Teorema de Weierstrass dos Valores Extremos
Por que em tantos problemas de otimização se dá quase por certo que “o máximo existe” ou que “sempre há um mínimo” em determinado intervalo, quando na realidade nada obriga que isso ocorra? O Teorema de Weierstrass é a peça que faltava nesse quebra-cabeça: ele garante que uma função contínua definida em um intervalo fechado e limitado não apenas está limitada, mas efetivamente atinge seus valores extremos. Nesta publicação revisamos seu enunciado, construímos em detalhe uma demonstração rigorosa baseada em continuidade pontual, compacidade e o axioma do supremo, e comentamos sua interpretação moderna em termos de funções contínuas sobre conjuntos compactos. A ideia é que, ao terminar, você não apenas recorde o teorema como uma frase, mas entenda por que ele é verdadeiro e por que aparece repetidamente em análise, em otimização e em modelos aplicados.
Objetivos de aprendizagem
- Compreender o enunciado do Teorema de Weierstrass.
Identificar com precisão as hipóteses do teorema (função contínua em um intervalo fechado e limitado [a,b]) e suas conclusões principais: limitação e existência de valores máximo e mínimo. - Interpretar o Teorema de Weierstrass em termos de compacidade.
Formular o resultado em linguagem moderna: as funções contínuas enviam conjuntos compactos a conjuntos nos quais os valores extremos são atingidos, conectando o caso de [a,b] com o marco geral da análise real. - Relacionar o Teorema de Weierstrass com problemas de otimização.
Reconhecer o papel do teorema como fundamento teórico para a existência de máximos e mínimos em muitos problemas de otimização em uma variável, tanto em contextos teóricos quanto aplicados.
ÍNDICE DE CONTEÚDOS:
Introdução
Enunciado do Teorema de Weierstrass
Demonstração
Passo 1: Continuidade pontual em [a,b]
Passo 2: Recobrimento aberto associado à continuidade
Passo 3: Compacidade de [a,b] e subcobertura finita
Passo 4: Construção de um \delta que não depende de x_0 (continuidade uniforme)
Passo 5: De continuidade uniforme à limitação de f em [a,b]
Passo 6: Existência de valores máximo e mínimo
Interpretação em termos de compacidade e conclusão
Introdução
O Teorema de Weierstrass dos Valores Extremos é um daqueles resultados que, embora costume aparecer nas primeiras unidades de Análise Real, na realidade sustenta silenciosamente uma parte enorme da matemática aplicada. Sempre que em física, economia ou estatística falamos em “maximizar” ou “minimizar” uma quantidade sujeita a determinadas restrições, no fundo estamos utilizando uma ideia muito próxima da que este teorema garante: que uma função contínua definida em um intervalo fechado e limitado não apenas está limitada, mas efetivamente atinge seus valores extremos.
Intuitivamente pode parecer “óbvio” que, se desenhamos uma curva contínua sobre um segmento [a,b], então deve existir um ponto mais alto e um mais baixo. No entanto, basta fazer pequenas alterações nas hipóteses para que essa intuição falhe de modo estrondoso: se abrimos o intervalo, se a função deixa de ser contínua ou se o domínio não é limitado, os máximos e mínimos podem simplesmente desaparecer. O Teorema de Weierstrass organiza essa intuição e nos diz com precisão quando podemos confiar nela e por que.
Do ponto de vista teórico, este teorema é o primeiro encontro sério com a ideia de compacidade: em linguagem moderna, o que ele afirma é que uma função contínua transforma conjuntos compactos em conjuntos compactos. Do ponto de vista prático, isso se traduz na existência de soluções para muitos problemas de otimização em uma dimensão, e será uma peça fundamental para resultados posteriores, como o Teorema do Valor Médio e, em última instância, para compreender com calma o Teorema Fundamental do Cálculo.
