Modellum Binomiale Unius Temporis et Conditio Nullius Arbitrarii

Abstractum:
Finge te in ludo aleatorio versari, ubi pecuniam lucrari semper potes, quidquid exitus sit. Nimium bonum ut verum sit, nonne? In mercatis financialibus, tales opportunitates exsistunt propter arbitragium; tamen cito evanescunt ob actiones participantium mercatus. In hac lectione, explorabimus modellum binomiale unius temporis et conditionem nullius arbitrarii, perpendentes quomodo pretia bonorum, usurae, et consilia collocandi facultatem lucri sine periculo eliminent. Per exempla accurata et probationem mathematicam strictam, principia fundamentalia quae stabilitatem financialem sustinent patefaciemus et cur detectio occasionis arbitrarii initium tantum sit historiae multo complexioris.

Propositi Discendi
Ad finem huius lectionis, discipulus poterit:

1. Intelligere modellum binomiale unius temporis eiusque applicationem in aestimatione bonorum financialium.
2. Agoscere elementa fundamentalia modelli binomialis unius temporis: bonum subiacens, factores ascensus et descensus, et bonum sine periculo.
3. Intelligere structuram et functionem portifolii sui ipsius sustentantis in modelli binomiali.
4. Intelligere conditionem nullius arbitrarii in mercatis financialibus et quomodo haec impedit facultatem lucri sine periculo per portifolia sui ipsius sustentantia.
5. Examinare existentiam opportunitatum arbitrarii in mercato per analysim conditionis nullius arbitrarii.
6. Analysare quomodo arbitragium pretia bonorum afficiat et mutationes mercatus inducat.
7. Describere effectum usurarum mutuationis actionum in strategias arbitrarii et conditionem nullius arbitrarii.
8. Explicare per modellos mathematice quomodo mutationes mercatus fiant post apparentiam opportunitatum arbitrarii.
9. Intelligere probationem formalem theorematos de conditione nullius arbitrarii.

INDEX CONTENTORUM
Quid est modellum binomiale unius temporis?
Quomodo cognosci potest mercatus cum occasionibus arbitrarii et eius celer dissolutio
Demonstratio Theorematis de Condicione Nullius Arbitrarii
Conclusio

Quid est Modellum Binomiale Unius Temporis?

Modellum binomiale unius temporis est modellum mathematicum in re pecuniaria adhibitum ad describendam evolutionem pretii boni in structura temporis discreta. “Binomiale” appellatur quia in unoquoque tempore pretium boni solum duabus directionibus variari potest: sursum aut deorsum. Hoc modellum late adhibetur in aestimatione derivatorum financialium, praesertim optionum, et fundamentum est modelli binomialis pluri temporum.

Elementa Modelli

Modellum binomiale unius temporis in sequentibus elementis fundamentalibus fundatur:

• Bonum subiacens: Repraesentatur per eius pretium S(t) in tempore t. In initio, id est tempore t=0, pretium boni est S(0). In tempore t=1, eius pretium in duas valores variari potest, scilicet S(1,\text{up}) (pretium si crescit) vel S(1,\text{down}) (pretium si decrescit):

  S(1) = \begin{cases} S(1,\text{up}) = S(0) u, & \text{probabilitate } p, \\ S(1,\text{down}) = S(0) d, & \text{probabilitate } 1 - p. \end{cases}

  Ubi coefficientes u et d factores incrementi et decrementi pretii significant, et relationem sequuntur:

  0\lt d \lt 1 \lt u.

  Haec relatio etiam efficit ut pretia futura manent stricte positiva, secundum praemissas fundamentales modelli simplicis mercatus.

