Введение

Тонкие линзы, наряду с зеркалами, являются одними из самых широко используемых оптических устройств. Это прозрачные объекты, ограниченные двумя сферическими поверхностями, и обычно они изготавливаются из стекла или пластика.

В тонкой линзе расстояние между преломляющими поверхностями настолько мало, что его можно считать незначительным.

Типы линз

Линзы, как и зеркала, делятся на два вида: собирающие и рассеивающие.

Точки F_1 и F_2 являются фокусными точками, а f — фокусное расстояние. В тонкой линзе оба фокусных расстояния равны, поэтому они обозначаются одной и той же буквой.

В тонкой линзе расстояние между преломляющими поверхностями настолько мало, что его можно считать незначительным.

Свойства тонких линз

Если мы проведем геометрический анализ с собирающей линзой, мы увидим следующее:

Поскольку нарисованные треугольники подобны, соответствующие стороны будут пропорциональны

\begin{array}{rlr} &\displaystyle \frac{y}{s} = -\frac{y^\prime}{s^\prime} & \\ \\ \equiv & \displaystyle \color{blue}{\frac{y^\prime}{y} = -\frac{s^\prime}{s}} & (\triangle) \end{array}

Аналогично,

\begin{array}{rlr} & \displaystyle \frac{y}{f} = -\frac{y^\prime}{s^\prime-f} & \\ \\ \equiv & \displaystyle \color{blue}{\frac{y^\prime}{y} = -\frac{s^\prime-f}{f}} & (\star) \end{array}

Затем из (\triangle) и (\star) следует:

\begin{array}{rlr} &\displaystyle-\frac{s^\prime}{s} = -\frac{s^\prime-f}{f} & \\ \\ \equiv \displaystyle & \frac{s^\prime}{s} = \frac{s^\prime-f}{f} = \frac{s^\prime}{f} - 1 = \frac{s^\prime}{f} - \frac{s^\prime}{s^\prime} & \\ \\ {} \equiv & \displaystyle \frac{s^\prime}{s}+ \frac{s^\prime}{s^\prime} = \frac{s^\prime}{f} & \\ \\ \equiv & \displaystyle \color{blue}{\frac{1}{s}+ \frac{1}{s^\prime} = \frac{1}{f}} & \end{array}

Это то, что мы называем соотношением объекта и изображения для тонких линз.

коэффициент увеличения m через

\displaystyle \color{blue}{m=-\frac{y^\prime}{y}= - \frac{s^\prime}{s}}

Формула линзового мастера

Как известно, тонкая линза состоит из двух сферических поверхностей, которые разделяют среды, через которые проходит свет, и мы уже изучили, что происходит, когда свет переходит из одной среды в другую через такие поверхности. Поэтому для анализа тонких линз достаточно объединить то, что мы уже изучили для отдельных поверхностей.

В общем, тонкая линза имеет следующий вид:

Но для упрощения, это можно разделить

Поскольку каждый случай уже был проанализирован (здесь), мы можем вывести следующие два уравнения:

Для стороны a-b:

\displaystyle \frac{n_a}{s_a} + \frac{n_b}{s_{ab}^\prime} = \frac{n_b - n_a}{R_c}

Для стороны b-c:

\displaystyle \frac{n_b}{s_{b}} + \frac{n_c}{s_{bc}^\prime} = \frac{n_c - n_b}{R_a}

На этом этапе, если мы установим n_a = n_c = n_{воздух}\approx 1.0, то s_b = -s_{ab}^\prime; следовательно, эти уравнения записываются следующим образом

\begin{array}{rl} \displaystyle \frac{1}{s_a} + \frac{n_b}{s_{ab}^\prime} & \displaystyle = \frac{n_b - 1}{R_c} \\ \\ \displaystyle -\frac{n_b}{s_{ab}^\prime} + \frac{1}{s_{bc}^\prime} & \displaystyle= \frac{1-n_b}{R_a} \end{array}

И суммируя их, теперь можно получить одно выражение:

\begin{array}{rl} &\displaystyle \frac{1}{s_a} + \frac{1}{s_{bc}^\prime} = \frac{n_b-1}{R_c} + \frac{1-n_b}{R_a} \\ \\ \equiv & \displaystyle \frac{1}{s_a} + \frac{1}{s_{bc}^\prime} = (n_b -1) \left( \frac{1}{R_a} - \frac{1}{R_c} \right) \end{array}

На этом этапе удобно переименовать переменные; мы будем использовать следующее обозначение:

\begin{array}{ll} s_a = s & R_a = R_1 \\ \\ s_{bc}^\prime = s^\prime & R_c =R_2 \\ \\ n_b =n & \end{array}

таким образом, мы получим более «чистую» версию уравнения, которую мы получили изначально:

\displaystyle \frac{1}{s} + \frac{1}{s^\prime} = (n -1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)

Наконец, используя соотношение объекта и изображения для тонких линз, выведенное в начале, мы получаем:

\displaystyle \color{blue}{\frac{1}{f} = (n -1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)}

Это то, что мы называем Формулой линзового мастера.

Графические методы для тонких линз

Очень полезным инструментом для проверки или понимания расчетов, которые мы проводим, являются графические методы, изображенные ниже; эти методы аналогичны тем, которые используются с зеркалами.

Эти методы дают различные результаты в зависимости от положения объекта перед линзой.

Упражнения:

1. Имеется рассеивающая линза и пучок параллельных лучей, который «расходится» при прохождении через неё так, что их проекции сходятся в точке, расположенной на расстоянии 30[см] от центра линзы. Если вы хотите использовать эту линзу для получения виртуального изображения высотой в 1/2 от высоты какого-либо объекта:
   1. Рассчитайте, где должен быть расположен такой объект.
   2. Создайте диаграмму лучей, чтобы описать эту ситуацию.
2. Объект высотой 7[см] помещен на расстоянии 13[см] слева от собирающей линзы с фокусным расстоянием 5[см]. Вторая собирающая линза с фокусным расстоянием 2[см] помещена на расстоянии 30[см] справа от первой линзы, причем обе линзы находятся на одной оптической оси. Найдите размер и положение изображения, создаваемого двумя линзами вместе.