Proposita Discendi:

1. Intellegere quid sit logica mathematica eiusque usus principales.
2. Intellegere differentiam inter logicam et theoriam veritatis.
3. Intellegere cur lingua formalis in logica adhibeatur et quomodo haec sinat argumenta ac ratiocinia precise ac rigide repraesentari atque examinari.
4. Intellegere differentiam inter linguas naturales et linguas formales.

Quid est Logica Mathematica?

Logica mathematica est ramus logicae qui versatur circa studium principiorum fundamentalium ratiocinii mathematici atque argumentationis. Adhibetur ad analysim atque aestimationem validitatis ratiocinationum et ad elaborandos modos formales utiles ad demonstrationes theorematis mathematici exsequendas. Logica mathematica etiam usum habet in aliis regionibus, ut informatica et philosophia scientiae, atque fundamentum praebet evolutioni systematum formalium linguae et deductionis automaticae.

Logica non est theoria veritatis

Semper magni momenti est monere logicam non esse theoriam de veritate; hoc sensu quod non tractat disputationem quae definit veritatem aut falsitatem. Pro eius loco, assumendo a priori quasdam expressiones valores veritatis habere, investigatur quomodo inter se referantur aut quomodo ex aliis inferri possint.

Logica linguam idoneam postulat

Antequam logicam exerceas, necesse est linguam idoneam ad eius exsecutionem habere. Haec lingua, quam “linguam formalem” appellamus, proprietates habet quae inferentias validas efficere sinunt; id est, mechanismum qui expressiones veras ex veritate aliarum deducere sinit.

Cur logica indiget lingua formali?

Logica indiget lingua formali quia haec lingua specialiter destinata est ad argumenta et ratiocinia clare et exacte exprimenda. Lingua formali utens, fieri potest ut argumentorum ac ratiocinationum contenta rigide et exacte repraesententur, quod sinit validitatem et consistentiam eorum examinari ac aestimari.

Lingua formalis est lingua quae in regulis et conventibus strictis ac systematicis fundatur ad repraesentationem conceptuum et relationum inter eos. Utendo lingua formali, fieri potest ut conceptus ac argumenta logica magis exacte ac rigide repraesententur, quod sinit ambiguitates ac errores in ratiocinatione vitari. Unus ex finibus horum generum linguarum est vitare inexactitudines et paradoxa quae in lingua communi oriuntur: flexibilitas et copia expressiva linguae communis immolantur ad claritatem linguae formalis assequendam.

Linguae naturales et linguae formales

Linguae naturales sunt illae linguae quibus homines adhibentur ad communicandum sive ore sive scriptura. Exempla linguarum naturalium sunt Hispanica, Anglica, Gallica, Sinica, Arabica, inter multas alias.

Linguae naturales sunt systemata communicationis complexa quae in regulae et conventiones nituntur ad cogitationes, opiniones et sensus clare ac definite exprimendos. Hae linguae constant ex symbolis (ut litteris, verbis et sententiis) quae ad significata transferenda et communicationem perficiendam adhibentur.

Contra linguas formales, quae specialiter creatae sunt ad argumenta et ratiocinia clare ac exacte exprimenda, linguae naturales magis flexibiles sunt atque variis in adiunctis et contextibus adhibentur ad communicationem perficiendam.

In logica mathematica praeferuntur linguae formales supra linguas naturales, praecipue quia flexibilitas et copia quae linguas naturales insignit, quamvis maxima vis earum sit in campo expressionis, est etiam maxima infirmitas earum in ambitu praecisionis: copia expressiva et defectus rigorositatis linguarum naturalium generant multitudinem paradoxorum, quae in logica vitanda sunt. Quam ob rem, tota vis expressiva linguarum naturalium immolatur in gratiam praecisionis linguae formalis.

Paradoxa linguae

Paradoxa linguae sunt problemata logica quae in lingua oriuntur et quae difficillime solvuntur propter contradictionem internam. Haec paradoxa plerumque sunt enuntiata quae, si vera accipiantur, ad conclusiones contradictorias aut absurditates ducunt.

Linguae naturales quibus communiter utimur sunt validissimae instrumenta quae nobis permittunt ideas, cogitationes et affectus communicare, sed simul possunt esse fallaces et difficulter interpretandae ob ambiguitatem verborum et sententiarum. Exempli gratia, quaedam verba plures significationes habent, et interdum difficile est intellegere ad quam significationem orator referat. Praeterea, quaedam sententiae possunt varias interpretationes habere secundum contextum in quo adhibentur.

Paradoxa linguae evitantur per linguas formales

Una ex utilitatibus linguarum formalium supra linguas naturales est quod paradoxa linguae vitant propter praecisionem et absentiam ambiguitatis. Lingua formali utens, fieri potest ut regulae et conventiones praescribantur quae sequendae sunt ad interpretationes falsas aut contradictiones vitandas. Exempli gratia, in logica mathematica, adhibetur lingua formalis quae “lingua logicae propositionis” appellatur ad propositiones et ratiocinia ex propositionibus derivata clare et exacte exprimenda. Haec lingua regulas et conventiones definit quae sequendae sunt ad quaedam paradoxa linguae vitanda, et adhibetur ad probationes et demonstrationes logicas modo rigido ac systematico perficiendas.

Praeter linguam logicae propositionis, aliae linguae sunt ad usum in condicionibus magis complexis destinatae, quae idem propositum persequuntur, sicut linguae logicae praedicatorum primi et secundi ordinis.

