Maxima et Minima Functionis

Ubi est punctum “optimum” functionis: maximum quod assequi vis an minimum quod vitare debes? Haec quaestio, quae in optimizatione, physica, oeconomia et ingeniaria occurrit, una ex praecipuis applicationibus calculi differentialis est. Hic autem momentum apparet: Theorema Weierstrassii tibi confirmat quod, si $f$ continua est et in intervallo clauso et finito operaris, tunc extrema absoluta exsistunt. Inde ludus fit practicus: discere extrema localia deprehendere per puncta critica ( $f'(x)=0$ vel non exsistit) atque uti instrumentis ut Rolle et Valor Medius, ut inquisitio “caeca” in methodum claram, verificabilem et efficientem convertatur.

Proposita Discendi:

Exsequi processum completum ad extrema absoluta in $[a,b]$ inveniendum: aestimare $f$ in punctis criticis interioribus et in extremis intervalli, atque valores comparare ad maximum et minimum absolutum statuendum.
Comparare valorem condicionis necessariae contra sufficientem: agnoscere quod “ $f'(x_0)=0$ ” extremum locale non praestat, et statuere quae argumenta addita (comparatio valorum, analysis signorum, mores locales) in singulis casibus sint opportuna.
Determinare rationem efficacissimam secundum genus problematis: extrema absoluta in intervallis compactis (Weierstrass + aestimatio finita) contra extrema localia in punctis interioribus (puncta critica + analysis localis), electione rationabiliter iustificata.

INDEX CONTINENTIUM:
Maxima et minima, extrema absoluta et localia
Criterium Primae Derivatae
Theorema Rollii
Theorema Valorii Medii Differentialis
Intervalla incrementi et decrementi

Theorema Weierstrassii nobis confirmat quod, si functio realis definita est et continua in subcollectione clausa et finita $\mathbb{R}$ , tum necessario valores maximum et minimum attingit (extrema absoluta). Investigatio maximorum et minimorum functionis est id quod problema optimizationis appellatur, atque theorema Weierstrassii nobis existentiam solutionum in sensu extremorum absolutorum praestat, dummodo functio continua sit et dominium compactum. Existentia igitur iam confirmata, nunc solum restat rationes evolvere quae has solutiones reperire permittant.

Maxima et minima, extrema absoluta et localia

Antequam incipiamus recensere rationes ad maxima et minima quaerenda, clare definiamus quid sit id quod quaerere volumus.

DEFINITIO:
Sit $f$ functio cum dominio $D$ . Dicemus $f$ attingere maximum absolutum in puncto $x_0\in D$ si:

$\left( \forall x \in D \right)\bigl(f(x) \leq f(x_0)\bigr)$

atque attinget minimum absolutum in $x_0$ si:

$\left( \forall x \in D \right)\bigl( f(x_0) \leq f(x)\bigr)$

Similiter definiuntur extrema localia (relativa ad dominium).

DEFINITIO:
Sit $f$ functio cum dominio $D$ et sit $x_0\in D$ . Dicemus $f$ attingere maximum locale in $x_0$ si:

$(\exists h>0)\left( \forall x\in [x_0-h, x_0+h] \cap D \right)\bigl(f(x) \leq f(x_0)\bigr)$

atque attinget minimum locale in $x_0$ si:

$(\exists h>0)\left( \forall x\in [x_0-h, x_0+h] \cap D \right)\bigl( f(x_0) \leq f(x)\bigr)$

Ex his possumus enuntiare sequens eventum:

THEOREMA:

Sit $x_0$ punctum interius intervalli compacti $I$ . Si $f$ attingit maximum vel minimum locale in $x_0$ et $f^\prime(x_0)$ exsistit, tunc $f^\prime(x_0)=0$ .

DEMONSTRATIO:
Supponamus $f$ attingere maximum locale in $x_0$ . Tunc exsistit $h_0 \gt 0$ tale ut, pro omni $h$ cum $|h|\lt h_0$ et cum $x_0+h\in I$ , valeat:

$f(x_0 + h)\leq f(x_0)$

quod aequivalet:

$f(x_0 + h) - f(x_0)\leq 0$

Nunc duo casus consideremus:

Si $h>0$ , tunc:
$\displaystyle \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}\leq 0$
Si $h\lt 0$ , tunc:
$\displaystyle \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}\geq 0$

Si $f^\prime(x_0)$ exsistit, tunc limes quotientis incrementalis cum $h\to 0$ exsistit et utrique inaequalitati congruere debet, quod cogit ut:

$\displaystyle f^\prime(x_0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}= 0$

Quod erat demonstrandum.

Animadvertendum est hanc demonstrationem etiam pro minimis localibus valere. Hoc in casu initium sumitur a: $f(x_0+h)\ge f(x_0)$ pro $|h|$ satis parvo.

Criterium Derivatae Primae

Eventus quem modo recensuimus in sequenti implicatione summari potest:

$\left\{\begin{matrix}f \text{ attingit}\\ \text{extremum locale in }x_0 \end{matrix}\right\} \Longrightarrow \left\{\begin{matrix} \displaystyle f^\prime(x_0) = 0 \\ \\ \vee \\ \\ \text{Derivata non exsistit in }x_0 \end{matrix}\right\}$

Quamquam reciprocum huius implicationis generaliter non valet, tamen admodum utile est ad inquisitionem extremorum localium circumscribendam. Ex hoc definiuntur puncta critica derivatae primae.

DEFINITIO:
Dicitur $x_0$ esse punctum criticum derivatae primae si $f^\prime(x_0)=0$ aut si $f^\prime(x_0)$ non exsistit.

