Theorema Weierstrassii de Valoribus Extremis
Cur in tot problematis optimizationis fere pro certo habetur “maximum exsistere” aut “semper minimum dari” in quodam intervallo, cum re vera nihil cogat ut id fiat? Theorema Weierstrassii pars erat desiderata in hoc aenigmate: cavet enim ut functio continua in intervallo clauso atque limitato definita non solum sit limitata, sed etiam valores suos extremos re vera attingat. In hac expositione enuntiationem eius recensimus, demonstrationem accuratam ex continuitate punctuali, compactione et axioma supremi structam elaboramus, deque interpretatione hodierna in terminis functionum continuarum in compactis disserimus. Propositum est ut, perlecto opere, non solam sententiam theorematum memineris, sed etiam intellegas cur verum sit et cur iterum atque iterum in analysi, in optimizatione et in exemplaribus adhibitis appareat.
Proposita disciplinae
- Enuntiationem Theorematis Weierstrassii comprehendere.
Praecisas conditiones theorematos agnoscere (functio continua in intervallo cluso et limitato [a,b]) atque conclusiones eius praecipuas: limitationem et existentiam valorum maximi et minimi. - Theorema Weierstrassii secundum compactionem interpretari.
Propositum in lingua hodierna efformare: functiones continuae compacta in ea transformant ubi valores extremi attinguntur, coniungentes casum [a,b] cum ambitu generali analysis realis. - Theorema Weierstrassii cum problematis optimizationis referre.
Agnoscere munus theorematos tamquam fundamentum theoreticum pro existentia maximorum et minimorum in multis problematis optimizationis unius variabilis, sive theoreticis sive adhibitis.
INDEX RERUM:
Introductio
Enuntiatio Theorematis Weierstrassii
Demonstratio
Gradus 1: Continuitas punctalis in [a,b]
Gradus 2: Recubratio aperta cum continuitate coniuncta
Gradus 3: Compacitas [a,b] et subrecubratio finita
Gradus 4: Constructio \delta cuius valor non pendet ab x_0 (continuitas uniformis)
Gradus 5: Ex continuitate uniformi ad limitationem f in [a,b]
Gradus 6: Existentia valorum maximi et minimi
Interpretatio secundum compactionem et conclusio
Introductio
Theorema Weierstrassii de Valoribus Extremis est unum ex iis resultatibus quae, quamquam in primis unitatibus Analysis Realis apparere solent, revera magnam partem mathematicae applicatae tacite sustentant. Quoties in physica, oeconomia vel statistica de “maximanda” vel “minimanda” quantitate sub certis condicionibus loquimur, re vera ideam admodum proximam ad illam huius theorematos adhibemus: functionem continuam in intervallo clauso ac limitato definitam non solum limitatam esse, sed etiam valores extremos suos re vera attingere.
Intuitu videri potest “manifestum” esse, si lineam continuam in segmento [a,b] depingimus, tum punctum aliquod altissimum atque aliud infimum exsistere debere. Nihilominus, satis est parvas mutationes in hypothesibus facere ut haec intuitio pessime deficiat: si intervallum aperimus, si functio desinit continua esse aut si dominium non est limitatum, maxima et minima simpliciter evanescere possunt. Theorema Weierstrassii ordinem huic intuitioni imponit et nobis accurate dicit quando in ea confidere possimus et cur.
Ex prospectu theoretico, hoc theorema primus est occursus gravis cum idea compactionis: lingua hodierna dictum est functionem continuam compacta in compacta transformare. Ex prospectu practico, hoc vertitur in existentiam solutionum pro multis problematis optimizationis unius dimensionis, atque erit pars fundamentalis pro resultatibus posterioribus sicut Theorema de Valore Medio et, ultimo, pro intellegendo lente Theorema Fundamentale Calculi.
