Máximos e Mínimos de uma Função

Onde está o “melhor” ponto de uma função: o máximo que você deseja alcançar ou o mínimo que precisa evitar? Essa pergunta, que aparece em otimização, física, economia e engenharia, é uma das principais aplicações do cálculo diferencial. E aqui vem o ponto central: o Teorema de Weierstrass assegura que, se $f$ é contínua e você trabalha em um intervalo fechado e limitado, então os extremos absolutos existem. A partir daí, o processo torna-se prático: aprender a identificar extremos locais por meio de pontos críticos ( $f'(x)=0$ ou não existe) e utilizar ferramentas como Rolle e o Teorema do Valor Médio para transformar uma busca “às cegas” em um método claro, verificável e eficiente.

Objetivos de Aprendizagem:

Executar um procedimento completo para encontrar extremos absolutos em $[a,b]$ : avaliar $f$ em pontos críticos interiores e nos extremos do intervalo, e comparar valores para decidir máximo e mínimo absolutos.
Contrastar o valor de uma condição necessária versus suficiente: reconhecer que “ $f'(x_0)=0$ ” não garante extremo local, e decidir quais evidências adicionais (comparação de valores, análise de sinais, comportamento local) são pertinentes em cada caso.
Determinar a estratégia mais eficiente de acordo com o tipo de problema: extremos absolutos em intervalos compactos (Weierstrass + avaliação finita) versus extremos locais em pontos interiores (pontos críticos + análise local), justificando a escolha.

ÍNDICE DE CONTEÚDOS:
Máximos e mínimos, extremos absolutos e locais
Critério da 1ª Derivada
O Teorema de Rolle
O Teorema do Valor Médio Diferencial
Intervalos de crescimento e decrescimento

O Teorema de Weierstrass assegura que, se uma função real está definida e é contínua em um subconjunto fechado e limitado de $\mathbb{R}$ , então necessariamente atinge valores máximo e mínimo (extremos absolutos). A busca por máximos e mínimos de uma função é o que se conhece como um problema de otimização, e o teorema de Weierstrass garante a existência de soluções no sentido de extremos absolutos, desde que a função seja contínua e o domínio seja compacto. Tendo a existência assegurada, resta agora desenvolver estratégias que permitam encontrar essas soluções.

Máximos e mínimos, extremos absolutos e locais

Antes de começar a revisar estratégias para a busca de máximos e mínimos, definamos com clareza o que queremos procurar.

DEFINIÇÃO:
Seja $f$ uma função com domínio $D$ . Diremos que $f$ atinge um máximo absoluto em um ponto $x_0\in D$ se:

$\left( \forall x \in D \right)\bigl(f(x) \leq f(x_0)\bigr)$

e atingirá um mínimo absoluto em $x_0$ se:

$\left( \forall x \in D \right)\bigl( f(x_0) \leq f(x)\bigr)$

De forma análoga definem-se os extremos locais (relativos ao domínio).

DEFINIÇÃO:
Seja $f$ uma função com domínio $D$ e seja $x_0\in D$ . Diremos que $f$ atinge um máximo local em $x_0$ se:

$(\exists h>0)\left( \forall x\in [x_0-h, x_0+h] \cap D \right)\bigl(f(x) \leq f(x_0)\bigr)$

e atingirá um mínimo local em $x_0$ se:

$(\exists h>0)\left( \forall x\in [x_0-h, x_0+h] \cap D \right)\bigl( f(x_0) \leq f(x)\bigr)$

A partir disso, podemos enunciar o seguinte resultado:

TEOREMA:

Seja $x_0$ um ponto interior de um intervalo compacto $I$ . Se $f$ atinge um máximo ou mínimo local em $x_0$ e $f^\prime(x_0)$ existe, então $f^\prime(x_0)=0$ .

DEMONSTRAÇÃO:
Suponhamos que $f$ atinge um máximo local em $x_0$ . Então existe $h_0 \gt 0$ tal que, para todo $h$ com $|h|\lt h_0$ e com $x_0+h\in I$ , vale:

$f(x_0 + h)\leq f(x_0)$

o que é equivalente a:

$f(x_0 + h) - f(x_0)\leq 0$

Consideremos agora dois casos:

Se $h>0$ , então:
$\displaystyle \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}\leq 0$
Se $h\lt 0$ , então:
$\displaystyle \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}\geq 0$

Se $f^\prime(x_0)$ existe, então o limite do quociente incremental quando $h\to 0$ existe e deve ser compatível com ambas as desigualdades, o que obriga que:

$\displaystyle f^\prime(x_0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}= 0$

Que é o que se queria demonstrar.

Deve-se notar que esta demonstração também é válida para mínimos locais. Nesse caso, inicia-se com: $f(x_0+h)\ge f(x_0)$ para $|h|$ suficientemente pequeno.

Critério da 1ª Derivada

O resultado que acabamos de revisar pode ser resumido na seguinte implicação:

$\left\{\begin{matrix}f \text{ atinge um}\\ \text{extremo local em }x_0 \end{matrix}\right\} \Longrightarrow \left\{\begin{matrix} \displaystyle f^\prime(x_0) = 0 \\ \\ \vee \\ \\ \text{A derivada não existe em }x_0 \end{matrix}\right\}$

Embora o recíproco dessa implicação não seja verdadeiro em geral, ela é muito útil na delimitação da busca por extremos locais. Em função disso, definem-se os pontos críticos da primeira derivada.

DEFINIÇÃO:
Diz-se que $x_0$ é um ponto crítico da primeira derivada se $f^\prime(x_0)=0$ ou se $f^\prime(x_0)$ não existe.