• Probabilitates: Ponitur probabilitas augendi pretii boni esse p, et probabilitas minuendi esse 1 - p, cum 0 \lt p \lt 1. Hic terminus efficit ut utraque motio pretii fieri possit et impedit casus deterministicos ubi pretium semper crescit aut semper decrescit, quod modellum binomialem invalideret et occasiones arbitrarii gigneret.
• Bonum sine periculo: Introducitur vinculum aut instrumentum pecuniarium, cuius valor praedicto modo crescit cum usura sine periculo r. Eius pretium tempore futuro datur per formulam A(1) = A(0)(1+r).

Theorema: Conditio Nullius Arbitrarii in Modello Binomiali Unius Temporis

Detur bonum cui pretium initio est S(0) \gt 0, et cuius valor tempore t=1 sequitur structuram binomialem praedescriptam. Supponatur exsistere bonum sine periculo (vinculum) cum pretio A(1) = A(0)(1+r), ubi r est usura sine periculo. Tunc mercatus est sine arbitrario si et solum si factores ascensus et descensus hanc conditionem satisfaciant:

0 \lt d \lt 1 + r \lt u

In mercatu sine arbitrario, fieri non potest construere portifolium sui ipsius sustentans quod genera lucrum sine periculo.

Quid est Portifolium Sui Ipsius Sustentans?

Portifolium sui ipsius sustentans est consilium collocandi quo nullus capitalis additus requiritur, quia quaelibet emptio bonorum fit per venditionem aliorum bonorum intra idem portifolium. Id est, nullae copiae externas adhibentur ad eius exsecutionem.

Si tale portifolium in mercatu construi potest quod in omnibus casibus lucrum praestat, tunc exsistit occasio arbitrarii. Conditio nullius arbitrarii significat talem portifolium construi non posse.

Mathematice, portifolium sui ipsius sustentans sic construitur:

• Positio in bono periculoso: Emere vel vendere x unitates boni cuius pretium initio est S(0).
• Positio in bono sine periculo: Collocare vel mutuum sumere quantitatem y in vinculo cuius pretium est A(0) et usura sine periculo r.
• Conditio sui ipsius sustentationis: Haec aequatio servari debet:

V(0) = x S(0) + y A(0) = 0.

• Aestimatio tempore futuro: In t = 1, valor portifolii est:

V(1) = \begin{cases} x S(1,\text{up}) + y A(1), & \text{si pretium crescit}, \\ x S(1,\text{down}) + y A(1), & \text{si pretium decrescit}. \end{cases}

Si exsistit combinatio x et y talis ut V(1) \geq 0 in ambobus casibus et V(1) \gt 0 saltem in uno, tum inventa est occasio arbitrarii.

Quomodo Cognosci Possit Mercatus Sine Occasionibus Arbitrarii Per Theorema

Supponatur bonum cuius pretium initiale est S(0) = 100 dollariorum, et in periodo sequente eius pretium esse potest:

S(1) = \begin{cases} S(1,\text{up}) = S(0) u = 120, & \text{si pretium crescit}, \\ S(1,\text{down}) = S(0) d = 90, & \text{si pretium decrescit}. \end{cases}

Interea, vinculum crescit ab A(0) = 100 ad A(1) = 105, cum r = 5\%. Ex his datis, conditionem nullius arbitrarii per sequentem inaequalitatem examinabimus:

0 \lt d \lt 1+r \lt u.

Ex datis:

0 \lt 0.9 \lt 1.05 \lt 1.2

Cum haec inaequalitas teneat, fieri non potest ut construatur portifolium sui ipsius sustentans quod lucrum sine periculo generet, quod confirmat consistentiam modelli binomialis.

Quomodo Cognosci Possit Mercatus Cum Occasionibus Arbitrarii Eiusque Celeri Dissolutione

Consideretur bonum cuius pretium initiale est S(0) = 100 dollariorum. In tempore sequente, pretium evolvi potest sic:

S(1) = \begin{cases} S(1,\text{up}) = S(0) u = 105.2, & \text{si pretium crescit}, \\ S(1,\text{down}) = S(0) d = 82, & \text{si pretium decrescit}. \end{cases}

Pretium boni sine periculo est A(0) = 100, et tempore sequente crescit ad A(1) = 107, cum usura sine periculo r = 7\%.