Nesta seção enunciaremos o Teorema de Weierstrass e desenvolveremos em detalhe sua demonstração, apoiando-nos na noção de continuidade em [a,b] e no axioma do supremo. A ideia é que este texto te sirva como uma referência sólida: tanto para estudar o resultado em si, como para retornar a ele sempre que necessites utilizá-lo ao demonstrar outros teoremas ou ao justificar rigorosamente a existência de máximos e mínimos em problemas concretos.
Enunciado do Teorema de Weierstrass
Toda função f definida e contínua em [a,b], é limitada e possui valores mínimo e máximo, m e M, tais que, se x\in[a,b], então f(x)\in[m,M]. |
Demonstração
Vamos provar que, se f:[a,b]\to\mathbb{R} é contínua no intervalo fechado e limitado [a,b], então f é limitada e atinge um valor máximo e um valor mínimo em [a,b]. Dividiremos a demonstração em duas grandes partes:
- Primeiro, mostraremos que a continuidade de f em [a,b] implica que f é uniformemente contínua, e a partir disso deduziremos que é limitada.
- Depois, utilizando o axioma do supremo, provaremos que f atinge seus valores máximo e mínimo no intervalo.
Passo 1: Continuidade pontual em [a,b]
Por hipótese, f é contínua em cada ponto x_0\in[a,b]. Pela definição de continuidade em termos de \epsilon e \delta, isso significa que:
\displaystyle (\forall x_0\in[a,b])(\forall \epsilon\gt 0)(\exists \delta(x_0)\gt 0) \big(|x-x_0|\lt\delta(x_0)\Rightarrow |f(x)-f(x_0)|\lt\epsilon\big).
Neste ponto, o número \delta(x_0) pode depender do ponto x_0. Nosso objetivo imediato será construir, a partir desses \delta(x_0), um único número \delta que não dependa de x_0 e que funcione simultaneamente para todos os pontos do intervalo.
Passo 2: Recobrimento aberto associado à continuidade
Fixemos um \epsilon\gt 0 qualquer. Para cada x_0\in[a,b], a continuidade de f nos permite escolher um número \delta(x_0)\gt 0 tal que
\displaystyle |x-x_0|\lt\delta(x_0)\Rightarrow |f(x)-f(x_0)|\lt\frac{\epsilon}{2}.
A partir desses valores definimos, para cada x_0\in[a,b], um intervalo aberto
\displaystyle I_{x_0}=\left(x_0-\frac{\delta(x_0)}{2},\,x_0+\frac{\delta(x_0)}{2}\right).
Cada I_{x_0} é um conjunto aberto em \mathbb{R} e, além disso, a família
\displaystyle \{I_{x_0}\}_{x_0\in[a,b]}
forma um recobrimento aberto de [a,b]. Com efeito, dado um ponto qualquer y\in[a,b], basta tomar x_0=y; por construção, y\in I_y. Assim, cada ponto do intervalo pertence a pelo menos um dos abertos I_{x_0}.
Essa família de abertos é, em geral, infinita (há um para cada x_0\in[a,b]). É aqui que entra em jogo a compacidade de [a,b].
Passo 3: Compacidade de [a,b] e sub-recobrimento finito
Sabemos, pelo Teorema de Heine–Borel, que um subconjunto de \mathbb{R} é compacto se, e somente se, é fechado e limitado. O intervalo [a,b] é fechado e limitado; logo, é compacto. Pela definição de compacidade, isso significa que:
De todo recobrimento aberto de [a,b] (mesmo que contenha infinitos conjuntos), pode-se extrair um sub-recobrimento finito.
Aplicando essa propriedade ao recobrimento aberto \{I_{x_0}\}_{x_0\in[a,b]}, segue-se que existem pontos x_1,\dots,x_N\in[a,b] tais que os intervalos correspondentes
\displaystyle I_{x_1},\, I_{x_2},\,\dots,\,I_{x_N}
continuam recobrindo todo o intervalo:
\displaystyle [a,b]\subset I_{x_1}\cup I_{x_2}\cup\cdots\cup I_{x_N}.
