Предел на бесконечности: Определения и примеры
Резюме:
На этом уроке будут рассмотрены пределы на бесконечности, описывающие поведение функции f(x) при стремлении x к бесконечности. Будут объяснены основные пределы, такие как \lim_{x\to \infty} \frac{1}{x} = 0 и \lim_{x\to \infty} k = k, а также алгебраические свойства, аналогичные свойствам конечных пределов.
Учебные цели:
К концу этого урока студент сможет:
- Описать поведение f(x) при стремлении x к бесконечности.
- Определить предел на бесконечности, используя математическую нотацию.
- Применять алгебраические свойства при вычислении пределов на бесконечности.
- Различать различные случаи пределов в рациональных функциях на бесконечности.
- Доказывать свойства сложения, вычитания, умножения, деления и возведения в степень пределов на бесконечности.
- Решать практические задачи на пределы на бесконечности в различных функциях.
Содержание:
Введение
Определение предела на бесконечности
Основные пределы на бесконечности
Алгебра пределов на бесконечности
Предел на бесконечности в рациональных функциях
Примеры пределов на бесконечности
Введение
Одним из самых характерных элементов анализа является бесконечность и предел на бесконечности. Понятие бесконечности не указывает на конкретное число, а скорее описывает величину, превышающую любую реальную границу. Например, при функции f(x) = 1/x и вопросе о её поведении, когда x стремится к бесконечности (x\to \infty), можно наблюдать, что f(x) может неограниченно приближаться к нулю. В этом случае пишем:
\displaystyle \lim_{x\to + \infty}\dfrac{1}{x} = 0
Графически это выглядит следующим образом:
Определение предела на бесконечности
Исходя из этой идеи, мы можем сформулировать математическое определение предела на бесконечности:
\displaystyle \lim_{x\to +\infty}f(x) = L := (\forall\epsilon\gt 0) (\exists M\in\mathbb{R})(M\lt x \rightarrow |f(x) - L|\lt \epsilon )
\displaystyle \lim_{x\to -\infty}f(x) = L := (\forall\epsilon\gt 0) (\exists N\in\mathbb{R})(x\lt N \rightarrow |f(x) - L|\lt \epsilon )
Интуитивное представление этого предела указывает на поведение f(x), когда x удаляется от начала координат в любом направлении. Стратегия вычисления пределов на бесконечности не сильно отличается от вычисления конечных пределов, поскольку алгебра остается практически той же, за исключением необходимости учитывать следующие результаты:
Основные пределы на бесконечности
На основе этих определений можно доказать следующие основные пределы:
- \displaystyle \lim_{x\to \pm\infty}k = k
- \displaystyle \lim_{x\to \pm\infty}\dfrac{1}{x} = 0
Доказательство:
- Согласно определению предела на бесконечности, \displaystyle \lim_{x\to +\infty}k = k эквивалентно утверждению: (\forall\epsilon\gt 0) (\exists M\in\mathbb{R})\left(M\lt x \rightarrow \left|k-k\right|\lt \epsilon \right). Поскольку \left|k-k\right|=0\lt \epsilon для любого \epsilon \gt 0 выполняется всегда и для любого значения M, предел подтверждается.
- Из определения \displaystyle \lim_{x\to +\infty}k = k следует: (\forall\epsilon\gt 0) (\exists M\in\mathbb{R})\left(M\lt x \rightarrow \left|\dfrac{1}{x}\right|\lt \epsilon \right). Эта импликация выполняется сразу, если мы берем M=1/\epsilon, следовательно, предел подтверждается.
Эти доказательства аналогичны для случая x\to+\infty.
Алгебра пределов на бесконечности
Алгебра пределов на бесконечности аналогична алгебре конечных пределов. Если \displaystyle \lim_{x\to \pm \infty}f(x) = L и \displaystyle \lim_{x\to \pm \infty}g(x) = M, то справедливы следующие правила:
- Сложение и вычитание пределов: \displaystyle \lim_{x\to \pm\infty}(f(x)\pm g(x)) = L \pm M
- Умножение на константу: \displaystyle \lim_{x\to \pm\infty}cf(x) = cL
- Произведение пределов: \displaystyle \lim_{x\to \pm\infty}f(x)g(x) = LM
- Частное пределов: При M\neq 0 \displaystyle \lim_{x\to \pm\infty}f(x)/g(x)=L/M
- Возведение в степень: Если p,q \in\mathbb{Z} и q\neq 0, то \displaystyle \lim_{x\to \pm\infty}[f(x)]^{p/q} = L^{p/q}. Если q четное, предполагается, что L\geq 0.
На самом деле, доказательства всех этих свойств аналогичны доказательствам конечных пределов.
Предел на бесконечности в рациональных функциях
Рациональная функция — это функция, которая может быть выражена как отношение двух многочленов. При вычислении пределов на бесконечности для такого типа функций можно выделить следующую полезную закономерность:
Предположим, что мы хотим вычислить \displaystyle \lim_{x\to \infty}P(x)/Q(x):
- Если степень P(x) больше степени Q(x), то f(x) будет расти безгранично при x\to\infty (предел не существует).
- Если степень P(x) меньше степени Q(x), то предел будет равен нулю.
- И, наконец, если степень P(x) равна степени Q(x), то предел будет равен отношению коэффициентов при старших степенях.
Самое лучшее в этом результате то, что, как мы увидим в следующих примерах, он работает аналогично, даже если степени не являются целыми числами.
Примеры пределов на бесконечности
- \displaystyle \lim_{x\to +\infty}\dfrac{x+1}{x^2+3} [РЕШЕНИЕ]
- \displaystyle \lim_{x\to -\infty}\dfrac{2x^3 + 7}{x^3 - x^2 + x + 7} [РЕШЕНИЕ]
- \displaystyle \lim_{x\to +\infty}\dfrac{9x^4 + x}{2x^4 + 5x^2 - x + 6} [РЕШЕНИЕ]
- \displaystyle \lim_{x\to +\infty}\dfrac{10x^5 + x4 + 31}{x^4 - 7x^3 + 7x^2 + 9} [РЕШЕНИЕ]
- \displaystyle \lim_{x\to +\infty}\dfrac{2\sqrt{x}+x^{-1}}{3x - 7} [РЕШЕНИЕ]
- \displaystyle \lim_{x\to -\infty}\dfrac{2x^{5/3} - x^{1/3} + 7}{x^{8/5}+3x + \sqrt{x}} [РЕШЕНИЕ]
- \displaystyle \lim_{x\to +\infty}\dfrac{\sqrt[3]{x}-5x+3}{2x + x^{2/3} - 4} [РЕШЕНИЕ]
- \displaystyle \lim_{x\to +\infty}\dfrac{x^{8/3}+2x + \sqrt{x}}{x^2+x-3} [РЕШЕНИЕ]