Nunc alia proprietas saepe in logica propositionali adhibita excutitur, scilicet demonstrationes legum DeMorgan de distributione coniunctionis et disiunctionis. Usus harum legum solitus est in theoria congregationum et, exinde, totam mathematicam permeant: a theoria probabilitatum ad topologiam, quin etiam praesentiam habent in electronica et programmatio. Consuetudine recepta, has demonstrationes evolvemus ex technicis deductionis quas hactenus didicimus.

Leges DeMorgan

Leges DeMorgan sunt coniunctio aequivalentiarum quae distributionem negationum cum coniunctione et disiunctione formaliter exprimunt. Formaliter exprimuntur per aequivalentias:

\neg(\alpha \wedge \beta) \dashv \vdash (\neg\alpha \vee \neg \beta)

\neg(\alpha \vee \beta) \dashv \vdash (\neg\alpha \wedge \neg \beta)

Hae aequivalentiae probatae sine demonstratione stricta, qualem hactenus exhibuimus, elici possunt, quoniam definita coniunctionis et disiunctionis, una cum regula negationis duplicis et substitutionibus, satis sunt. Ex definitione coniunctionis sequitur:

(A \wedge B):= \neg(\neg A \vee \neg B)

Negationem ad utrumque latus huius expressionis applicando, obtinemus

\neg(A \wedge B):= \neg\neg(\neg A \vee \neg B)

Deinde, per aequivalentiam negationis duplicis, habemus

\neg(A \wedge B)\dashv \vdash (\neg A \vee \neg B)

Postremo, ponendo A=\alpha et B=\beta, obtinemus primam aequivalentiam DeMorgan

\boxed{\neg(\alpha \wedge \beta) \dashv \vdash (\neg\alpha \vee \neg \beta)}

Ad alteram obtinendam, iterum negationem ad utrumque latus expressionis prius consideratae applicamus, unde fit

\neg\neg(A \wedge B)\dashv \vdash \neg(\neg A \vee \neg B)

Et per negationem duplicem sequitur

\neg(\neg A \vee \neg B) \dashv \vdash (A \wedge B)

Si in hac ultima aequivalentia ponimus A=\neg\alpha et B=\neg\beta, tunc habemus

\neg(\neg \neg\alpha \vee \neg \neg\beta) \dashv \vdash (\neg\alpha \wedge \neg\beta)

Quae, propter negationem duplicem, ad secundam aequivalentiam DeMorgan ducit

\boxed{\neg( \alpha \vee \beta) \dashv \vdash (\neg\alpha \wedge \neg\beta)}

Praeterea, simili ratione assequi possumus alias formas, quae nihil aliud sunt nisi variationes eorum quae recensuimus

\neg(\neg\alpha \wedge \beta) \dashv \vdash (\alpha \vee \neg \beta)

\neg(\neg\alpha \vee \beta) \dashv \vdash (\alpha \wedge \neg \beta)

\neg(\alpha \wedge \neg\beta) \dashv \vdash (\neg\alpha \vee \beta)

\neg(\alpha \vee \neg\beta) \dashv \vdash (\neg\alpha \wedge \beta)

Regulae Distributivitatis inter Coniunctionem et Disiunctionem

Ut nomen indicat, hae regulae nobis permittunt coniunctiones et disiunctiones intra expressionem distribuere. Hae leges in sequentibus duabus aequivalentibus comprehenduntur:

Ut iam fieri consuevit in his quae antea tractavimus, etsi haec est conclusio nota, eius demonstratio haudquaquam est trivialis. Quamquam ad hanc demonstrationem perficiendam ratiocinatio in utraque directione est necessaria, hoc loco solum demonstrationem unius directionis afferam; demonstratio in alteram directionem pro exercitio lectori relinquitur.

∧ – Distributivitas

Ut demonstretur quod evenit \{(\alpha \wedge(\beta \vee\gamma))\}\vdash((\alpha \wedge \beta)\vee(\alpha \wedge \gamma)), sequens ratio adhibetur.

Hoc modo demonstratum est \{(\alpha \wedge(\beta \vee\gamma))\}\vdash((\alpha \wedge \beta)\vee(\alpha \wedge \gamma)). Nunc tua est pars ut exercitia expleas: conare per te demonstrare quod \{((\alpha \wedge \beta)\vee(\alpha \wedge \gamma))\}\vdash (\alpha \wedge(\beta \vee\gamma)).

∨ – Distributivitas

Demonstratio \{(\alpha \vee(\beta \wedge\gamma))\}\vdash((\alpha \vee \beta)\wedge(\alpha \vee \gamma)) ex sequenti ratiocinatione elici potest:

Haec est pars prima demonstrationis; nunc sola pars inversa restat, sed illa tibi, lector, exercitium relinquetur :3

Considerationes Finales

His recensionibus quas de demonstrationibus legum DeMorgan de distributione coniunctionis et disiunctionis fecimus, perficere possumus nostrum studium de technicis deductionis logicae propositionis et de modo quo hae technicae in demonstrationem legum logicae classicae, saltem earum potissimarum, conveniunt.

Maximi momenti est omnes demonstrationes propositae complere, ut cognitio harum technicarum confirmetur. Ad difficultatem levandam, valde utile est demonstrationes inter se comparare ad similitudines detegendas, cum fieri possit ut eadem ratio quae in una demonstratione successit, mutatis quibusdam, etiam in alia utilis sit.

Ultimum quod monendum est, ordo est quem ad has demonstrationes evolvendas elegi. Animadvertere debes quod unaquaeque demonstratio innitebatur aliquibus prioribus demonstrationibus. Hunc ordinem elegi quia mihi ipse facilius visus est. Exercitatio bona ad artes tuas in his rebus augendas est te ipsum interrogare: “Possumne has demonstrationes alio ordine componere eadem methodologia utens?” Tibi magnopere suadeo ut coneris eas in ordine diverso perficere atque unaquaque demonstratione ad sequentes progrediaris, nam etiamsi non succedat, ipsa praxis conatus maiorem intelligentiam demonstrationum et methodorum logicorum tibi praebebit.