Максимумы и минимумы функции

Где находится «наилучшая» точка функции: максимум, которого вы стремитесь достичь, или минимум, которого необходимо избежать? Этот вопрос, возникающий в оптимизации, физике, экономике и инженерии, является одним из основных приложений дифференциального исчисления. И вот ключевой момент: теорема Вейерштрасса гарантирует, что если $f$ непрерывна и вы работаете на замкнутом и ограниченном интервале, то абсолютные экстремумы существуют. С этого момента задача становится практической: научиться выявлять локальные экстремумы с помощью критических точек ( $f'(x)=0$ или производная не существует) и использовать такие инструменты, как теорема Ролля и теорема о среднем значении, чтобы превратить «слепой» поиск в четкий, проверяемый и эффективный метод.

Цели обучения:

Выполнять полный алгоритм нахождения абсолютных экстремумов на $[a,b]$ : вычислять значения $f$ в внутренних критических точках и на концах интервала, а затем сравнивать полученные значения для определения абсолютного максимума и минимума.
Сопоставлять значение необходимого и достаточного условия: понимать, что равенство « $f'(x_0)=0$ » не гарантирует наличие локального экстремума, и определять, какие дополнительные доказательства (сравнение значений, анализ знаков, локальное поведение) уместны в каждом конкретном случае.
Определять наиболее эффективную стратегию в зависимости от типа задачи: абсолютные экстремумы на компактных интервалах (Вейерштрасс + конечное число вычислений) в сравнении с локальными экстремумами во внутренних точках (критические точки + локальный анализ), с обоснованием сделанного выбора.

СОДЕРЖАНИЕ:
Максимумы и минимумы, абсолютные и локальные экстремумы
Критерий первой производной
Теорема Ролля
Дифференциальная теорема о среднем значении
Интервалы возрастания и убывания

Теорема Вейерштрасса утверждает, что если вещественная функция определена и непрерывна на замкнутом и ограниченном подмножестве $\mathbb{R}$ , то она обязательно достигает максимального и минимального значений (абсолютных экстремумов). Поиск максимумов и минимумов функции называется задачей оптимизации, и теорема Вейерштрасса гарантирует существование решений в смысле абсолютных экстремумов при условии непрерывности функции и компактности области определения. После того как существование решений обеспечено, остается лишь разработать стратегии, позволяющие эти решения найти.

Максимумы и минимумы, абсолютные и локальные экстремумы

Прежде чем приступить к рассмотрению стратегий поиска максимумов и минимумов, четко определим, что именно мы хотим найти.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ:
Пусть $f$ — функция с областью определения $D$ . Будем говорить, что $f$ достигает абсолютного максимума в точке $x_0\in D$ , если:

$\left( \forall x \in D \right)\bigl(f(x) \leq f(x_0)\bigr)$

и достигает абсолютного минимума в точке $x_0$ , если:

$\left( \forall x \in D \right)\bigl( f(x_0) \leq f(x)\bigr)$

Аналогичным образом определяются локальные экстремумы (относительно области определения).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ:
Пусть $f$ — функция с областью определения $D$ , и пусть $x_0\in D$ . Будем говорить, что $f$ достигает локального максимума в точке $x_0$ , если:

$(\exists h>0)\left( \forall x\in [x_0-h, x_0+h] \cap D \right)\bigl(f(x) \leq f(x_0)\bigr)$

и достигает локального минимума в точке $x_0$ , если:

$(\exists h>0)\left( \forall x\in [x_0-h, x_0+h] \cap D \right)\bigl( f(x_0) \leq f(x)\bigr)$

Исходя из этого, можно сформулировать следующий результат:

ТЕОРЕМА:

Пусть $x_0$ — точка внутренняя точка компактного интервала $I$ . Если функция $f$ достигает локального максимума или минимума в точке $x_0$ и производная $f^\prime(x_0)$ существует, то $f^\prime(x_0)=0$ .