Examinamus conditionem nullius arbitrarii:

0 \lt 0.82 \lt 1.07 \not\lt 1.052

Cum inaequalitas 1+r \lt u non teneat, arbitrarium in hoc mercatu fieri potest. Ut hoc demonstremus, portifolium sui ipsius sustentans per processum sequentem construemus:

• Venditio brevis unius actionis: Bonum periculosum breviter venditur pretio S(0) = 100, quod significat investorem debere unam actionem mutuari ad eam vendendam in foro.
• Collocatio in bono sine periculo: Centum dollaria ex venditione brevi obtenta in vinculis collocantur.
• Reemptio actionis tempore futuro:
  • Si pretium cadit ad 82, lucrum netum est 107 - 82 = 25.
  • Si pretium crescit ad 105.2, lucrum netum est 107 - 105.2 = 1.8.

In utroque casu, investor lucra sine periculo obtinet, quod existentiam arbitrarii confirmat.

📌 Mutationes Mercatus ad Strategiam Arbitrarii

Tamen in foro efficaci hae opportunitates non durant. Cum plures investores hanc inefficentiam deprehendunt, incipiunt strategias arbitrarii exsequi per venditionem brevem, quae ad varios effectus maximi momenti ducunt:

• Incrementum copiae boni periculosi: Venditio brevis significat multos investores actiones mutuo accipere et vendere in foro, quod copiam actionum praesto augere facit. Hic copia augmentata pressuram descendentem in pretio initiali S(0) generat.
• Reaptatio pretiorum futuri boni: Cum S(1, \text{up}) = S(0) u et S(1, \text{down}) = S(0) d, decrementum in S(0) ducit ad reaptationem valorum u et d, afficiens relationem earum cum usura sine periculo 1 + r. Hoc tendit ad conditionem nullius arbitrarii restituendam.
• Effectus in pretio vinculi: Cum investores pecuniam ex venditione brevi adhibent ad collocandum in vinculis, postulatio pro vinculis crescit. Hoc incrementum in pretio praesentis vinculi A(0) efficit. Cum valor futurus vinculi manet A(1) = 107, hoc minuit reditum effectivum ex collocatione in vinculis, quod redditum boni sine periculo accommodat.
• Sumptus venditionis brevis: Investores qui actiones ad vendendum breviter mutuantur solvere debent usuram mutuationis actionum r_s. Haec usura sumptus additus est, qui lucrum netum ex arbitrario minuere potest.

📌 Quomodo Usura Mutuationis Actionum Arbitrarium Afficit?

Si usura mutuationis actionum r_s alta est, potest lucrum netum ex arbitrario minuere vel etiam tollere. Formula correpta pro valore finali strategiae arbitrarii est:

V(1) = A(0)(1 + r - r_s) - S(1)

Ubi:

• r_s est usura mutuationis actionum.
• A(0)(1+r) repraesentat collocationem in vinculo.
• S(1) est sumptus reemptionis actionis in fine periodi.

Incorporata usura mutuationis actionum r_s, conditio nullius arbitrarii hoc modo corrigitur:

0 \lt d \lt 1 + r - r_s \lt u

Pro hoc casu particulari, valores r_s qui relationem satisfaciunt sunt:

0 \lt 0.82 \lt 1.07 - r_s \lt 1.052

Quod implicat:

• Si 0 \leq r_s \lt 0.018: Occasio arbitrarii manet, quia lucrum positum est in ambobus casibus.
• Si 0.018 \leq r_s \leq 0.25: Arbitrarium evanescit, quia sumptus mutuationis aequat aequationem, tollens lucra sine periculo.
• Si r_s \gt 0.25: Hoc in casu, nullus investor rationalis operationem perficeret, cum sumptus mutuationis omnem utilitatem excedat. Cum valor futurus portifolii in omnibus casibus negativus esset, portifolium sui ipsius sustentans in hoc contextu mathematicis modis impossibile est.

