того, как изменяются цены активов в разное время и как эти изменения влияют на стоимость портфеля.

Рентабельность инвестиции

Рентабельность определяет, сколько значения набрала или потеряла инвестиция за определенный период времени. В зависимости от типа актива, расчет рентабельности может быть неопределенным или заранее определенным.

Для рискового актива, каким является акция, рентабельность неопределенна и рассчитывается при помощи начальной и будущей цены актива. Если цена акции в момент времени t обозначается как S(t) , то рентабельность акции между t = 0 и t = 1 рассчитывается следующим образом:

K_S = \dfrac{S(1) - S(0)}{S(0)}

Эта рентабельность, обозначенная как K_S , является долей от начальной стоимости акции и может быть положительной (если цена акции выросла), отрицательной (если она упала) или нулевой (если цена не изменилась).

Для безрискового актива, такого как облигация, рентабельность заранее известна. Если мы обозначаем цену облигации в время t как A(t) , то рентабельность этой облигации между t = 0 и t = 1 рассчитывается следующим образом:

K_A = \dfrac{A(1) - A(0)}{A(0)}

Эта рентабельность, K_A , является фиксированной и гарантируется эмитентом облигации. Ключевое различие между K_S и K_A — это уверенность: пока рентабельность акции неопределена, рентабельность облигации фиксирована и известна.

Построение и Оценка Портфеля

Теперь, когда мы понимаем концепцию доходности, мы можем комбинировать рисковые и безрисковые активы, чтобы сформировать портфель. Предположим, что вы решаете создать портфель, содержащий x акций и y облигаций. Общая стоимость портфеля в любой момент времени t равна:

V(t) = xS(t) + yA(t)

Здесь V(t) представляет общую стоимость портфеля, которая является суммой стоимости акций ( xS(t) ) и стоимости облигаций ( yA(t) ).

В начальный момент времени ( t = 0 ) стоимость портфеля известна, если мы знаем количество акций и облигаций и их текущие цены. Однако в момент времени t = 1 стоимость акций может измениться, делая стоимость портфеля неопределенной.

Основные Предположения Модели

Чтобы упростить модель, мы устанавливаем некоторые ключевые предположения, которые позволяют делать расчеты и анализ более управляемыми:

• Предположение Случайности: Цена акции в будущем ( S(1) ) является случайной величиной, что означает, что она может принимать различные значения в зависимости от непредсказуемых факторов рынка.
• Положительность Цен: Все цены акций и облигаций строго положительны, то есть S(t) > 0 и A(t) > 0 для t = 0, 1 . Это предположение гарантирует, что значения активов реалистичны.
• Делимость, Ликвидность: Активы могут покупаться в дробных количествах, что позволяет инвесторам настраивать свои портфели без ограничений. Кроме того, предполагается, что активы можно покупать или продавать в любом количестве.
• Платежеспособность: Общая стоимость активов инвестора должна быть неотрицательной в любой момент времени, то есть V(t) \geq 0 . Это означает, что невозможно потерять больше, чем было инвестировано.
• Дискретные Цены: Будущая цена акции S(1) является случайной величиной, которая может принимать только конечное число возможных значений. Это упрощает анализ и моделирование рынка.

С этими предположениями модель становится более управляемой, позволяя нам анализировать доходность и стоимость портфеля без дополнительных сложностей.

До сих пор мы охватили основные теоретические концепции для понимания простой модели рынка. В следующем разделе мы применим эти знания в практических упражнениях, чтобы увидеть, как рассчитать стоимость и доходность портфеля в различных сценариях.

Решенные Примеры

Упражнение 1: Расчет доходности облигаций (безрисковый актив)

Предположим, у вас есть облигация, цена которой в начальный момент времени составляет A(0) = 100 долларов. Через год стоимость облигации увеличивается до A(1) = 110 долларов.

Вопрос: Какова доходность этой инвестиции в облигации?

Решение: Поскольку облигация является безрисковым активом, доходность гарантирована и может быть рассчитана с использованием формулы доходности для безрисковых активов:

K_A = \dfrac{A(1) - A(0)}{A(0)}

Подставляя значения:

K_A = \dfrac{110 - 100}{100} = \dfrac{10}{100} = 0.10

Доходность составляет 10%.

