Определение области определения, области значений и графика

На данный момент мы уже провели достаточно подробное изучение линейных, квадратичных и аналогичных функций. Мы также изучили такие кривые, как прямые, параболы, эллипсы и гиперболы, а также операции с многочленами и алгебраическими функциями в целом. С этими знаниями теперь будет гораздо легче углубиться в более фундаментальные аспекты функций, такие как область определения, область значений и график.

Пусть f будет функцией, определенной между множествами A и B

\begin{matrix}f & : & A & \longrightarrow & B \\ & & x & \longmapsto & y=f(x) \end{matrix}

Множества A и B называются множествами «входных» и «выходных» значений, соответственно. На основе этих множеств определяются следующие множества:

Dom(f) = \{x\in A\;|\; (\exists y \in B)(y=f(x))\}

Rec(f) = \{y\in B\;|\; (\exists ! x \in Dom(f))(y=f(x))\}

Graf(f) = \{(x,y)\in A\times B\;|\; x\in Dom(f) \wedge y=f(x) \}

Анализ примеров

Хотя понятия области определения, области значений и графика функций по сути теоретические, их понимание лучше всего приходит через анализ практических примеров. Сейчас мы рассмотрим три случая для анализа этих понятий:

Вычислите область определения, область значений и график: f(x) = \sqrt{1-x^2}

Начнем этот анализ с записи y=f(x). Если мы это сделаем, то получим уравнение

y = \sqrt{1-x^2}

Если возвести это выражение в квадрат, мы быстро придем к уравнению, приводящему к уже известным результатам:

\begin{array}{rl} & y^2 = 1-x^2 \\ \equiv & x^2 + y^2 = 1 \end{array}

Это уравнение единичной окружности.

Однако нужно быть осторожным, так как при возведении в квадрат мы «добавили некоторую информацию». Алгебраически два значения удовлетворяют условию «быть квадратным корнем», однако на начальном этапе анализа корень задан как функция, а функции имеют только один результат. Мы говорим о главном корне. По этой причине исходная формулировка относится только к верхней части окружности, а не к полной фигуре.

Из этого рисунка ясно, что:

Dom(f) = \{x\in\mathbb{R}\;|\; |x|\leq 1\} = [-1,1]

Rec(f) = \{y\in\mathbb{Р}\;|\; 0\leq y\leq 1\} = [0,1]

Graf(f) = \{(x,y)\in \mathbb{Р}\times \mathbb{Р}\;|\; x\in [-1,1] \wedge y=\sqrt{1-x^2}\}

Хотя я провел этот анализ с графической точки зрения, его также можно выполнить с более аналитической точки зрения, рассмотрев участвующие операции.

f(x) = \color{red}{\sqrt{{1-x^2}}}

Часть 1-x^2 определена для всех действительных чисел.

Однако квадратный корень принимает только значения, большие или равные нулю.

Из этого следует:

\begin{array}{rlrl} x\in Dom(f) & \leftrightarrow & 0 &\leq 1-x^2 \\ {} & \leftrightarrow & x^2 &\leq 1 \\ & \leftrightarrow & |x| &\leq 1 \\ & \leftrightarrow & -1 &\leq x \leq 1 \\ \end{array}

Следовательно:\; Dom(f) = \{x\in \mathbb{Р}\;|x| \leq 1\} = [-1,1]

Аналитические методы для определения области значений, как правило, намного сложнее; более простые случаи решаются путем нахождения обратной функции, но прежде чем подробно рассматривать эту тему, сначала лучше изучить композицию функций и другие более простые случаи, чтобы иметь твердую основу. Между тем, графические методы, которые мы рассмотрим в ближайшее время, охватят большинство сложностей, связанных с определением области значений.

Анализ для: g(x) =\displaystyle \frac{x^2 - 1}{x^2 + 1}

Один из способов быстро найти область определения функции — это задать вопрос о значениях x, которые «испортят функцию». Очевидно, что функция портится только тогда, когда знаменатель обращается в ноль. То есть:

\begin{array}{rl} & x^2 + 1 = 0 \\ \equiv & x^2 = -1 \\ \end{array}

Так как ни одно действительное число не может удовлетворить этому условию, то ясно, что

\color{blue}{Dom(g) = \mathbb{Р}}

Определение графика обычно является самым быстрым способом найти область значений функции; и для этого деление многочленов будет хорошим инструментом.

Разделив многочлен, мы получаем:

y= \displaystyle\frac{x^2-1}{x^2+1} = 1 -\displaystyle\frac{2}{x^2 + 1}

Таким образом, мы разделили исходную функцию на две более простые части, которые называем «целой частью» и «дробной частью». Построение графиков каждой из этих частей по отдельности гораздо проще, чем построение графика всей функции сразу.

Анализ для: h(x) =\displaystyle \frac{x - 1}{\sqrt{x+1}}

Алгебраический анализ поможет быстро определить область определения этой функции. Достаточно заметить, что она будет определена, когда:

\begin{array}{rrl} & 0 & \lt x + 1 \\ \equiv & -1 & \lt x \\ \end{array}

Поэтому ясно, что Dom(h)=]-1,+\infty[.

Чтобы найти область значений, полезно построить график, и для того, чтобы сделать это просто, мы будем использовать таблицу знаков. Функция h(x) состоит из двух частей:

h(x)=\displaystyle\frac{\color{green}{x-1}}{\color{red}{\sqrt{x+1}}}

Верхняя часть обращается в ноль при x=1; нижняя часть обращается в ноль при x=-1 и становится неопределенной при x\lt-1. На основе этой информации строится следующая таблица знаков:

Используя информацию, представленную в этой таблице, теперь очень просто построить график функции.

С этим определение области определения и области значений становится тривиальной задачей:

Dom(h)=]-1,+\infty[

Rec(h)=\mathbb{Р}

Предлагаемое упражнение

Используя инструменты, которые мы только что рассмотрели, найдите область определения, область значений и график следующей функции:

F(x) = \displaystyle\frac{4x^3 + 6x^2 -2x + 1}{x^2-4}