Introductio ad Aequationes Differentiales Ordinarias

In hac classe exploratio accurata idearum fundamentalium quae has aequationes regunt earumque applicationes in variis campis offertur. Incipiendo ab analysi naturae mutationis incessantis in mundo qui nos circumdat, exhibentur notiones fundamentales sicut functiones, derivativae earumque relatio cum mutatione continua et discreta. Introducta fit distinctio inter Aequationes Differentiales Partiales (EDP) et Ordinarias (EDO), studio EDO potissimum spectato. Notiones illustrantur exemplis practicis ut refrigeratio calicis caffeae, Leges Newtonianae et exempla populationis. Studiosis dabitur opportunitas cognoscendi aequationes differentiales quae phaenomena naturalia et physica regunt, quo modo mathematice repraesentari possint detegendi et quasdam technicas ad studia solutionum earum intellegendi. Haec cognitio initialis fundamentum constituet ad studia provectiora in aequationibus differentialibus earumque applicationibus in scientia et machinatione..

Proposita Discendi:
Hoc cursu confecto discipulus poterit:

1. Intelligere notiones fundamentales quae cum aequationibus differentialibus coniunguntur, ut naturam mutationis, functiones, derivativas et differentias inter Aequationes Differentiales Partiales (EDP) et Ordinarias (EDO)



INDEX
Aequationes Differentiales et Natura Rerum
Mutatio Incessans
Functiones, derivatae et earum mutationes
EDO et EDP
Exempla Aequationum Differentialium Ordinariarum
Refrigeratio poculi coffeae
Leges Newtonianae
Exemplar Populationum




Aequationes Differentiales et Natura Rerum

Mutatio Incessans

In natura omnia in perpetua mutatione sunt. Etiam quod invariabile videri potest, ut fulgor Solis, variat si in apta temporis scala observetur. Omnia mutantur: fulgor stellarum, temperatura coffeae in poculo, positio obiecti et magnitudo populationis sunt nonnulla exempla; et hae mutationis rationes plerumque cum statu illius quod mutatur dum mutatio fit coniunguntur.

Una via intuitive ad mutationem intellegendam est observare quomodo res se modificent dum tempus transit. Mutationem quae ad tempus refertur appellamus evolutionem, et omnia quae observamus in continua evolutione sunt. Sed evolutio sola forma mutationis non est; exempli causa, licet altitudo nostra a gradu maris tempore mutari possit, verius est eam secundum situm nostrum (vel coordinatas geographicas) mutari.

Functiones, derivatae et earum mutationes

Generaliter, functio plurium variabilium f(x_1,x_2, \cdots, x_n) variari potest si aliqua earum variabilium mutetur, et ista mutatio continua vel discreta esse potest. Pro functione plurium variabilium, mutatio continua per derivatas partiales: examinari potest:

\displaystyle \frac{\partial f(x_1, \cdots, x_n)}{\partial x_1} = \lim_{\Delta x_1 \to 0} \frac{ f(x_1 + \Delta x_1, \cdots, x_n) - f(x_1, \cdots, x_n)}{\Delta x_1}

Si functio unius variabilis est, adhibetur derivata ordinaria:

\displaystyle \frac{df(x)}{dx} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{ f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}

Si mutatio discreta est potius quam continua, simpliciter omittitur calculus limi qui in derivatis apparet.

EDO et EDP

Aequatio quae functionem eiusque diversas derivatas involvit vocatur Aequatio Differentialis. Si hae derivatae partiales sive ordinariae sunt, respective Aequationes Differentiales Partiales (EDP) vel Aequationes Differentiales Ordinariae (EDO) appellantur. Hoc tempore, in studio aequationum differentialium ordinariarum intendemus et quaedam exempla in quibus occurrunt recognoscemus.

