Definição de Domínio, Imagem e Gráfico

Até agora, realizamos um estudo bastante detalhado sobre funções lineares, quadráticas e similares. Também estudamos curvas como retas, parábolas, elipses e hipérboles, além de operações com polinômios e funções algébricas em geral. Com isso feito, será muito mais fácil aprofundar aspectos um pouco mais fundamentais sobre as funções em geral, o que começaremos a revisar nesta ocasião, introduzindo os conceitos de domínio, imagem e gráfico.

Seja f uma função definida entre os conjuntos A e B

\begin{matrix}f & : & A & \longrightarrow & B \\ & & x & \longmapsto & y=f(x) \end{matrix}

Os conjuntos A e B são chamados de conjuntos de “entrada” e “saída”, respectivamente. E a partir deles, são definidos os seguintes conjuntos:

Dom(f) = \{x\in A\;|\; (\exists y \in B)(y=f(x))\}

Rec(f) = \{y\in B\;|\; (\exists ! x \in Dom(f))(y=f(x))\}

Graf(f) = \{(x,y)\in A\times B\;|\; x\in Dom(f) \wedge y=f(x) \}

Análise de Exemplos

Embora tudo o que se pode aprender sobre os conceitos de domínio, imagem e gráfico seja, essencialmente, uma questão teórica, a compreensão vem mais do desenvolvimento de exemplos práticos, que é o que faremos agora, analisando os três casos a seguir:

Calcular o domínio, a imagem e o gráfico de: f(x) = \sqrt{1-x^2}

Iniciemos esta análise escrevendo y=f(x). Fazendo isso, obtemos a equação

y = \sqrt{1-x^2}

Se elevarmos essa expressão ao quadrado, rapidamente chegaremos a uma equação que leva a questões já conhecidas

\begin{array}{rl} & y^2 = 1-x^2 \\ \equiv & x^2 + y^2 = 1 \end{array}

Esta é a equação da circunferência unitária.

No entanto, devemos ter cuidado aqui, pois ao elevar ao quadrado, adicionamos “informação extra”. Algebricamente, existem dois valores que satisfazem a condição de “ser a raiz quadrada de”, mas, no ponto de partida desta análise, a raiz é especificada como uma função, e funções admitem apenas um resultado. Estamos falando da raiz principal. Por isso, a formulação original refere-se apenas à parte superior da circunferência, em vez da figura completa.

A partir desta figura, é claro que

Dom(f) = \{x\in\mathbb{R}\;|\; |x|\leq 1\} = [-1,1]

Rec(f) = \{y\in\mathbb{R}\;|\; 0\leq y\leq 1\} = [0,1]

Graf(f) = \{(x,y)\in \mathbb{R}\times \mathbb{R}\;|\; x\in [-1,1] \wedge y=\sqrt{1-x^2}\}

Embora eu tenha desenvolvido esta análise de uma perspectiva gráfica, também é possível fazê-la de uma abordagem mais analítica, revisando as operações envolvidas.

f(x) = \color{red}{\sqrt{{1-x^2}}}

A parte 1-x^2 está bem definida para todos os reais.

No entanto, a raiz só admite valores maiores ou iguais a zero.

A partir disso, temos:

\begin{array}{rlrl} x\in Dom(f) & \leftrightarrow & 0 &\leq 1-x^2 \\ {} & \leftrightarrow & x^2 &\leq 1 \\ & \leftrightarrow & |x| &\leq 1 \\ & \leftrightarrow & -1 &\leq x \leq 1 \\ \end{array}

Portanto:\; Dom(f) = \{x\in \mathbb{R}\;|x| \leq 1\} = [-1,1]

Os métodos analíticos para determinar a imagem são, em geral, muito mais complicados; os casos mais simples são resolvidos encontrando a função inversa, mas antes de revisar esse tema em detalhes, é conveniente primeiro estudar a composição de funções e outros casos mais simples para ter uma base sólida. Enquanto isso, os métodos gráficos que revisaremos em breve cobrirão grande parte das dificuldades de determinar a imagem.

Análise para: g(x) =\displaystyle \frac{x^2 - 1}{x^2 + 1}

Uma forma de encontrar rapidamente o domínio da função é perguntando pelos valores de x que “estragam a função”. É claro que a função só se estraga quando o denominador se anula. Ou seja:

\begin{array}{rl} & x^2 + 1 = 0 \\ \equiv & x^2 = -1 \\ \end{array}

Como nenhum número real pode satisfazer tal condição, é claro que

\color{blue}{Dom(g) = \mathbb{R}}

Determinar o gráfico geralmente é a forma mais rápida de determinar a imagem de uma função; e para isso, a divisão de polinômios será uma boa ferramenta.

Fazendo a divisão de polinômios, chegamos a:

y= \displaystyle\frac{x^2-1}{x^2+1} = 1 -\displaystyle\frac{2}{x^2 + 1}

Dessa forma, separamos a função original em duas partes mais simples, chamadas “parte inteira” e “parte fracionária”. Fazer o gráfico de cada uma dessas partes separadamente é muito mais fácil do que fazer o gráfico da função original de uma só vez.

Análise para: h(x) =\displaystyle \frac{x - 1}{\sqrt{x+1}}

Uma análise algébrica ajudará a determinar rapidamente o domínio dessa função. Basta notar que ela estará bem definida sempre que

\begin{array}{rrl} & 0 & \lt x + 1 \\ \equiv & -1 & \lt x \\ \end{array}

Portanto, é claro que Dom(h)=]-1,+\infty[.

Para encontrar a imagem, é conveniente esboçar o gráfico e, para fazer isso de forma simples, utilizaremos uma tabela de sinais. A função h(x) é composta de duas partes

h(x)=\displaystyle\frac{\color{green}{x-1}}{\color{red}{\sqrt{x+1}}}

A parte superior se anula em x=1; A parte inferior, além de se anular em x=-1, torna-se indefinida se x\lt-1. Com essas informações, constrói-se a seguinte tabela de sinais:

Com as informações apresentadas nesta tabela, agora é muito simples traçar o gráfico da função.

E com isso, determinar o domínio e a imagem agora é uma questão trivial:

Dom(h)=]-1,+\infty[

Rec(h)=\mathbb{R}

Exercício Proposto

Utilizando as ferramentas que acabamos de revisar, encontre o domínio, a imagem e o gráfico da seguinte função

F(x) = \displaystyle\frac{4x^3 + 6x^2 -2x + 1}{x^2-4}