Equação das Elipses e Circunferências

Resumo:
Esta aula explica a obtenção da equação das elipses a partir de sua definição geométrica, que estabelece que a soma das distâncias de qualquer ponto da elipse a dois focos fixos é constante. Através de um desenvolvimento algébrico detalhado, é deduzida a equação geral das elipses e sua forma canônica, bem como a conexão entre as elipses e as circunferências, mostrando que uma circunferência é um caso especial de elipse quando os semi-eixos são iguais.

Objetivos de Aprendizagem:
Ao final desta aula, o aluno será capaz de:

Deducir a equação das elipses a partir de sua definição geométrica.
Reconhecer tanto a forma geral quanto a forma canônica da equação das elipses.

ÍNDICE DE CONTEÚDOS
Formulação geométrica
Obtenção da equação das elipses
Equação geral das elipses
Equação canônica das elipses
Redução à Equação das Circunferências

Formulação geométrica

Para obter a equação que descreve as elipses, devemos raciocinar, assim como com as parábolas, sobre o significado geométrico delas. Uma elipse é o conjunto de todos os pontos do plano tal que a soma das distâncias entre eles e dois pontos chamados de focos é sempre a mesma.

Ou seja, se cumprirá que:

$d(f_1,p) + d(f_2,p) = constante$

Obtenção da equação das elipses

A partir da definição geométrica das elipses podemos obter uma expressão algébrica que as descreve. Para fazer isso com facilidade, no entanto, recorreremos a algumas simplificações. Consideraremos, sem perda de generalidade, que os focos têm posições $f_1 =(-c,0)$ e $f_2 =(c,0),$ deste modo, se um ponto qualquer $p=(x,y)$ fizer parte da elipse, então será cumprido que:

$\sqrt{(x+c)^2 + y^2} + \sqrt{(x-c)^2 + y^2} = 2a$

Onde $a\in\mathbb{R}$ é uma constante fixa. A partir disso, podemos construir o seguinte raciocínio:

(1)	$\sqrt{(x+c)^2 + y^2} + \sqrt{(x-c)^2 + y^2} = 2a$	; Definição geométrica da elipse
	$\sqrt{(x-c)^2 + y^2} = 2a - \sqrt{(x+c)^2 + y^2}$
(2)	$(x-c)^2 + \cancel{y^2} = 4a^2 -4a \sqrt{(x+c)^2 + y^2} + (x+c)^2 + \cancel{y^2}$	; elevando ao quadrado (1)
	$(x-c)^2 = 4a^2 -4a \sqrt{(x+c)^2 + y^2} + (x+c)^2$
	$\cancel{x^2} -2xc + \cancel{c^2} = 4a^2 -4a \sqrt{(x+c)^2 + y^2} + \cancel{x^2} +2xc + \cancel{c^2}$
	$-2xc = 4a^2 -4a \sqrt{(x+c)^2 + y^2} +2xc$
	$4a \sqrt{(x+c)^2 + y^2} = 4a^2 +4xc = 4(a^2 + xc)$
	$a \sqrt{(x+c)^2 + y^2} = a^2 + xc$
(3)	$a^2 [(x+c)^2 + y^2] = (a^2 + xc)^2$	; elevando ao quadrado (2)
	$a^2 [x^2 + 2xc + c2 + y^2] = a^4 +2a^2xc + x^2c^2$
	$a^2 x^2 + \cancel{2xca^2} + a^2 c2 + a^2 y^2 = a^4 + \cancel{2a^2xc} + x^2c^2$
	$a^2 x^2 + a^2 c2 + a^2 y^2 = a^4 + x^2c^2$
	$x^2 (a^2 - c^2) + a^2 y^2 = a^4 - a^2 c^2 =a^2(a^2-c^2)$
	$\dfrac{x^2}{a^2} +\dfrac{ y^2}{a^2-c^2} = 1$
(4)	$0\lt a^2 - c^2 =: b^2$	; O número representado por $b^2$ é positivo, como se vê na figura.
(5)	${\dfrac{x^2}{a^2} +\dfrac{ y^2}{b^2} = 1}$	; De (3) e (4)
	$\boxed{\left(\dfrac{x}{a}\right)^2 + \left(\dfrac{y}{b}\right)^2 = 1}$

Este é o que chamamos de “equação das elipses”.

Equação geral das elipses

A equação que acabamos de obter pode ser levada à sua forma geral por meio de transformações de translação, substituindo $x\longmapsto (x-h)$ e $y\longmapsto (y-k).$ Com isso, chegamos à forma geral da equação das elipses:

$\boxed{\left(\dfrac{x-h}{a}\right)^2 + \left(\dfrac{y-k}{b}\right)^2 = 1}$

Esta é uma elipse com centro no ponto $(h,k)$

Equação canônica das elipses

Fazendo álgebra sobre isso chegamos à equação canônica das elipses:

(1)	$\left(\dfrac{x-h}{a}\right)^2 + \left(\dfrac{y-k}{b}\right)^2 = 1$	; equação geral das elipses
	$b^2 (x-h)^2 + a^2(y-k)^2 = a^2 b^2$	; Multiplicar tudo por $a^2b^2$
	$b^2 [x^2-2xh+h^2] + a^2[y^2-2yk + k^2] = a^2 b^2$	; desenvolver quadrados
	$b^2 x^2-2hb^2 x + h^2b^2 + a^2 y^2-2ka^2y + k^2a^2 = a^2 b^2$	; desenvolver parênteses
	$b^2 x^2- 2hb^2 x + a^2 y^2-2ka^2y +(h^2b^2 + k^2a^2 - a^2 b^2) = 0$	; agrupar termos constantes

Sobre esta última expressão, podemos fazer as substituições $A:=b^2,$ $B:=-2hb^2,$ $C:=a^2,$ $D:=-2ka^2$ e $E:=h^2b^2 + k^2a^2 - a^2 b^2.$ Assim, veremos que as elipses serão descritas por equações da forma:

$Ax^2 + Bx + Cy^2 + Dy + E = 0$

Isto é o que chamamos de “Equação Canônica das Elipses”.

Desses desenvolvimentos, podem ser extraídas algumas restrições sobre as constantes da equação canônica. A mais importante é que $A$ e $B$ devem ter o mesmo sinal; caso contrário, já não estaremos falando de uma elipse, mas sim de uma hipérbole. Existem mais restrições sobre as constantes da representação canônica, mas falar delas agora não é o mais eficiente; veremos em detalhe quando revisarmos a caracterização das elipses e hipérboles.

Redução à Equação das Circunferências

Uma coisa que revisaremos quando falarmos sobre a caracterização das elipses é que as constantes $a$ e $b$ da equação geral correspondem aos semi-eixos da elipse. Se tomarmos ambos os semi-eixos e os igualarmos, fazendo $a=b=r,$ então a elipse se transformará em uma circunferência de raio $r.$

Equação geral das circunferências

Dessa forma, obtém-se a equação geral das circunferências como:

$(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2$

Equação canônica das circunferências

De forma análoga, obtém-se a equação canônica das circunferências: