A Força de Empuxo

Quando falamos sobre flutuabilidade, a primeira coisa que pensamos é que os objetos tendem a pesar menos quando estão submersos em um fluido. Por exemplo, uma pedra que poderia ser levantada com dificuldade debaixo d’água, fora dela seria quase impossível de mover. Este fenômeno é explicado pelo aparecimento de uma força chamada empuxo.

Quando um objeto é submerso em um fluido, surge uma força de empuxo direcionada para cima, igual ao peso do líquido deslocado pelo corpo submerso. Por isso, todos os corpos submersos em um fluido parecem perder parte de seu peso, pois há uma diferença de forças entre as diferentes regiões do corpo conforme sua profundidade. Assim, a força de empuxo será:

F_{emp} = F_2 - F_1

Como P=F/A e P=\rho g h, podemos inferir que F=\rho g A h, sendo \rho a densidade do fluido, h a profundidade, A a área da superfície onde a pressão é aplicada, e g a aceleração da gravidade. Com isso, as forças exercidas nas faces superior e inferior são dadas por:

F_1 = \rho g A h_1

F_2 = \rho g A h_2

Portanto, temos:

\begin{array}{rl} F_{\text{empuxo}} &= \rho g A h_2 - \rho g A h_1 \\ \\ &=\rho g A \underbrace{h_2 - h_1}_{\Delta h} \\ \\ &= \rho gV \\ \\ & =\text{Peso do volume do líquido deslocado} \end{array}

Isso é o que conhecemos como o princípio de Arquimedes.

EXEMPLO: Uma pedra de 70[kg] está no fundo de um lago. Se seu volume é de 3\cdot 10^4 [cm^3], qual força é necessária para levantá-la?

SOLUÇÃO:

A força de empuxo sobre a pedra será:

\begin{array}{rl} F_{\text{empuxo}} &= \rho_{\text{água}} g V_{pedra} \\ \\ &= 10^3 \left[\dfrac{kg}{m^3}\right] \cdot 9.81\left[\dfrac{m}{s^2}\right] \cdot 3 \cdot 10^4 [cm^3] \\ \\ &= 10^3 \left[\dfrac{kg}{m^3}\right] \cdot 9.81\left[\dfrac{m}{s^2}\right] \cdot 3 \cdot 10^4 \left[\dfrac{m}{100}\right]^3 = 294[N] \end{array}

Enquanto que a força peso da pedra é:

F_{\text{peso}} = m_{\text{pedra}}g = 70[kg] \cdot 9.81 \left[\dfrac{m}{s^2}\right]=686[N]

Portanto, para levantar a pedra debaixo d’água, bastará uma força de F = 686[N] - 294[N] = 392[N]. Debaixo d’água, essa pedra pode ser levantada com quase metade da força que seria necessária fora dela.

A Flutuabilidade e o Princípio de Arquimedes

O princípio de Arquimedes nos ajuda a entender por que alguns objetos flutuam quando são submersos em certos fluidos. Por exemplo, madeira na água. Em geral, um objeto flutua em um fluido se a densidade do meio for maior do que a do objeto, e flutuará até que uma porção emerja acima da interface. O corpo se elevará até alcançar uma posição de equilíbrio. Como podemos calcular a porção do corpo que emerge acima do fluido? É fácil de calcular.

Se igualarmos a força peso com a força de empuxo, podemos calcular qual porção do corpo sairá acima da interface. O raciocínio é o seguinte:

\begin{array}{rl} & F_{\text{peso}} = F_{\text{empuxo}}\\ \\ \equiv & m_{\text{objeto}} g = m_{\text{submerso}} g \\ \\ \equiv & \rho_{\text{objeto}}V_{\text{objeto}} g = \rho_{\text{submerso}} V_{\text{submerso}} g \\ \\ \equiv & \dfrac{\rho_{\text{objeto}}}{\rho_{\text{submerso}}} = \dfrac{V_{\text{submerso}}}{V_{\text{objeto}} } = \text{Porcentagem do corpo submerso} \end{array}

EXEMPLO: Um modelo simples supõe um continente como um bloco sólido de rocha (com densidade =2800[kg/m^3]) flutuando sobre o manto terrestre circundante (com densidade =3300[kg/m^3]). Supondo que o continente tenha uma espessura média de 35[km], calcule a altura média que sobressai sobre o manto.

SOLUÇÃO:

A porcentagem do corpo submerso será:

Porcentagem submersa \displaystyle = \frac{\rho_{corpo}}{\rho_{fluido}}

Portanto, a porcentagem do corpo que não está submersa e que sobressai sobre o manto será:

Porcentagem que sobressai \displaystyle = 1 - \frac{\rho_{corpo}}{\rho_{fluido}} = 1 - \frac{2800}{3300} \approx 0,15 = 15\%

Como a espessura média é de 35[km], o que sobressai em média será 15\% 35[km]\approx 5,3 [km].