—

Упражнение 2: Расчет доходности акций (рисковый актив)

Предположим, вы покупаете акцию по цене S(0) = 50 долларов. Через год цена акции может измениться. Есть два возможных сценария:

• Если рынок растет, цена акции составит S(1) = 52 долларов с вероятностью p .
• Если рынок падает, цена акции составит S(1) = 48 долларов с вероятностью 1 - p .

Вопрос: В простой рыночной модели какова доходность этой инвестиции в каждом сценарии?

Решение: Доходность акций, как рискового актива, неопределенна и рассчитывается с использованием формулы доходности для рисковых активов:

K_S = \dfrac{S(1) - S(0)}{S(0)}

Рассчитаем доходность для каждого сценария:

• Если цена увеличивается до 52 долларов:

K_S = \dfrac{52 - 50}{50} = \dfrac{2}{50} = 0.04

Доходность в этом случае составляет 4%.

• Если цена уменьшается до 48 долларов:

K_S = \dfrac{48 - 50}{50} = \dfrac{-2}{50} = -0.04

Доходность в этом случае составляет -4%.

Таким образом, в зависимости от поведения рынка доходность может быть положительной (4%) или отрицательной (-4%).

—

Упражнение 3: Стоимость портфеля с рисковыми и безрисковыми активами

Предположим, вы решили создать портфель, содержащий 20 акций и 10 облигаций. Известно, что:

• Цена одной акции в начальный момент времени составляет S(0) = 50 долларов.
• Цена одной облигации в начальный момент времени составляет A(0) = 100 долларов.

Вопрос: Какова стоимость этого портфеля в начальный момент времени t = 0 ?

Решение: Стоимость портфеля в момент времени t рассчитывается как:

V(t) = xS(t) + yA(t)

Где x — количество акций, а y — количество облигаций.

Подставляя значения:

V(0) = (20)(50) + (10)(100)

V(0) = 1000 + 1000 = 2000

Стоимость портфеля в начальный момент времени t = 0 составляет 2000 долларов.

—

Упражнение 4: Расчет доходности смешанного портфеля

Предположим, что цена активов в портфеле из Упражнения 3 меняется во времени t = 1 следующим образом:

• Если рынок растет, цена акции составит S(1) = 52 , а облигации — A(1) = 110 .
• Если рынок падает, цена акции составит S(1) = 48 , а облигации — A(1) = 110 .

Вопрос: В простой рыночной модели какова стоимость и доходность портфеля в каждом сценарии?

Решение:

Сценарий 1: Рынок растет

V(1) = (20)(52) + (10)(110)

V(1) = 1040 + 1100 = 2140

Стоимость портфеля в этом случае составляет 2140 долларов.

Доходность портфеля:

K_V = \dfrac{V(1) - V(0)}{V(0)} = \dfrac{2140 - 2000}{2000} = \dfrac{140}{2000} = 0.07

Доходность составляет 7%.

Сценарий 2: Рынок падает

V(1) = (20)(48) + (10)(110)

V(1) = 960 + 1100 = 2060

Стоимость портфеля в этом случае составляет 2060 долларов.

Доходность портфеля:

K_V = \dfrac{V(1) - V(0)}{V(0)} = \dfrac{2060 - 2000}{2000} = \dfrac{60}{2000} = 0.03

Доходность составляет 3%.

Таким образом, доходность портфеля зависит от поведения рынка. Если рынок растет, доходность составляет 7%; если рынок падает, доходность составляет 3%.

Упражнение 5: Расчет ожидаемой доходности смешанного портфеля

Предположим, что вы решили создать смешанный портфель со следующим распределением:

• 50% вашей инвестиции вложено в безрисковые облигации с начальной ценой A(0) = 100 и конечной ценой через год A(1) = 105 .
• 50% вашей инвестиции вложено в рисковые акции с начальной ценой S(0) = 50 . Через год цена акции может составить S(1) = 55 , если рынок растет (с вероятностью 0.7), или S(1) = 45 , если рынок падает (с вероятностью 0.3).

Вопрос: Какова ожидаемая доходность всего портфеля, учитывая вероятность роста или падения рынка?