Assim, passamos de uma família infinita de intervalos abertos para um sub-recobrimento com apenas um número finito de intervalos, sem perder a propriedade de recobrir [a,b].
Passo 4: Construção de um \delta que não depende de x_0 (continuidade uniforme)
A partir do sub-recobrimento finito definimos o número
\displaystyle \delta=\min\left\{\frac{\delta(x_1)}{2},\frac{\delta(x_2)}{2},\dots,\frac{\delta(x_N)}{2}\right\}.
Como se trata do mínimo de uma quantidade finita de números positivos, tem-se que \delta\gt 0. Veremos que esse \delta funciona para todo ponto x_0\in[a,b], isto é, não depende da escolha de x_0.
Tomemos agora:
- um ponto arbitrário x_0\in[a,b], e
- um ponto x\in[a,b] tal que |x-x_0|\lt\delta.
Como os intervalos I_{x_1},\dots,I_{x_N} recobrem [a,b], o ponto x_0 pertence a pelo menos um deles, digamos a I_{x_j} para algum j\in\{1,\dots,N\}. Pela definição de I_{x_j}, isso significa que
\displaystyle |x_0-x_j|\lt\frac{\delta(x_j)}{2}.
Além disso, pela definição de \delta temos \delta\le\frac{\delta(x_j)}{2}, de modo que de |x-x_0|\lt\delta deduzimos
\displaystyle |x-x_0|\lt\frac{\delta(x_j)}{2}.
Aplicando a desigualdade triangular,
\displaystyle |x-x_j|\le |x-x_0|+|x_0-x_j| \lt \frac{\delta(x_j)}{2}+\frac{\delta(x_j)}{2} =\delta(x_j).
Pela escolha de \delta(x_j) (continuidade de f em x_j para o valor \epsilon/2), as desigualdades |x_0-x_j|\lt\delta(x_j) e |x-x_j|\lt\delta(x_j) implicam
\displaystyle |f(x_0)-f(x_j)|\lt\frac{\epsilon}{2} \quad\text{e}\quad |f(x)-f(x_j)|\lt\frac{\epsilon}{2}.
Usando novamente a desigualdade triangular, obtemos
\displaystyle |f(x)-f(x_0)| \le |f(x)-f(x_j)| + |f(x_j)-f(x_0)| \lt \frac{\epsilon}{2}+\frac{\epsilon}{2} =\epsilon.
Como x_0 e x eram arbitrários, demonstramos que, para o \epsilon fixado no início, existe um \delta\gt 0, independente de x_0, tal que
\displaystyle (\forall x_0\in[a,b])(\forall x\in[a,b]) \big(|x-x_0|\lt\delta\Rightarrow |f(x)-f(x_0)|\lt\epsilon\big).
Se renomearmos x_0 como y, isso se escreve como:
\displaystyle (\forall \epsilon\gt 0)(\exists \delta\gt 0)(\forall x,y\in[a,b]) \big(|x-y|\lt\delta\Rightarrow |f(x)-f(y)|\lt\epsilon\big),
que é precisamente a definição de continuidade uniforme de f em [a,b]. No que segue, apenas precisaremos aplicar esse resultado ao caso \epsilon=1.
Passo 5: De continuidade uniforme à limitação de f em [a,b]
Apliquemos agora a continuidade uniforme com \epsilon=1. Existe um número \delta_1\gt 0 tal que, para todos x,y\in[a,b], vale
\displaystyle |x-y|\lt\delta_1\Rightarrow |f(x)-f(y)|\lt 1.
Dividimos agora o intervalo [a,b] em uma quantidade finita de subintervalos cuja extensão seja menor que \delta_1. Ou seja, escolhemos um inteiro n e pontos
\displaystyle a = x_0 \lt x_1 \lt \cdots \lt x_n = b
de modo que, para cada k=0,1,\dots,n-1], se cumpra
\displaystyle x_{k+1}-x_k\lt\delta_1.
Consideremos agora o conjunto finito de valores
\displaystyle \{f(x_0),f(x_1),\dots,f(x_{n-1})\}.