📌 Quid Fit Si Damna Portifolium Consumunt? Liquidatio Coacta et Appellatio Marginalis

Si usura mutuationis actionum r_s tam alta est ut damna certa efficiat (r_s \gt 0.25), intercedit interpres (broker) automatice ut rationem investoris a valore negativo prohibeat. Hoc ducit ad liquidationem coactam, quae etiam dicitur appellatio marginalis.

🔹 Processus Liquidationis Coactae:

1. Vinculum automatice venditur:

   Interpres collocationem in vinculo A(0)(1 + r) liquefacit ut pecuniam obtineat.

2. Reemptio actionis ad claudendam positionem brevem:

   Pecunia praesto utens, interpres reamit actionem pretio mercatus S(1) ad eam reddendam creditori.

3. Solutio debiti et clausura positionis:

   Si statera pecuniaria post venditionem vinculi non sufficit ad reemptionem actionis, investor relinquitur cum statera negativa, quae potest ad consequentias legales vel necessitatem novarum contributionum ducere.

4. Consolidatum damnum:

   Operatio, quae iam a principio damnum habebat, clauditur cum damno toto definito per:

   \text{Final Loss} = S(1) - A(0)(1 + r - r_s)

   Si damnum finale excedit pecuniam in ratione investoris, totum capitale amittitur et etiam debitum erga interprem contrahi potest.

📌 Quomodo Conditio Nullius Arbitrarii Restituatur?

Cum usura mutuationis actionum r_s satis humilis est, occasio arbitrarii manet, incitando investores ad venditiones breves magnae quantitatis exsequendas ad lucrum sine periculo obtinendum.

Ad hanc analysim, considera usuram mutuationis actionum esse r_s = 0.015.

Alta activitas ex hac humili usura orta causat reaptationem mercatus, quae, per tempus, conditionem nullius arbitrarii restituit. Praesertim, effectus sequentes observantur:

• Decrementum pretii initialis actionis S(0): Alta postulatio venditionis brevis auget copiam actionum in foro, exercens pressuram descendentem in pretio eius initiali. Cum S(0) decrescit, factores incrementi et decrementi u et d proportionaliter accommodantur, modificando pretia futura boni eiusque relationem cum usura sine periculo.
• Auctio valoris praesentis vinculi A(0): Investores pecuniam ex venditione brevi obtentam ad vincula emenda adhibent, quod postulationem eorum auget. Hoc attollit pretium eorum praesentem A(0), minuendo reditum effectivum ex collocationibus in vinculis et afficiens perceptionem usurae sine periculo.

Hi effectus coniuncti ducunt ad reaptationem progressivam parametronum mercatus. Decrementum in S(0) et augmentum in A(0) structuram coefficientium u et d modificant, itemque relationem inter usuram sine periculo r et usuram mutuationis actionum r_s, donec conditio nullius arbitrarii restituatur:

0 \lt d \lt 1 + r - r_s \lt u

🔹 Modellatio Reaptationis Pretiorum

Processus reaptationis potest modelli auxilio coefficientium reaptationis \alpha et \beta exprimi, qui factores correctionis repraesentant ad valores praesentis vinculorum et actionum respective applicatos.

Hi coefficientes valores actuales bonorum modificant, factores u, d, et r accommodantes donec conditio nullius arbitrarii restituatur. Id est, pretium initiale actionis mutatur ab S(0) ad \beta S(0), dum valor praesens vinculi mutatur ab A(0) ad \alpha A(0).