Exempla Aequationum Differentialium Ordinariarum

Refrigeratio poculi coffeae

Ratio refrigerandi poculum coffeae proportionalis est differentiae temperaturae inter ambitum et coffeam. Si temperatura aeris, T_a, constans est et temperatura coffeae est functio temporis T_c=T_c(t),, aequationem differentialem invenire possumus quae nobis sinet temperaturam coffeae in quolibet momento determinare. Initio habemus:

\displaystyle \frac{dT_c(t)}{dt} = -\alpha^2(T_c(t) - T_a)

Ubi \alpha est constans proportionalitatis, T_a \lt T_c(t) et signum negativum indicat temperaturam coffeae decrescere. Postea videbimus hanc aequationem solutionem habere huius formae:

T_c(t) = T_a + Be^{-\alpha^2 t}

Ubi B est constans determinanda.

Leges Newtonianae

Secunda Lex Newtoniana essentialiter est aequatio differentialis ordinaria, quia in enuntiatione F=ma (vis aequalis est massae multiplicatae per accelerationem), acceleratio, a=d^2x(t)/dt^2,, est secunda derivata temporalis positionis obiecti. Per hanc legem relationes invenire possumus quae motum corporum describunt, quae re vera aequationes differentiales sunt. Exemplum simplex est studium ressortium: si funiculus elasticus uno latere muro fixo altero massae in statu aequilibrii affixus est et massam deinde ab hoc situ per spatium x removemus, lege Hooke massa vim restitutionis F=-kx sentiet. Tum, per secundam legem Newtonianam, habebimus:

\displaystyle -kx(t) = m\frac{d^2x(t)}{dt^2}

Postea constabimus solutionem eius talis formae esse:

\displaystyle x(t) = A\sin\left(\sqrt{\frac{k}{m}}t + \phi \right)

Ubi A et \phi constantiae sunt quae ab condicionibus initialibus problematis determinabuntur.

Exemplar Populationum

Ratio incrementi per habitantem populationis est aequalis differentiae inter ratem natalitatis et mortis, id est:

\displaystyle \frac{1}{x(t)} \frac{dx(t)}{dt} = N - M

Si rata natalium N tempore constans manet et mortes proportionale sunt populationi, id est M=\alpha^2 x(t),, tunc aequatio praecedens talem formam accipit:

\displaystyle \frac{dx(t)}{dt} = x(t) (N - \alpha^2 x(t))

Hoc notum est ut “Aequatio Logistica Populationum”. Ex hac aequatione generalizatio construi potest pro multis populationibus x_1(t), x_2(t), \cdots, x_n(t) quae inter se de exsistentia certant hoc modo:

\displaystyle \frac{dx_i(t)}{dt} = x_i(t) \left(N_i - \displaystyle \sum_{j=1}^n\alpha^2_{ij} x_j(t) \right)

Cum i\in\{1,\cdots, n\}. Hoc est quod dicitur Aequationes Lotka-Volterrae.

Conclusio

Per hanc introductionem ad Aequationes Differentiales Ordinarias exploravimus quomodo mathematicae mutationes quae in mundo naturali occurrunt accurate et eleganter capere possint. A refrigeratione poculi coffeae usque ad motum ressortis vel incrementum populationis, EDO permittunt dynamicas complexas in relationes mathematice intellegibiles et examinabiles convertere.

Intellegere structuram et significationem harum aequationum ianuam aperit multis disciplinis, sicut physicae, biologiae, oeconomiae et machinationis. Haec classis fundamenta conceptuum necessaria ponit ad studia provectiora continuanda, ubi technicae solutionum, analysis qualitativus et methodi numerici altius pertractabuntur. Maxime tamen momenti est primam quandam intuitionem evolvere de quo modo lingua mutationis —aequationes differentiales— nos sinat describere, intellegere et praedicere comportamentum systematum dynamicorum.

In subsequentibus disciplinis instrumenta potentiora evolvemus eaque novis contextibus applicabimus. Aequationes differentiales non solum modum praebent ad realitatem analysi subiciendam, sed etiam ad imaginandum quomodo ea sub diversis condicionibus evolvere possit.

Views: 0