Por ser um conjunto finito de números reais, podemos definir sem problema
\displaystyle C = \max\{|f(x_k)| \;|\; k=0,1,\dots,n-1\}.
Mostraremos que C+1 é uma cota superior em valor absoluto para f em todo o intervalo [a,b]. Seja x\in[a,b] um ponto arbitrário. Então existe um índice k tal que x\in[x_k,x_{k+1}]. Em particular,
\displaystyle |x-x_k|\le x_{k+1}-x_k\lt\delta_1.
Pela continuidade uniforme com \epsilon=1, de |x-x_k|\lt\delta_1 segue-se que
\displaystyle |f(x)-f(x_k)|\lt 1.
Utilizando a desigualdade triangular:
\displaystyle |f(x)|\le |f(x)-f(x_k)| + |f(x_k)| \lt 1 + |f(x_k)| \le 1 + C.
Como x\in[a,b] foi arbitrário, concluímos que
\displaystyle |f(x)|\le C+1 \quad \text{para todo } x\in[a,b],
ou seja, a função f é limitada em [a,b].
Passo 6: Existência de valores máximo e mínimo
Definimos o conjunto de valores que a função assume no intervalo:
\displaystyle H=\{f(x)\;|\;x\in[a,b]\}\subset\mathbb{R}.
Já sabemos que H é não vazio (pois [a,b] não é) e limitado, portanto, pelo axioma do supremo, existem números reais
\displaystyle M=\sup H,\qquad m=\inf H.
Vamos provar que M é atingido como valor da função, isto é, que existe x_1\in[a,b] tal que f(x_1)=M. Procederemos por redução ao absurdo.
Suponhamos que f(x) nunca atinja o valor M, isto é:
\displaystyle (\forall x\in[a,b])\big(f(x)\lt M\big).
Sob essa suposição, a função
\displaystyle g(x)=\frac{1}{M-f(x)}
está bem definida e é positiva para todo x\in[a,b], pois por hipótese M-f(x)\gt 0. Além disso, como f é contínua e M é constante, g também é contínua. Pela primeira parte da demonstração, toda função contínua em [a,b] é limitada, portanto existe um número N\gt 0 tal que
\displaystyle (\forall x\in[a,b])\big(g(x)\le N\big).
Em particular, para todo x\in[a,b] verifica-se
\displaystyle \frac{1}{M-f(x)} = g(x)\le N,
o que equivale a
\displaystyle M-f(x)\ge \frac{1}{N} \quad\Rightarrow\quad f(x)\le M-\frac{1}{N}.
Isso significa que todos os valores de f(x) em [a,b] são menores ou iguais a M-\frac{1}{N}. Em particular, o supremo de H satisfaz
\displaystyle \sup H\le M-\frac{1}{N}\lt M,
o que contradiz a definição de M como supremo de H. Portanto, nossa suposição inicial era falsa, e deve existir um ponto x_1\in[a,b] tal que
\displaystyle f(x_1)=M.
Um raciocínio totalmente análogo, aplicado ao ínfimo m=\inf H (por exemplo, considerando a função h(x)=-f(x)), demonstra que existe um ponto x_2\in[a,b] tal que
\displaystyle f(x_2)=m.
Interpretação em termos de compacidade e conclusão
Demonstramos que toda função contínua f:[a,b]\to\mathbb{R} é limitada e atinge seus valores máximo e mínimo em [a,b]. Na linguagem moderna da análise, isso se interpreta dizendo que, em \mathbb{R}, intervalos fechados e limitados como [a,b] são conjuntos compactos e que funções contínuas enviam conjuntos compactos em conjuntos compactos.
Em particular, se I é compacto e f é contínua em I, então a imagem f(I) é um subconjunto compacto de \mathbb{R}. Isso garante que f(I) é limitado e que nele são efetivamente atingidos um valor máximo e um valor mínimo, que é precisamente o conteúdo do Teorema de Weierstrass.