Quam ob rem, novi valores u et d sic definiuntur in terminis horum coefficientium reaptationis:

u' = \dfrac{S(1,\text{up})}{\beta S(0)}, \quad d' = \dfrac{S(1,\text{down})}{\beta S(0)}

Similiter, nova usura sine periculo r' accommodatur secundum novum valorem praesentem vinculi:

r' + 1 = \dfrac{A(1)}{\alpha A(0)}

Hoc ducit ad conditionem nullius arbitrarii reformulatam:

0 \lt \dfrac{S(1,\text{down})}{\beta S(0)} \lt \dfrac{A(1)}{\alpha A(0)} - r_s \lt \dfrac{S(1,\text{up})}{\beta S(0)}

Resolvendo pro coefficientibus reaptationis, obtinemus:

\beta \gt \dfrac{A(0)S(1,\text{down})\alpha}{S(0)(A(1) - r_s A(0)\alpha)}

\beta \lt \dfrac{A(0)S(1,\text{up})\alpha}{S(0)(A(1) - r_s A(0)\alpha)}

Si applicamus valores specificos problematis et consideramus pretia actionum decrescere dum valores vinculorum crescunt, obtinemus:

\begin{array}{rl} \beta &\gt \dfrac{ 82 \alpha}{107 - 1.5\alpha} \\ \\ \beta &\lt \dfrac{105.2 \alpha}{107 - 1.5\alpha } \\ \\ \beta &\lt 1 \\ \\ \alpha &\gt 1 \end{array}

Solutio huius systematis visualisatur in regione obscurissima sequentis graphici:

Ergo, possibilis combinatio valorum ad quam mercatus convergere posset ad occasionem arbitrarii removendam est, exempli gratia, \alpha=1.05 et \beta=0.95.

His positis, coefficientes correcti sunt:

\begin{array}{rl} u^\prime &= \dfrac{S(1,\text{up})}{\beta S(0)} = \dfrac{105.2}{0.95\cdot 100} \approx 1.107 \\ \\ d^\prime &= \dfrac{S(1,\text{down})}{\beta S(0)} = \dfrac{82}{0.95\cdot 100} \approx 0.863 \\ \\ r^\prime + 1 &= \dfrac{107}{1.05 \cdot 100} \approx 1.019 \end{array}

Ita, conditio nullius arbitrarii satisfacta est:

0 \lt d^\prime \lt 1+r^\prime - r_s \lt u^\prime

Substituendo valores obtentos:

0 \lt 0.863 \lt 1.019 - 0.015 = 1.004 \lt 1.107

Praeterea, valores correcti bonorum in praesenti momento computari possunt ob pressionem a collocatoribus exercitam ad occasionem arbitrarii captandam:

\begin{array}{rl} A^\prime(0) &= \alpha A(0) = 1.05\cdot 100 = 105 \\ \\ S^\prime(0) &= \beta S(0) = 0.95\cdot 100 = 95 \end{array}

Demonstratio Theorematis de Condicione Nullius Arbitrarii

Hactenus exploravimus quomodo theorema de conditione nullius arbitrarii operetur. Nunc procedemus ad eius demonstrationem gradatim evolvendam. Ad hoc faciendum, utile est signa recognoscere quae praesentiam occasionis arbitrarii indicant:

• Relatio inter reditus bonorum periculorum et vinculorum sine periculo:

  Si reditus boni periculosi in pessimo casu suum superat usuram sine periculo, tunc fieri potest eius emptio ex mutuo cum tali usura, quod lucrum sine periculo etiam in pessimo casu praestat.

  Similiter, si usura sine periculo excedit reditum boni periculosi in optimo casu, tunc arbitrarium constitui potest per venditionem brevem boni et collocationem in vinculis, ita lucrum sine periculo obtinendo.