Puncta critica derivatae primae sunt momenti, quia omne punctum in quo functio extremizat (localiter vel absolute) ad collectionem punctorum criticorum pertinere debet:

$\left\{\begin{matrix}\text{puncta quae}\\ \text{absolute extremizant}\end{matrix}\right\} \subseteq \left\{\begin{matrix}\text{puncta quae}\\ \text{localiter extremizant}\end{matrix}\right\} \subseteq \left\{\begin{matrix}\text{puncta critica}\\ \text{derivatae primae}\end{matrix}\right\}$

Hoc est quod criterium derivatae primae appellamus, intellectum ut condicionem necessariam ad existentiam extremorum localium in punctis interioribus.

Theorema Rollii

Iam vidimus determinationem punctorum criticorum derivatae primae esse praecipuam in investigatione extremorum localium. Quapropter naturale est inquirere sub quibus condicionibus existentia talium punctorum criticorum certari possit. Progressus in hoc sensu per theorema Rollii obtinetur.

THEOREMA:
Sit $f$ functio definita et continua in $[a,b]$ , atque derivabilis in $]a,b[$ . Si $f(a)=f(b)$ , tunc exsistit $c\in]a,b[$ tale ut $f^\prime(c)=0$ .

DEMONSTRATIO:
Duas possibilitates considerabimus:

Si pro omni $x\in]a,b[$ valet $f(x)=f(a)=f(b)$ , tunc $f$ est constans et, consequenter, $f^\prime(x)=0$ pro omni $x\in]a,b[$ . In particulari, exsistit $c\in]a,b[$ cum $f^\prime(c)=0$ .
Si exsistit $x\in]a,b[$ tale ut $f(x)\neq f(a)=f(b)$ , tunc $f$ non est constans. Cum $f$ sit continua in $[a,b]$ , per theorema Weierstrassii maximum absolutum et minimum absolutum in $[a,b]$ attingit.
Praeterea, cum $f(a)=f(b)$ et $f$ non sit constans, saltem unum ex his extremis in interiori $]a,b[$ contingere debet.
Itaque, si $c\in]a,b[$ est punctum interius ubi $f$ extremum locale attingit, cum $f$ derivabilis sit in $]a,b[$ , in particulari $f^\prime(c)$ exsistit, et per theorema superius concluditur $f^\prime(c)=0$ .

Theorema Valorii Medii Differentialis

Aliud eventum quod est directa consequentia eorum quae modo recensuimus, atque quod informationem utilem ad studium functionum affert, est theorema valoris medii ad calculum differentialem.

THEOREMA:
Sit $f$ functio definita et continua in $[a,b]$ , atque derivabilis in $]a,b[$ . Tunc exsistit $c\in]a,b[$ tale ut:

$f^\prime(c) =\displaystyle \frac{f(b) - f(a)}{b-a}$

DEMONSTRATIO:
Sit $F$ functio definita per:

$F(x) = f(x) - \displaystyle \frac{f(b) - f(a)}{b-a}(x-a)$

Haec functio est continua in $[a,b]$ et derivabilis in $]a,b[$ quia $f$ quoque ita est. Praeterea, $F(a)=F(b)$ , ita ut theorema Rollii adhibere possimus ad concludendum exsistere punctum $c\in]a,b[$ tale ut $F^\prime(c)=0$ .

Nunc, derivando $F$ obtinetur:

$F^\prime(x) = f^\prime(x) - \displaystyle\frac{f(b) - f(a)}{b-a}$

Aestimando in $c$ et utens $F^\prime(c)=0$ :

$0=F^\prime(c) = f^\prime(c) - \displaystyle\frac{f(b) - f(a)}{b-a}$

Inde:

$f^\prime(c) = \displaystyle\frac{f(b) - f(a)}{b-a}$

Quod erat demonstrandum.

Intervalla incrementi et decrementi

THEOREMA:

Si $f$ est functio talis ut $(\forall x\in ]a,b[)\left(0\lt f^\prime(x)\right)$ , tunc $f$ est stricte crescens in $]a,b[$ .
Si $f$ est functio talis ut $(\forall x\in ]a,b[)\left(f^\prime(x)\lt 0\right)$ , tunc $f$ est stricte decrescens in $]a,b[$ .

DEMONSTRATIO:
Sint $x_1,x_2\in ]a,b[$ tales ut $x_1 \lt x_2$ . Cum $f$ derivabilis sit in $]a,b[$ , theorema valoris medii ad $f$ super intervallum $[x_1,x_2]\subset ]a,b[$ applicare possumus. Quapropter exsistit punctum $c\in]x_1,x_2[$ tale ut:

$f^\prime(c) = \displaystyle\frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1}$

Ex hoc sequitur:

Si $f^\prime(c) \gt 0$ , tunc $f(x_2) - f(x_1) = f^\prime(c)(x_2 - x_1) \gt 0$ .
Quapropter $f$ est crescens.
Si $f^\prime(c) \lt 0$ , tunc $f(x_2) - f(x_1) = f^\prime(c)(x_2 - x_1) \lt 0$ .
Quapropter $f$ est decrescens.

Studium maximorum et minimorum non solum est “derivatas computare”, sed discere quomodo inquisitio diffusa in proceduram cum cautionibus et criteriis claris convertatur. Weierstrass indicat quando fidere possis optimum in intervallo compacto exsistere, dum criterium derivatae primae, theorema Rollii et Theorema Valorii Medii tibi tradunt quasi mappam ad candidatos inveniendos et conclusiones iustificandas: ubi functio extremizare possit, quando illa condicio tantum necessaria sit, et quomodo signum $f'$ incrementum et decrementum detegat. Si hanc idearum seriem dominas, a contemplatione graphorum sola intuitione ad solutionem problematum optimizationis cum argumentis verificabilibus transis, quod est prorsus discrimen inter “puto hic esse punctum optimum” et “scio cur hic esse debeat”.