In hoc capite enuntiabimus Theorema Weierstrassii atque demonstrationem eius diligenter exsequemur, nitentes in notione continuitatis in [a,b] et in axioma supremi. Propositum est ut hic textus tibi sit firmum subsidium: tum ad ipsum resultatim discendum, tum ad eum recognoscendum quoties opus sit illo uti ad alia theorematica probanda aut ad existentiam maximorum et minimorum in problematis concretis stricte demonstrandam.
Enuntiatio Theorematis Weierstrassii
Omnis functio f definita et continua in [a,b], limitata est et valores minimum et maximum, m et M, habet, tales ut si x\in[a,b], tum f(x)\in[m,M]. |
Demonstratio
Probandum est, si f:[a,b]\to\mathbb{R} continua est in intervallo clauso ac limitato [a,b], tum f esse limitatam atque valorem maximum et minimum in [a,b] attingere. Demonstrationem in duas partes principales dividemus:
- Primum ostendemus continuitatem f in [a,b] efficere ut f uniformiter continua sit, atque hinc deducemus eam limitari.
- Deinde, utentes axioma supremi, probabimus f valores maximi et minimi in intervallo attingere.
Gradus 1: Continuitas punctalis in [a,b]
Ex hypothesi, f continua est in quoque puncto x_0\in[a,b]. Secundum definitionem continuitatis per \epsilon et \delta, hoc significat:
\displaystyle (\forall x_0\in[a,b])(\forall \epsilon\gt 0)(\exists \delta(x_0)\gt 0) \big(|x-x_0|\lt\delta(x_0)\Rightarrow |f(x)-f(x_0)|\lt\epsilon\big).
Hoc loco numerus \delta(x_0) a puncto x_0 pendere potest. Propositum proximum est, ex his \delta(x_0) unum numerum \delta construere qui ab x_0 non pendeat et qui omnibus punctis intervalli simul valeat.
Gradus 2: Recubratio aperta cum continuitate coniuncta
Figeamus \epsilon\gt 0 quendam. Pro quoque x_0\in[a,b], continuitas f sinit nos eligere numerum \delta(x_0)\gt 0 talem ut
\displaystyle |x-x_0|\lt\delta(x_0)\Rightarrow |f(x)-f(x_0)|\lt\frac{\epsilon}{2}.
Ex his valoribus definimus, pro quoque x_0\in[a,b], intervallum apertum
\displaystyle I_{x_0}=\left(x_0-\frac{\delta(x_0)}{2},\,x_0+\frac{\delta(x_0)}{2}\right).
Quodque I_{x_0} est apertum in \mathbb{R}, praeterea familia
\displaystyle \{I_{x_0}\}_{x_0\in[a,b]}
constituit recubratio apertam [a,b]. Re vera, dato puncto quolibet y\in[a,b], satis est sumere x_0=y; ex constructione, y\in I_y. Ita quodque punctum intervalli saltem uni ex apertis I_{x_0} inest.
Haec familia apertorum est, generatim, infinita (est enim unum pro quoque x_0\in[a,b]). Hic locus est ubi compacitas [a,b] munus suum agit.
Gradus 3: Compacitas [a,b] et subrecubratio finita
Ex Theoremate Heine–Borel scimus subensemble \mathbb{R} compactum esse si et solum si clausum et limitatum est. Intervallum [a,b] clausum est et limitatum, igitur compactum est. Ex definitione compactionis hoc significat:
Ex omni recubratione aperta [a,b] (etiam si infinita sit) extrahi posse subrecubrationem finitam.
Hanc proprietatem ad recubrationem apertam \{I_{x_0}\}_{x_0\in[a,b]} applicantes, sequitur exsistere puncta x_1,\dots,x_N\in[a,b] talia ut intervalla eis respondentia sint
\displaystyle I_{x_1},\, I_{x_2},\,\dots,\,I_{x_N}
adhuc totum intervallum recubrant:
\displaystyle [a,b]\subset I_{x_1}\cup I_{x_2}\cup\cdots\cup I_{x_N}.