• Relatio inter usuram sine periculo et usuram mutuationis:

  Punctum superius complens, interest distinguere inter usuram mutuationis r_s et usuram sine periculo r, praesertim cum strategias arbitrarii vel venditionem brevem analysamus. In genere, sequens relatio valet:

  -1\leq r \leq r_s

  Si haec relatio non valet, arbitrarium haberi potest mutuando ad usuram inferiorem r_s et collocando in vinculis cum usura superiori r, lucrum sine periculo assecurando. Si talis occasio exsisteret, investores eam explerent donec mercatus usuras accommodaret, arbitrarium eliminando. Praeterea, creditores plerumque maiorem usuram postulant ad periculum insolventiae compensandum.

  In modellis financialibus simplicatis, saepe supponitur r_s = r, et in plurimis casibus etiam imponitur r \geq 0 ut usurae negativae vitentur, quamquam hoc non est stricte necessarium.

• Conditiones ad exsistentiam arbitrarii in portifolio:

  Valor portifolii tempore praesenti t=0 datur per:

  V(0) = xS(0) + y A(0)

  ubi S(0) repraesentat valorem praesentem actionum et A(0) valorem praesentem vinculorum. In tempore futuro t=1, valor portifolii pendebit ab evolutione boni periculosi:

  V(1) = \begin{cases} x S(0) u + y A(0) (1 + r), &\text{si pretium crescit},\\ x S(0) d + y A(0) (1 + r), &\text{si pretium decrescit}. \end{cases}

  Occasio arbitrarii exsistit si et solum si possibile est construere portifolium (x,y) quod has tres condiciones satisfacit:

  1. V(0)=0, significat portifolium esse sui ipsius sustentans et nullam collocationem initialem requirere.
  2. V(1)\geq 0 in omnibus statibus mercatus possibilibus, quod damna excludit.
  3. V(1) \gt 0 saltem in uno statu possibili, quod lucrum stricte positivum praestat.

Ad hanc demonstrationem evolvendam, introducimus sequentem conventionem notationis:

\begin{array}{rcl} V(1,\omega) &=& xS(1,\omega) + yA(1). \end{array}

Ubi \omega esse potest \text{up} vel \text{down}. Praeterea, necesse est conditionem mathematicam exprimere quae tenet cum exsistit portifolium (x,y) quod occasionem arbitrarii explerat. Haec sic formulatur:

\begin{array}{l} V(0) = 0, \\ \forall \omega \quad V(1,\omega) \geq 0, \\ \exists \omega \quad V(1,\omega) > 0. \end{array}

His conceptibus claris, nunc possumus mathematico modo rigidoque definire expressionem quae opportunitatem arbitrarii characterizat:

\begin{array}{rl} \text{Arbitrage}:= & V(0) = 0 \wedge (\exists xy\in\mathbb{R}\setminus\{0\})(\forall \omega \quad V(1,\omega) \geq 0) \wedge \cdots \\ & \cdots \wedge (\exists xy\in\mathbb{R}\setminus\{0\})(\exists \omega \quad V(1,\omega) \gt 0) \\ \\ \text{No-Arbitrage}:= & \neg \text{Arbitrage}\\ = & V(0) \neq 0 \vee \neg(\exists xy\in\mathbb{R}\setminus\{0\})(\forall \omega \quad V(1,\omega) \geq 0) \vee \cdots \\ & \cdots \vee \neg(\exists xy\in\mathbb{R}\setminus\{0\})(\exists \omega \quad V(1,\omega) \gt 0) \end{array}

Denique, congeries praemissarum \mathcal{H} super quibus demonstratio evolvitur sic exprimitur:

\begin{array}{rcl} \mathcal{H} &=& \left\{ \right. V(0)=xS(0) + yA(0) = 0, \\ \\ & &V(t,\omega) = xS(t,\omega) + yA(t), A(0), S(0) \gt 0, \\ \\ & & S(1) = \begin{cases} S(1, \text{up}) = S(0)u & \text{cum probabilitate } p \\ S(1,\text{down}) = S(0)d & \text{cum probabilitate } 1-p \end{cases}, \\ \\ & & 0 \lt d \lt u , \left. A(1) = A(0)(1+r), r\geq -1 \right\} \end{array}

Haec congeries non solum praemissas theorematum includit sed etiam condiciones subiacentes modelli binomialis unius temporis.

