Introductio

Unus ex elementis maxime characteristicis calculi sunt infinitum et limes ad infinitum. Notio infiniti non spectat ad numerum realem, sed conatur describere magnitudinem quae quamlibet metam realem superat. Exempli gratia, cum habeamus functionem f(x) = 1/x et quaeramus de eius ratione cum x tam magnum sit quam velimus, cum x tendit ad infinitum (x\to \infty), id quod observamus est f(x) posse proinde accedere ad nullum quantum velimus. Ad hoc scribimus:

\displaystyle \lim_{x\to + \infty}\dfrac{1}{x} = 0

Graphice, hoc negotium talem speciem habet:

Definitio Limitis ad Infinitum

Ex hac idea quam modo introduximus possumus definitionem mathematicam limitis ad infinitum formulare:

\displaystyle \lim_{x\to +\infty}f(x) = L := (\forall\epsilon\gt 0) (\exists M\in\mathbb{R})(M\lt x \rightarrow |f(x) - L|\lt \epsilon )

\displaystyle \lim_{x\to -\infty}f(x) = L := (\forall\epsilon\gt 0) (\exists N\in\mathbb{R})(x\lt N \rightarrow |f(x) - L|\lt \epsilon )

Notio intuitiva huius limitis nobis indicat quid fiat cum f(x) dum x ab origine tam longe quam volumus recedit, sive ad dextram sive ad sinistram. Ratio ad calculum limitum ad infinitum non multum differt ab ea quam adhibemus ad limites finitos computandos, quia eius algebra fere eadem est; tantum attendere debemus ad sequentia resultata

Limites Fundamentales ad Infinitum

Ex his definitionibus demonstrare possumus sequentes limites fundamentales.

1. \displaystyle \lim_{x\to \pm\infty}k = k
2. \displaystyle \lim_{x\to \pm\infty}\dfrac{1}{x} = 0

DEMONSTRATIO:

1. Ex definitione limitis ad infinitum, habemus \displaystyle \lim_{x\to +\infty}k = k aequivalere ad dicendum:(\forall\epsilon\gt 0) (\exists M\in\mathbb{R})\left(M\lt x \rightarrow \left|k-k\right|\lt \epsilon \right)Sed \left|k-k\right|=0\lt \epsilon semper valet et pro quolibet \epsilon \gt 0, nullo referto de valore M, unde limes confirmatur.

    

2. Scimus quod, definitione, \displaystyle \lim_{x\to +\infty}k = k aequivalet ad dicendum:(\forall\epsilon\gt 0) (\exists M\in\mathbb{R})\left(M\lt x \rightarrow \left|\dfrac{1}{x}\right|\lt \epsilon \right)Haec autem consequentia statim impletur si consideremus M=1/\epsilon, ita ut limes confirmetur.

    

Hae demonstrationes similiter peraguntur cum x\to+\infty.

Algebra Limitum ad Infinitum

Algebra limitum infinitum similis est algebrae limitum finitorum. Si \displaystyle \lim_{x\to \pm \infty}f(x) = L et \displaystyle \lim_{x\to \pm \infty}g(x) = M, tunc sequentes regulae valent:

1. Additio et Subtractio Limitum: \displaystyle \lim_{x\to \pm\infty}(f(x)\pm g(x)) = L \pm M
2. Multiplicatio per constantem: \displaystyle \lim_{x\to \pm\infty}cf(x) = cL
3. Productum limitum: \displaystyle \lim_{x\to \pm\infty}f(x)g(x) = LM
4. Divisio Limitum: Dummodo M\neq 0, tunc \displaystyle \lim_{x\to \pm\infty}f(x)/g(x)=L/M
5. Potestates Limitum: Si p,q \in\mathbb{Z} et q\neq 0, tunc \displaystyle \lim_{x\to \pm\infty}[f(x)]^{p/q} = L^{p/q} Si q est par, ponitur L\geq 0

Revera, demonstratio omnium harum proprietatum est similis illis limitum finitorum

Limes ad infinitum in Functionibus Rationalibus

Functio rationalis est illa quae exprimi potest ut quotiens inter duos polynomios. Cum calculum limitum ad infinitum in hoc genere functionum facimus, proprietatem animadvertere possumus quae utilissima est:

Supponamus nos velle computare \displaystyle \lim_{x\to \infty}P(x)/Q(x)

• Si gradus P(x) maior est quam gradus Q(x), tunc magnitudo functionis f(x) sine limite crescit cum x\to\infty (limes non exsistet).
• Cum gradus P(x) minor est quam gradus Q(x), tunc limes erit nullus.
• Denique, si gradus P(x) aequalis est gradu Q(x), tunc limes erit aequalis quotiens coefficientium qui comitantur potestatem gradus maioris.

Optimum huius resultati est quod, sicut in sequentibus exemplis videbimus, analogice operatur etiam si potestates implicatae non sint numeri integri.

Exempla limitum ad infinitum

1. \displaystyle \lim_{x\to +\infty}\dfrac{x+1}{x^2+3} [SOLUTIO]
2. \displaystyle \lim_{x\to -\infty}\dfrac{2x^3 + 7}{x^3 - x^2 + x + 7} [SOLUTIO]
3. \displaystyle \lim_{x\to +\infty}\dfrac{9x^4 + x}{2x^4 + 5x^2 - x + 6} [SOLUTIO]
4. \displaystyle \lim_{x\to +\infty}\dfrac{10x^5 + x4 + 31}{x^4 - 7x^3 + 7x^2 + 9} [SOLUTIO]
5. \displaystyle \lim_{x\to +\infty}\dfrac{2\sqrt{x}+x^{-1}}{3x - 7} [SOLUTIO]
6. \displaystyle \lim_{x\to -\infty}\dfrac{2x^{5/3} - x^{1/3} + 7}{x^{8/5}+3x + \sqrt{x}} [SOLUTIO]
7. \displaystyle \lim_{x\to +\infty}\dfrac{\sqrt[3]{x}-5x+3}{2x + x^{2/3} - 4} [SOLUTIO]
8. \displaystyle \lim_{x\to +\infty}\dfrac{x^{8/3}+2x + \sqrt{x}}{x^2+x-3} [SOLUTIO]