Ita transivimus ab familia infinita intervallorum apertorum ad subrecubrationem cum solis numeris finitis intervallorum, sine amissione proprietatis recubrendi [a,b].
Gradus 4: Constructio \delta quod ab x_0 non pendet (continuitas uniformis)
Ex subrecubratione finita definimus numerum
\displaystyle \delta=\min\left\{\frac{\delta(x_1)}{2},\frac{\delta(x_2)}{2},\dots,\frac{\delta(x_N)}{2}\right\}.
Cum sit minimum quantitatis finitae numerorum positivorum, constat \delta\gt 0. Ostendemus hoc \delta valere pro omni puncto x_0\in[a,b], id est, non pendere ab electione x_0.
Nunc sumamus:
- punctum arbitrarium x_0\in[a,b], et
- punctum x\in[a,b] tale ut |x-x_0|\lt\delta.
Quoniam intervalla I_{x_1},\dots,I_{x_N} [a,b] recubrant, punctum x_0 saltem uni eorum inest, dicamus I_{x_j} pro quodam j\in\{1,\dots,N\}. Ex definitione I_{x_j}, hoc significat
\displaystyle |x_0-x_j|\lt\frac{\delta(x_j)}{2}.
Praeterea, ex definitione \delta habemus \delta\le\frac{\delta(x_j)}{2}, unde ex |x-x_0|\lt\delta sequitur
\displaystyle |x-x_0|\lt\frac{\delta(x_j)}{2}.
Adhibita inaequalitate trianguli,
\displaystyle |x-x_j|\le |x-x_0|+|x_0-x_j| \lt \frac{\delta(x_j)}{2}+\frac{\delta(x_j)}{2} =\delta(x_j).
Ex electione \delta(x_j) (continuitatis f in x_j pro valore \epsilon/2), inaequalitates |x_0-x_j|\lt\delta(x_j) et |x-x_j|\lt\delta(x_j) implicant
\displaystyle |f(x_0)-f(x_j)|\lt\frac{\epsilon}{2} \quad\text{et}\quad |f(x)-f(x_j)|\lt\frac{\epsilon}{2}.
Iterum adhibita inaequalitate trianguli obtinetur
\displaystyle |f(x)-f(x_0)| \le |f(x)-f(x_j)| + |f(x_j)-f(x_0)| \lt \frac{\epsilon}{2}+\frac{\epsilon}{2} =\epsilon.
Cum x_0 et x fuerint arbitraria, demonstravimus pro illo \epsilon initio fixo exsistere \delta\gt 0 ab x_0 independente tale ut
\displaystyle (\forall x_0\in[a,b])(\forall x\in[a,b]) \big(|x-x_0|\lt\delta\Rightarrow |f(x)-f(x_0)|\lt\epsilon\big).
Si x_0 sub nomine y denotemus, hoc scribitur:
\displaystyle (\forall \epsilon\gt 0)(\exists \delta\gt 0)(\forall x,y\in[a,b]) \big(|x-y|\lt\delta\Rightarrow |f(x)-f(y)|\lt\epsilon\big),
quae est ipsa definitio continuitatis uniformis f in [a,b]. In sequentibus hoc tantum pro casu \epsilon=1 adhibebimus.
Gradus 5: Ex continuitate uniformi ad limitationem f in [a,b]
Adhibeamus nunc continuitatem uniformem cum \epsilon=1. Exstat numerus \delta_1\gt 0 talis ut pro omnibus x,y\in[a,b] valeat
\displaystyle |x-y|\lt\delta_1\Rightarrow |f(x)-f(y)|\lt 1.
Iam dividimus intervallum [a,b] in numerum finitum subintervallorum quarum longitudo sit minor quam \delta_1. Id est, eligimus integrum n et puncta
\displaystyle a = x_0 \lt x_1 \lt \cdots \lt x_n = b
ita ut pro singulis k=0,1,\dots,n-1 valeat
\displaystyle x_{k+1}-x_k\lt\delta_1.