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:
Предположим, что функция $f$ достигает локального максимума в точке $x_0$ . Тогда существует $h_0 \gt 0$ такое, что для любого $h$ , удовлетворяющего условию $|h|\lt h_0$ и при $x_0+h\in I$ , выполняется:

$f(x_0 + h)\leq f(x_0)$

что эквивалентно:

$f(x_0 + h) - f(x_0)\leq 0$

Теперь рассмотрим два случая:

Если $h>0$ , то:
$\displaystyle \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}\leq 0$
Если $h\lt 0$ , то:
$\displaystyle \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}\geq 0$

Если производная $f^\prime(x_0)$ существует, то предел разностного отношения при $h\to 0$ существует и должен быть согласован с обеими неравенствами, что вынуждает:

$\displaystyle f^\prime(x_0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}= 0$

Что и требовалось доказать.

Следует отметить, что данное доказательство также справедливо для локальных минимумов. В этом случае рассуждение начинается с условия: $f(x_0+h)\ge f(x_0)$ для достаточно малых значений $|h|$ .

Критерий первой производной

Результат, который мы только что рассмотрели, можно свести к следующей импликации:

$\left\{\begin{matrix}f \text{ достигает}\\ \text{локального экстремума в }x_0 \end{matrix}\right\} \Longrightarrow \left\{\begin{matrix} \displaystyle f^\prime(x_0) = 0 \\ \\ \vee \\ \\ \text{производная не существует в }x_0 \end{matrix}\right\}$

Хотя обратное утверждение в общем случае неверно, оно весьма полезно для сужения области поиска локальных экстремумов. Исходя из этого, вводится понятие критических точек первой производной.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ:
Говорят, что $x_0$ является критической точкой первой производной, если $f^\prime(x_0)=0$ или если $f^\prime(x_0)$ не существует.

Критические точки первой производной важны потому, что любая точка, в которой функция достигает экстремума (локального или абсолютного), должна принадлежать множеству критических точек:

$\left\{\begin{matrix}\text{точки, которые}\\ \text{являются абсолютными экстремумами}\end{matrix}\right\} \subseteq \left\{\begin{matrix}\text{точки, которые}\\ \text{являются локальными экстремумами}\end{matrix}\right\} \subseteq \left\{\begin{matrix}\text{критические точки}\\ \text{первой производной}\end{matrix}\right\}$

Это и называется критерием первой производной, понимаемым как необходимое условие существования локальных экстремумов во внутренних точках.

Теорема Ролля

Мы уже видели, что определение критических точек первой производной играет ключевую роль при поиске локальных экстремумов. В связи с этим естественно исследовать, при каких условиях можно гарантировать существование таких критических точек. Продвижение в этом направлении дает теорема Ролля.

ТЕОРЕМА:
Пусть $f$ — функция, определенная и непрерывная на $[a,b]$ и дифференцируемая на $]a,b[$ . Если $f(a)=f(b)$ , то существует $c\in]a,b[$ такое, что $f^\prime(c)=0$ .

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:
Рассмотрим два возможных случая:

Если для всех $x\in]a,b[$ выполняется $f(x)=f(a)=f(b)$ , то функция $f$ является постоянной и, следовательно, $f^\prime(x)=0$ для всех $x\in]a,b[$ . В частности, существует $c\in]a,b[$ такое, что $f^\prime(c)=0$ .
Если существует $x\in]a,b[$ такое, что $f(x)\neq f(a)=f(b)$ , то функция $f$ не является постоянной. Поскольку $f$ непрерывна на $[a,b]$ , по теореме Вейерштрасса она достигает абсолютного максимума и абсолютного минимума на $[a,b]$ .
Кроме того, так как $f(a)=f(b)$ и $f$ не является постоянной, по крайней мере один из этих экстремумов должен достигаться во внутренней точке $]a,b[$ .
Следовательно, если $c\in]a,b[$ — внутренняя точка, в которой $f$ достигает локального экстремума, то, поскольку $f$ дифференцируема на $]a,b[$ , в частности существует $f^\prime(c)$ , и по предыдущей теореме заключаем, что $f^\prime(c)=0$ .