Решение:

1. Сначала рассчитываем доходность каждого типа актива:

• Для безрисковых облигаций:

K_A = \dfrac{A(1) - A(0)}{A(0)} = \dfrac{105 - 100}{100} = 0.05 (5%)

• Для акций в каждом сценарии:
• Если рынок растет:

K_S^{\text{рост}} = \dfrac{55 - 50}{50} = 0.10 (10%)

• Если рынок падает:

K_S^{\text{падение}} = \dfrac{45 - 50}{50} = -0.10 (-10%)

2. Рассчитываем ожидаемую доходность акций, учитывая вероятности:

\text{Ожидаемая доходность акций} = (0.7 \times 0.10) + (0.3 \times -0.10) = 0.04 (4%)

3. Теперь рассчитываем взвешенную доходность портфеля, учитывая, что 50% вложено в облигации и 50% — в акции:

K_{\text{портфель}} = (0.5 \times 0.05) + (0.5 \times 0.04) = 0.045 (4.5%)

Ответ: Ожидаемая доходность всего портфеля составляет 4.5%.

—

Упражнение 6: Оценка риска и доходности портфеля с короткой продажей в простой рыночной модели

Предположим, у вас есть стратегия, при которой вы инвестируете 2000 долларов в безрисковые облигации с гарантированной доходностью 3% в конце года. Кроме того, вы занимаете 1000 долларов для короткой продажи акций с целью снижения их цены и получения прибыли. В настоящий момент акции имеют цену S(0) = 50 долларов за акцию, а в конце года цена может быть:

• S(1) = 40 долларов, если рынок падает (с вероятностью 0.6).
• S(1) = 60 долларов, если рынок растет (с вероятностью 0.4).

Вопрос: Какова ожидаемая доходность портфеля и каков риск, связанный с короткой продажей, измеряемый стандартным отклонением доходностей?

Решение:

Расчет ожидаемой доходности

Сначала рассчитываем доходность безрисковых облигаций:

K_A = 0.03 (3%)

Для короткой продажи рассчитываем прибыль или убыток в каждом сценарии:

• Если рынок падает:

Короткая продажа была произведена по 50 долларов за акцию, а цена в конце года составит 40 долларов. Прибыль с каждой акции:

50 - 40 = 10 долларов

Если было занято 1000 долларов, это эквивалентно короткой продаже \dfrac{1000}{50} = 20 акций. Общая прибыль:

20 \times 10 = 200 долларов

• Если рынок растет:

Короткая продажа была произведена по 50 долларов за акцию, а цена в конце года составит 60 долларов. Убыток с каждой акции:

50 - 60 = -10 долларов

Для 20 акций общий убыток:

20 \times -10 = -200 долларов

Рассчитываем ожидаемую доходность короткой продажи:

\text{Ожидаемая доходность короткой продажи} = (0.6 \times 200) + (0.4 \times -200) = 120 - 80 = 40 долларов

Расчет дисперсии и стандартного отклонения для измерения риска

Теперь для измерения риска в простой рыночной модели вычисляем дисперсию доходностей короткой продажи. Формула дисперсии, основанная на вероятностях и возможных результатах:

\text{Дисперсия} = (0.6) \times (200 - 40)^2 + (0.4) \times (-200 - 40)^2 = 38400

Наконец, рассчитываем стандартное отклонение как квадратный корень из дисперсии:

\text{Стандартное отклонение} = \sqrt{38400} \approx 196

Интерпретация стандартного отклонения в контексте нормального распределения

Стандартное отклонение измеряет разброс значений относительно среднего. В контексте нормального распределения стандартное отклонение играет важную роль в понимании риска и вероятности различных доходностей.

Связь между стандартным отклонением и нормальным распределением

Нормальное распределение (или кривая Гаусса) — это симметричное распределение вероятностей относительно среднего, где большинство значений сосредоточены около среднего. Доходности многих финансовых инструментов, таких как хорошо диверсифицированные портфели, часто близки к нормальному распределению.

В нормальном распределении:

• Примерно 68% значений находятся в пределах одного стандартного отклонения от среднего.
• Примерно 95% значений находятся в пределах двух стандартных отклонений от среднего.
• Примерно 99.7% значений находятся в пределах трех стандартных отклонений от среднего.

Если предположить, что доходности короткой продажи следуют нормальному распределению, стандартное отклонение в 196 долларов позволяет оценить вероятность получения определенных доходностей вокруг ожидаемого значения.

Предлагаемые Упражнения

Упражнение 1: Расчет Доходности Облигации

Предположим, вы покупаете безрисковую облигацию по начальной цене A(0) = 200 долларов, и к концу года цена облигации увеличивается до A(1) = 220 долларов.