Consideremus nunc finitum valorem collectum
\displaystyle \{f(x_0),f(x_1),\dots,f(x_{n-1})\}.
Cum sit numerorum realium collectio finita, definire possumus
\displaystyle C = \max\{|f(x_k)| \;|\; k=0,1,\dots,n-1\}.
Ostendemus C+1 esse cotam superiorem absoluto valore f in toto intervallo [a,b]. Sit x\in[a,b] punctum arbitrarium. Tum exstat index k talis ut x\in[x_k,x_{k+1}]. In specie,
\displaystyle |x-x_k|\le x_{k+1}-x_k\lt\delta_1.
Ex continuitate uniformi cum \epsilon=1, ex |x-x_k|\lt\delta_1 sequitur
\displaystyle |f(x)-f(x_k)|\lt 1.
Inequalitate trianguli adhibita:
\displaystyle |f(x)|\le |f(x)-f(x_k)| + |f(x_k)| \lt 1 + |f(x_k)| \le 1 + C.
Cum x\in[a,b] fuerit arbitrarium, concludimus
\displaystyle |f(x)|\le C+1 \quad \text{pro omnibus } x\in[a,b],
id est, functio f est limitata in [a,b].
Gradus 6: Existentia valorum maximi et minimi
Definimus collectum valorum quos functio in intervallo sumit:
\displaystyle H=\{f(x)\;|\;x\in[a,b]\}\subset\mathbb{R}.
Iam scimus H non vacuum esse (cum [a,b] non vacuum sit) atque limitatum, ita per axioma supremi exsistunt numeri reales
\displaystyle M=\sup H,\qquad m=\inf H.
Probandum est M attingi ut valor functionis, id est, exsistere x_1\in[a,b] cum f(x_1)=M. Procedemus per reductionem ad absurdum.
Ponamus f(x) numquam valorem M attingere, id est:
\displaystyle (\forall x\in[a,b])\big(f(x)\lt M\big).
Hac sub hypothesi, functio
\displaystyle g(x)=\frac{1}{M-f(x)}
bene definita est et positiva pro omni x\in[a,b], cum ex hypothesi M-f(x)\gt 0. Praeterea, cum f continua sit et M constans sit, etiam g continua est. Per primam demonstrationis partem, omnis functio continua in [a,b] limitata est, unde exstat numerus N\gt 0 talis ut
\displaystyle (\forall x\in[a,b])\big(g(x)\le N\big).
In specie, pro omni x\in[a,b] verificatur
\displaystyle \frac{1}{M-f(x)} = g(x)\le N,
quod aequivalet
\displaystyle M-f(x)\ge \frac{1}{N} \quad\Rightarrow\quad f(x)\le M-\frac{1}{N}.
Hoc significat omnes valores f(x) in [a,b] minores vel aequales esse M-\frac{1}{N}. In specie, supremum H satisfacit
\displaystyle \sup H\le M-\frac{1}{N}\lt M,
quod pugnat cum definitione M tamquam supremi H. Ergo falsum erat principium nostrum, atque exsistere debet punctum x_1\in[a,b] tale ut
\displaystyle f(x_1)=M.
Ratio omnino similis, ad infimum m=\inf H applicata (exempli gratia considerantes functionem h(x)=-f(x)), demonstrat exsistere punctum x_2\in[a,b] tale ut
\displaystyle f(x_2)=m.
Interpretatio secundum compactionem et conclusio
Probavimus omnem functionem continuam f:[a,b]\to\mathbb{R} limitatam esse atque valores maximi et minimi in [a,b] attingere. In lingua moderna analysis, hoc ita explicatur: in \mathbb{R}, intervalla clausa et limitata sicut [a,b] sunt compacta, et functiones continuae compacta in compacta transferunt.
In specie, si I compactum est et f continua est in I, tum imago f(I) est subcollectio compacta \mathbb{R}. Hoc spondet f(I) esse limitatum et in eo valores maximum et minimum re vera attingi, quod est ipsum quod Theorema Weierstrassii continet.