Os pontos críticos da primeira derivada são relevantes porque todo ponto em que a função extremiza (local ou absolutamente) deve pertencer ao conjunto de pontos críticos:

$\left\{\begin{matrix}\text{pontos que}\\ \text{extremizam absolutamente}\end{matrix}\right\} \subseteq \left\{\begin{matrix}\text{pontos que}\\ \text{extremizam localmente}\end{matrix}\right\} \subseteq \left\{\begin{matrix}\text{pontos críticos da}\\ \text{primeira derivada}\end{matrix}\right\}$

Isso é o que chamamos de critério da primeira derivada, entendido como uma condição necessária para a existência de extremos locais em pontos interiores.

O Teorema de Rolle

Já vimos que a determinação de pontos críticos da primeira derivada é fundamental na busca por extremos locais. Por esse motivo, é natural investigar sob quais condições se pode assegurar a existência de tais pontos críticos. Um avanço nesse sentido vem com o teorema de Rolle.

TEOREMA:
Seja $f$ uma função definida e contínua em $[a,b]$ , e derivável em $]a,b[$ . Se $f(a)=f(b)$ , então existe um $c\in]a,b[$ tal que $f^\prime(c)=0$ .

DEMONSTRAÇÃO:
Analisaremos duas possibilidades:

Se, para todo $x\in]a,b[$ , vale $f(x)=f(a)=f(b)$ , então $f$ é constante e, consequentemente, $f^\prime(x)=0$ para todo $x\in]a,b[$ . Em particular, existe um $c\in]a,b[$ com $f^\prime(c)=0$ .
Se existe $x\in]a,b[$ tal que $f(x)\neq f(a)=f(b)$ , então $f$ não é constante. Como $f$ é contínua em $[a,b]$ , pelo teorema de Weierstrass atinge um máximo absoluto e um mínimo absoluto em $[a,b]$ .
Além disso, como $f(a)=f(b)$ e $f$ não é constante, ao menos um desses extremos deve ocorrer no interior $]a,b[$ .
Assim, se $c\in]a,b[$ é um ponto interior onde $f$ atinge um extremo local. Como $f$ é derivável em $]a,b[$ , em particular existe $f^\prime(c)$ , e pelo teorema anterior conclui-se que $f^\prime(c)=0$ .

O Teorema do Valor Médio Diferencial

Outro resultado que é consequência direta daqueles que acabamos de revisar, e que fornece informação útil para o estudo das funções, é o teorema do valor médio para o cálculo diferencial.

TEOREMA:
Seja $f$ uma função definida e contínua em $[a,b]$ , e derivável em $]a,b[$ . Então existe um $c\in]a,b[$ tal que:

$f^\prime(c) =\displaystyle \frac{f(b) - f(a)}{b-a}$

DEMONSTRAÇÃO:
Seja $F$ a função definida por:

$F(x) = f(x) - \displaystyle \frac{f(b) - f(a)}{b-a}(x-a)$

Essa função é contínua em $[a,b]$ e derivável em $]a,b[$ porque $f$ também o é. Além disso, $F(a)=F(b)$ , de modo que podemos utilizar o teorema de Rolle para concluir que existe um ponto $c\in]a,b[$ tal que $F^\prime(c)=0$ .

Agora, derivando $F$ obtém-se:

$F^\prime(x) = f^\prime(x) - \displaystyle\frac{f(b) - f(a)}{b-a}$

Avaliando em $c$ e utilizando $F^\prime(c)=0$ :

$0=F^\prime(c) = f^\prime(c) - \displaystyle\frac{f(b) - f(a)}{b-a}$

Em seguida:

$f^\prime(c) = \displaystyle\frac{f(b) - f(a)}{b-a}$

que é o que se queria demonstrar.

Intervalos de crescimento e decrescimento

TEOREMA:

Se $f$ é uma função tal que $(\forall x\in ]a,b[)\left(0\lt f^\prime(x)\right)$ , então $f$ é estritamente crescente em $]a,b[$ .
Se $f$ é uma função tal que $(\forall x\in ]a,b[)\left(f^\prime(x)\lt 0\right)$ , então $f$ é estritamente decrescente em $]a,b[$ .

DEMONSTRAÇÃO:
Sejam $x_1,x_2\in ]a,b[$ tais que $x_1 \lt x_2$ . Como $f$ é derivável em $]a,b[$ , podemos aplicar o teorema do valor médio a $f$ sobre o intervalo $[x_1,x_2]\subset ]a,b[$ . Em consequência, existe um ponto $c\in]x_1,x_2[$ tal que:

$f^\prime(c) = \displaystyle\frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1}$

A partir disso:

Se $f^\prime(c) \gt 0$ , então $f(x_2) - f(x_1) = f^\prime(c)(x_2 - x_1) \gt 0$ .
Portanto, $f$ é crescente.
Se $f^\prime(c) \lt 0$ , então $f(x_2) - f(x_1) = f^\prime(c)(x_2 - x_1) \lt 0$ .
Portanto, $f$ é decrescente.

Estudar máximos e mínimos não é apenas “fazer derivadas”, mas aprender a transformar uma busca difusa em um procedimento com garantias e critérios claros. Weierstrass indica quando se pode confiar que o ótimo existe em um intervalo compacto, enquanto o critério da primeira derivada, Rolle e o Teorema do Valor Médio fornecem o mapa para encontrar candidatos e justificar conclusões: onde uma função pode extremizar, quando essa condição é apenas necessária e como o sinal de $f'$ revela crescimento e decrescimento. Ao dominar essa cadeia de ideias, passa-se de observar gráficos com intuição para resolver problemas de otimização com argumentos verificáveis, o que é exatamente a diferença entre “acho que aqui está o melhor ponto” e “sei por que ele deve estar aqui”.