Вопрос: Какова доходность этой инвестиции в облигацию?

—

Упражнение 2: Доходность Рисковой Акции в Вероятностных Сценариях

Вы покупаете акцию по начальной цене S(0) = 100 долларов. К концу года цена акции может составить S(1) = 110 с вероятностью 0.5, или S(1) = 90 с вероятностью 0.5.

Вопрос: Рассчитайте доходность в каждом сценарии и ожидаемую доходность этой инвестиции в акцию.

—

Упражнение 3: Стоимость Смешанного Портфеля

Вы создаете портфель из 15 акций и 5 облигаций. В начале цена каждой акции составляет S(0) = 30 долларов, а цена каждой облигации — A(0) = 100 долларов.

Вопрос: Какова общая стоимость вашего портфеля в момент t = 0 ?

—

Упражнение 4: Доходность Портфеля в Различных Сценариях Рынка

Для портфеля из предыдущего упражнения к концу года цена акции может составить S(1) = 35 , если рынок растет, или S(1) = 25 , если рынок падает. Безрисковая облигация будет иметь цену A(1) = 105 в обоих случаях.

Вопрос: Рассчитайте стоимость и доходность портфеля в каждом сценарии рынка.

—

Упражнение 5: Влияние Изменений Цены Акции на Портфель

Предположим, у вас есть портфель, состоящий из 10 облигаций и 40 акций. Цена каждой облигации составляет A(0) = 90 долларов, а каждой акции — S(0) = 20 долларов в начале. К концу года цена акции увеличивается до S(1) = 30 , а облигации — до A(1) = 95 .

Вопрос: Рассчитайте начальную и конечную стоимость портфеля и определите его доходность.

—

Упражнение 6: Расчет Взвешенной Доходности в Диверсифицированном Портфеле

Вы вкладываете 60% своего портфеля в безрисковые облигации и 40% в акции. Начальная цена облигаций составляет A(0) = 200 долларов, а конечная цена — A(1) = 210 долларов. Начальная цена акций — S(0) = 50 , а их цена к концу года зависит от поведения рынка: S(1) = 55 с вероятностью 0.6 или S(1) = 45 с вероятностью 0.4.

Вопрос: Рассчитайте ожидаемую общую доходность портфеля.

—

Упражнение 7: Оценка Риска через Стандартное Отклонение

В стратегии короткой продажи вы занимаете 500 долларов для короткой продажи акций, начальная цена которых составляет S(0) = 25 долларов. К концу года цена акций может составить S(1) = 20 (вероятность 0.7) или S(1) = 30 (вероятность 0.3).

Вопрос: Рассчитайте ожидаемую доходность и стандартное отклонение этой инвестиции в короткую продажу.

—

Упражнение 8: Создание Портфеля с Гарантированной Доходностью

У вас есть 2000 долларов, и вы хотите сформировать портфель из безрисковых облигаций ( A(0) = 100 долларов, с доходностью 5%) и акций ( S(0) = 50 долларов) с ожидаемой доходностью 8%.

Вопрос: Сколько облигаций и акций нужно купить, чтобы ожидаемая общая доходность портфеля составила 6%?

—

Упражнение 9: Анализ Влияния Диверсификации на Портфель

Вы инвестируете 3000 долларов в портфель, состоящий из облигаций и акций. Половина вашей инвестиции вложена в облигации ( A(0) = 150 долларов, с гарантированной доходностью 4%), а другая половина — в акции ( S(0) = 75 долларов), цена которых к моменту t = 1 может быть 90 (вероятность 0.5) или 60 (вероятность 0.5).

Вопрос: Рассчитайте ожидаемую доходность и стандартное отклонение портфеля.

—

Упражнение 10: Эффект Изменения Цены на Портфель и Платежеспособность

Вы создаете портфель на сумму 1000 долларов, вкладывая 300 долларов в облигации и 700 долларов в акции. Для облигаций доходность фиксирована на уровне 3%, в то время как цена акций ( S(0) = 35 ) может снизиться до 25 или вырасти до 45 с равными вероятностями.

Вопрос: Какова стоимость портфеля в каждом сценарии в простой рыночной модели? Проверьте, соответствует ли портфель предположению о платежеспособности ( V(t) \geq 0 ).