His principiis positis, procedimus ad demonstrandum mathematicis modis relationem quae in mercatu sine arbitrario valere debet.

Demonstratio Formalis Theorematis:

\begin{array}{rll} (1) & \mathcal{H} \models V(0) =xS(0) + yA(0) = 0 & \text{; Suppositio} \\ (2) & \mathcal{H} \models V(1,\omega) =xS(1,\omega) + yA(1) & \text{; Suppositio} \\ (3) & \mathcal{H} \models A(0) \gt 0 & \text{; Suppositio} \\ (4) & \mathcal{H} \models S(0) \gt 0 & \text{; Suppositio} \\ (5) & \mathcal{H} \models r \gt -1 & \text{; Suppositio} \\ (6) & \mathcal{H} \models A(1) = (1+r) A(0) & \text{; Suppositio} \\ (7) &\color{red}\mathcal{H} \models 0 \lt d \lt u \color{black}& \text{; Suppositio} \\ \\ (8) & \mathcal{H} \models S(1) = \begin{cases}S(1,\text{up})=S(0)u & \text{, probabilitate } p \\ S(1,\text{down}) = S(0)d & \text{, probabilitate } 1-p\end{cases} & \text{; Suppositio} \\ \\ (9) & \mathcal{H} \models y = \dfrac{-xS(0)}{A(0)} \wedge x\in\mathbb{R} & \text{; Ex (1)} \\ (10)& \mathcal{H} \models V(1,\omega) =xS(1,\omega) - \dfrac{xS(0)}{A(0)} A(1) & \text{; Ex (2,9)} \\ (11)& \mathcal{H} \models V(1,\omega) =xS(1,\omega) - x(1+r)S(0) & \text{; Ex (6,10)} \\ &\text{Hic est valor futurus portifolii per mutuum financiatum} &\\ &\text{ad actiones emendas cum usura $r$.} &\\ (12)& \mathcal{H}\cup\{1+r\leq d\} \models 0 \leq (1+r)S(0) \leq \underbrace{S(0) d}_{S(1,\text{down})} \lt \underbrace{S(0) u}_{S(1,\text{up})} & \text{; Ex (4,5,7,8)}\\ (13)& \mathcal{H}\cup\{1+r\leq d\} \models x(1+r)S(0) \leq xS(1,\omega) \leftrightarrow x\gt 0 & \text{; Ex (12)}\\ (14)& \mathcal{H}\cup\{1+r\leq d\} \models (\exists xy\in\mathbb{R}\setminus\{0\})(\forall \omega\quad V(1,\omega) \geq 0) &\text{; Ex (2,9,13)}\\ (15)& \mathcal{H}\cup\{1+r\leq d\} \models V(1,\omega) \gt 0 \leftrightarrow y \gt \dfrac{-xS(1,\omega)}{A(1)} = \dfrac{-xS(1,\omega)}{(1+r)A(0)} & \text{; Ex (2,3,6,7.8)}\\ (16)&\mathcal{H}\cup\{1+r\leq d\} \models (\exists xy\in\mathbb{R}\setminus\{0\})(\exists \omega\quad V(1,\omega)\gt 0) &\text{; Ex (14,15)}\\ (17)& \mathcal{H}\cup\{1+r\leq d\} \models \text{Arbitrage} &\text{; Ex (1,14,16)}\\ (18)& \color{red}\mathcal{H}\cup\{\text{No-Arbitrage}\} \models d \lt 1+r\color{black}& \text{; Demonstratio per Contradictionem (17)}\\ \\ (19)& \mathcal{H}\cup\{u \leq 1+r\} \models 0 \lt \underbrace{S(0)d}_{S(1,\text{down})} \lt \underbrace{S(0)u}_{S(1,\text{up})} \leq (1+r)S(0) & \text{; Ex (4,5,7,8)}\\ (20)& \mathcal{H}\cup\{u \leq 1+r\} \models xS(1,\omega) \leq x(1+r)S(0) \leftrightarrow x\gt 0 &\text{; Ex (19)} \\ (21)&\mathcal{H}\cup\{u \leq 1+r\} \models \tilde{V}(0) = - V(0) = 0 & \text{; Ex (1)}\\ (22)&\mathcal{H}\cup\{u \leq 1+r\} \models\tilde{V}(1,\omega)=-V(1,\omega) & \\ &\phantom{\mathcal{H}\cup\{u \leq 1+r\} \models\tilde{V}(1,\omega)}=-xS(1,\omega)+x(1+r)S(0) & \text{;Ex (11)}\\ &\text{Hic est valor futurus portifolii quod per venditionem brevem actionis} &\\ &\text{ad comparationem vinculi usura $r$ crescentis financiatum est.} & \\ (23)&\mathcal{H}\cup\{u \leq 1+r\} \models (\exists xy\in\mathbb{R}\setminus\{0\})(\forall \omega\quad \tilde{V}(1,\omega) \geq 0) & \text{; Ex (2,9,20,22)}\\ (24)&\mathcal{H}\cup\{u \leq 1+r\} \models \tilde{V}(1,\omega)\gt 0 \leftrightarrow y \lt \dfrac{-xS(1,\omega)}{A(1)} = \dfrac{-xS(1,\omega)}{(1+r)A(0)} &\text{; Ex (2,3,4,6,22)}\\ (25)&\mathcal{H}\cup\{u \leq 1+r\} \models(\exists xy\in\mathbb{R}\setminus\{0\})(\exists \omega\quad \tilde{V}(1,\omega)\gt 0) &\text{; Ex (23,24)}\\ (26)&\mathcal{H}\cup\{u \leq 1+r\} \models \text{Arbitrage} &\text{; Ex (21,23,25)}\\ (27)&\color{red}\mathcal{H}\cup\{\text{No-Arbitrage}\} \models 1+r \lt u\color{black}& \text{; Demonstratio per Contradictionem (26)}\\ (28) &\mathcal{H}\cup\{\text{No-Arbitrage}\} \models 0\lt d\lt1+r\lt u &\text{;\color{red}Conjunctio (7,18,27)}\color{black} \\ (29)& \boxed{\mathcal{H} \models\text{No-Arbitrage}\rightarrow 0\lt d\lt1+r\lt u} & \text{; Ex (28)}\\ \\ (37)& \color{blue}\mathcal{H} \models 0\lt d\lt 1+r \lt u \leftrightarrow \text{No-Arbitrage}\color{black}\quad\blacksquare & \text{; Ex (29)} \end{array}

Conclusio

Modellum binomiale unius temporis et conditio nullius arbitrarii sunt columnae fundamentales in theoria financiali, praebentes structuram ordinatam ad aestimationem bonorum et stabilitatem mercatus. Per totum hoc articulum, examinavimus quomodo opportunitates arbitrarii, quamquam theoretice attractivae, celeriter eliminantur per vires mercatus per reaptationes pretiorum bonorum et usurarum. Demonstravimus mathematicis modis relationem inter factores incrementi et decrementi boni et usuram sine periculo esse clavem ad efficiendum mercatum efficientem sine facultate lucri sine periculo. Praeterea, vidimus quod etiam cum occasiones arbitrarii emergunt, mechanismi ut pressura pretiorum, sumptus mutuationis, et reconfiguratio parametronum mercatus necessario ducunt ad restitutionem aequilibrii. Hac intelligentia percepta, patet arbitrarium non esse solam anomalíam temporariam, sed elementum fundamentale in dynamicis mercatus financialis quod efficaciam eius et consistentiam mathematicam promovet.