Теорема о среднем значении для дифференциального исчисления

Еще один результат, являющийся прямым следствием рассмотренных выше теорем и предоставляющий полезную информацию для изучения функций, — это теорема о среднем значении в дифференциальном исчислении.

ТЕОРЕМА:
Пусть $f$ — функция, определенная и непрерывная на $[a,b]$ и дифференцируемая на $]a,b[$ . Тогда существует $c\in]a,b[$ такое, что:

$f^\prime(c) =\displaystyle \frac{f(b) - f(a)}{b-a}$

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:
Пусть $F$ — функция, определенная формулой:

$F(x) = f(x) - \displaystyle \frac{f(b) - f(a)}{b-a}(x-a)$

Эта функция непрерывна на $[a,b]$ и дифференцируема на $]a,b[$ , поскольку такими же свойствами обладает функция $f$ . Кроме того, выполняется равенство $F(a)=F(b)$ , поэтому можно применить теорему Ролля и заключить, что существует точка $c\in]a,b[$ такая, что $F^\prime(c)=0$ .

Теперь, дифференцируя функцию $F$ , получаем:

$F^\prime(x) = f^\prime(x) - \displaystyle\frac{f(b) - f(a)}{b-a}$

Подставляя $c$ и используя равенство $F^\prime(c)=0$ , имеем:

$0=F^\prime(c) = f^\prime(c) - \displaystyle\frac{f(b) - f(a)}{b-a}$

Следовательно,

$f^\prime(c) = \displaystyle\frac{f(b) - f(a)}{b-a}$

что и требовалось доказать.

Интервалы возрастания и убывания

ТЕОРЕМА:

Если $f$ — функция, такая что $(\forall x\in ]a,b[)\left(0\lt f^\prime(x)\right)$ , то $f$ является строго возрастающей на $]a,b[$ .
Если $f$ — функция, такая что $(\forall x\in ]a,b[)\left(f^\prime(x)\lt 0\right)$ , то $f$ является строго убывающей на $]a,b[$ .

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:
Пусть $x_1,x_2\in ]a,b[$ таковы, что $x_1 \lt x_2$ . Поскольку $f$ дифференцируема на $]a,b[$ , можно применить теорему о среднем значении к функции $f$ на интервале $[x_1,x_2]\subset ]a,b[$ . Следовательно, существует точка $c\in]x_1,x_2[$ такая, что:

$f^\prime(c) = \displaystyle\frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1}$

Из этого следует:

Если $f^\prime(c) \gt 0$ , то $f(x_2) - f(x_1) = f^\prime(c)(x_2 - x_1) \gt 0$ .
Следовательно, функция $f$ возрастает.
Если $f^\prime(c) \lt 0$ , то $f(x_2) - f(x_1) = f^\prime(c)(x_2 - x_1) \lt 0$ .
Следовательно, функция $f$ убывает.

Изучение максимумов и минимумов — это не просто «вычисление производных», а освоение умения превращать расплывчатый поиск в процедуру с гарантиями и четкими критериями. Теорема Вейерштрасса указывает, когда можно быть уверенным в существовании оптимума на компактном интервале, тогда как критерий первой производной, теорема Ролля и теорема о среднем значении дают карту для нахождения кандидатов и обоснования выводов: где функция может достигать экстремума, когда это условие является лишь необходимым, и как знак $f'$ выявляет возрастание и убывание. Освоив эту цепочку идей, вы переходите от интуитивного рассматривания графиков к решению задач оптимизации с проверяемыми аргументами, что и составляет точную разницу между «я думаю, что лучший пункт находится здесь» и «я знаю, почему он должен находиться именно здесь».

Просмотры: 0