5 exempla paradoxorum linguae

1. Paradoxon non-mendacii: Apparet cum dicitur “omne quod dicitur est mendacium”. Si omne quod dicitur est mendacium, tunc enuntiatio ipsa est mendacium, ergo falsa. Si enuntiatio non est mendacium, tunc aliquid quod dicitur est verum, ergo enuntiatio falsa est. Consequenter, si vera est, falsa est; et si falsa est, vera est.
2. Paradoxon mendacis: Orta est ex enuntiatione “mentior”, quae contradictionem logicam ponit sive vera sive falsa sit. Si vera est, tunc mentitur, ergo enuntiatio falsa est. Si falsa est, tunc non mentitur, ergo enuntiatio vera est. Denique, ut prius, si vera est, falsa est et vice versa.
3. Paradoxon proprietatum autorreferentium: Paradoxa autorreferentia oriuntur ex expressionibus quae de se ipsis loquuntur contradictionem inducendo, ut fit cum dicitur “numerus minimus qui non potest scribi minoribus quam viginti verbis”. Hoc ipsum paradoxon est quia ipsa enuntiatio minus quam viginti verba continet.
4. Paradoxon tonsoris: Sic proponitur: “In vico est tonsor qui omnes viros rasile facit qui se ipsos non rasilunt. Tonsorne se ipsum rasilit?” Primo intuitu nullum videtur esse problema, tamen quid de ipso tonsore? Manifestum est tonsorem virum esse (aliter non diceretur “tonsor”) et si se ipsum rasilire potest, ergo se ipsum non rasilire potest; si vero se ipsum non rasilit, ergo se ipsum rasilit, atque sic in circulo iterum.
5. Paradoxon existentiae coniuncti vacui: Fundatur in enuntiatione quod coniunctum vacuum (id est coniunctum nullos elementos habens) existit, sed nullus ex elementis eius existit (quia nullos habet). Ergo habemus obiectum quod existit et constat ex rebus inexistentibus.

Logica Mathematica sive Symbolica

Logica mathematica, quae etiam logica symbolica appellatur, est ramus logicae qui symbolis et notationibus mathematicis utitur ad argumenta et expressiones repraesentandas atque analysandas. Haec forma logicae fundatur in idea quod cogitatio et ratiocinatio sunt processus qui mathematice modelari, examinari et investigari possunt, atque quod symbola et notationes mathematicae utiles sunt ad hos processus constanter ac exacte repraesentandos atque tractandos.

Studium logicae mathematicae incipit per inspectionem linguae qua elementa eius repraesentabuntur; ita distinguntur formae usitatissimae: logica propositionis et logicae praedicatorum primi et secundi ordinis. In singulis harum formarum evolvuntur technicae ratiocinationis mathematicae quae ad probationes rigidas plurimorum eventuum ac theorematum mathematicorum ducunt.

Studium logicae symbolicae pars est unius ex columnis fundamentalibus mathematicae.

Quattuor Columnae Fundamentales Mathematicae

Logica mathematica est pars magni momenti fundamentorum mathematicae. Hi fundamenti constant ex quattuor columnis sequentibus:

1. Theoria Demonstrationis: Versatur circa studium quomodo argumenta mathematica et scientifica proponi et aestimari possint. Haec theoria fundatur in opinione quod demonstrationes esse debeant rigidae, logicae atque principiis formalibus innixae. Theoria demonstrationis includit investigationem diversorum generum demonstrationum, ut demonstrationes per inductionem et deductionem, atque quomodo hae species adhiberi possint ad problemata mathematica et scientifica solvenda. Hoc est quod per studium logicae mathematicae agitur.
2. Theoria Coniunctionum (Coniunctuum): Est ramus mathematicae qui coniunctionum (conjunctarum rerum sive elementorum) studio incumbit. Haec theoria complectitur investigationem de modis quibus coniunctiones definiri et classificari possunt, atque de modis quibus operationes in eis peragantur. Theoria coniunctionum pars est fundamentalis mathematicae recentioris et adhibita est ad multa principia ac conceptus fundamentales mathematicae evolvenda atque applicanda.
3. Theoria Computationis: Cuius partes fundamentales sunt:
   1. Theoria Complexitatis: Est ramus scientiae computationis qui versatur circa studium complexitatis problematum et algorithmorum. Haec theoria complectitur investigationem quomodo complexitas diversorum problematum et algorithmorum metiri et comparari possit, et quomodo algorithmis efficientioribus uti liceat ad hos problemas solvendas.
   2. Theoria Computabilitatis: Est pars scientiae computationis quae versatur circa studium quorum problematum et functionum ab instrumentis computatoriis resolvi aut evaluari possint, et quorum non. Haec theoria complectitur investigationem quomodo problemata et functiones computabiles definiri et classificari possint, et quomodo evolvi et adhiberi possint.
4. Theoria Exemplorum (Modelorum): In logica et mathematica, est studium relationum inter theorias formales (enuntiata in lingua formali conscripta, ad assertiones de structura quadam mathematica stabiliendas adhibita) et earum exempla (structuras quae his enuntiatis satisfaciunt). Talia structurae mathematicae possunt esse circuli, corpora, graphides, etc. Theoria exemplorum sinit ut expressiones pure formales interpretatione semantica instruantur, et insuper sinit ut quaestiones de completudine, consistentia et independentia inter enuntiata investigentur.

Difficillimum est singulos hos columnas in altitudine investigare sine aliqua parte aliorum attingenda. Studia harum columnarum plerumque inter se coniuncta sunt. Cum quaerimus quid sit logica mathematica, solet contingere ut responsio ex coniunctione studiorum oriatur quae inter hos quattuor columnas versantur.