Calculus Variationis in Mechanica Classica et Aequatio Euler‑Lagrange

Summarium:
In hac lectione revisuri sumus derivationem aequationis Euler‑Lagrange Mechanicae Analyticae per usum technicarum calculi variationis et, ex hoc, ostendetur accurate applicatio eius in solutione problematis Brachistochronae.

Propositi Discendi:
Ad conclusionem huius lectionis discipulus poterit:

1. Intellegere principium Hamiltonii minimae actionis
2. Demonstrationem exhibere aequationis Euler‑Lagrange
3. Solvere problema Brachistochronae utendo aequatione Euler‑Lagrange.

INDEX CONTENTORUM:
CUR CALCULUS VARIATIONIS IN MECHANICA CLASSICA
FORMULATIO PROBLEMATIS VARIATIONALIS
AEQUATIO EULER‑LAGRANGE
PROBLEMA BRACHISTOCHRONAE
REPOSITORIUM GITHUB CUM ALGORITHMO WOLFRAM

Cur calculus variationis in mechanica classica

Physica Newtoniana multa problemata exhibet quae efficacius tractari possunt uti calculo variationis. Hic accessus fundamentalis est in aequationibus Lagrange et in principio minimae actionis Hamiltonii. Essentialiter, hic modus consistit in inveniendis trajectoriis quae maximant vel minimant aliquam quantitatem. Exempli gratia, quaeri potest trajectoria inter duo puncta quae minimet distantiam percursam aut tempus itineris. Exemplum huius accessus est principium Fermati, quod statuit lucem semper sequi trajectoriam quae tempus itineris minimat, quod rursus ducit ad legem Snellii de refractione lucis.

Calculus variationis plures utilitates habet in mechanica classica. Exempli gratia, permittit solutiones analyticas exactas obtinere pro systematibus cum symmetria, et solutiones approximatas per theoriam perturbationum variationalium pro systematibus magis complexis. Praeterea, in adiunctis ubi difficiles sunt vires exprimere per aequationes differentiales, principium minimae actionis efficaciorem methodum praebet ad solvenda problemata in mechanica classica. Summatim, calculus variationis est instrumentum fundamentale quod praebet formulationem alternativam legum Newtonianarum, unificationem legum physicarum, maiorem efficientiam in resolutione problematum et maiorem praecisionem in praedictione eventuum experimentorum.

Formulatio problematis variationalis

Calculus variationis intendit in inveniendi functionem y(x) quae extremat valorem functional:

J(x,y(x))=\displaystyle \int_{x_1}^{x_2} f\left(x,y(x),\frac{dy(x)}{dx}\right)dx,

ad obtinendum valorem suum maximum vel minimum. In hac aequatione, functional J dependet a functione y(x) et sua derivata dy(x)/dx, dum limites integrationis manent fixi. Ad extremandum integrale, variationes super functionem y(x) applicantur, quaerendo functionem quae faciat valorem functional extremum esse. Exempli causa, si contingit integrale valorem suum minimum attingere, quaelibet functio in vicinitate eius, quantuncumque propinqua y(x), valorem functional auget.

Ad instituendum conceptum functionis vicinae, possumus assignare repraesentationem parametricam y=(\alpha,x) omnibus functionibus possibilibus y, ita ut si \alpha=0, tum y(0,x)=y(x) est functio quae extremat J. Hoc exprimi potest hoc modo:

y(\alpha, x) = y(x) + \alpha \eta(x),

ubi \eta(x) est quaedam functio classis \mathcal{C}^1 quae in x_1 et x_2 annihilatur, ita ut functio y(\alpha,x) quae includit hanc variationem idem sit ac y(x) in punctis initialibus et finalibus trajectoriae integrationis.

Substituendo functionem y(\alpha,x) quae variationem \eta(x) includit in loco y(x) in integrale quod functionalem J definit, obtinetur novus functional qui a parametro \alpha pendet:

J(x,y(\alpha, x)) = \displaystyle \int_{x_1}^{x_2} f\left(x,y(\alpha,x), \dfrac{d}{dx}y(\alpha,x)\right)dx

Ut extrema localia exsistant, necesse est conditionem impleri:

\left.\dfrac{\partial J(x,y(\alpha,x))}{\partial \alpha}\right|_{\alpha=0} = 0

pro quavis functione \eta(x).

Aequatio Euler‑Lagrange

Analysando derivatum \partial J(x,y(\alpha,x))/\partial \alpha, obtinetur:

\begin{array}{rll} {}\dfrac{\partial J(x,y(\alpha,x))}{\partial \alpha} &=&\dfrac{\partial}{\partial \alpha} \displaystyle \int_{x_1}^{x_2} f\left(x,y(\alpha,x),\dfrac{dy(\alpha, x)}{dx}\right)dx \\ \\ &=&\displaystyle \int_{x_1}^{x_2} \left(\dfrac{\partial f}{\partial x}\dfrac{\partial x}{\partial \alpha} + \dfrac{\partial f}{\partial y(\alpha, x)}\dfrac{\partial y(\alpha, x)}{\partial \alpha} + \dfrac{\partial f }{ \partial \frac{dy(\alpha,x)}{dx}} \dfrac{\partial \frac{dy(\alpha,x)}{dx}}{\partial \alpha}\right)dx \end{array}

Ex hoc puncto notandum est:

\begin{array}{rll} \dfrac{\partial x}{\partial \alpha} &=& 0 \\ \\ \dfrac{\partial y(\alpha,x)}{\partial \alpha} &=& \dfrac{\partial}{\partial \alpha} \left(y(x) + \alpha \eta(x) \right) = \eta(x) \\ \\ \dfrac{\partial}{\partial \alpha}\left( \dfrac{dy(\alpha, x)}{dx} \right)&=& \dfrac{\partial}{\partial \alpha} \left(\dfrac{dy(x)}{dx} + \alpha\dfrac{d\eta(x)}{dx} \right) = \dfrac{d\eta}{dx} \end{array}

Quare expressio reducitur ut infra monstratur:

\begin{array}{rll} {} \dfrac{\partial J(x,y(\alpha,x))}{\partial \alpha} &=& \displaystyle \int_{x_1}^{x_2} \left(\dfrac{\partial f}{\partial y(\alpha,x)}\eta(x) + \dfrac{\partial f}{\partial \frac{dy(\alpha,x)}{dx}} \dfrac{d\eta(x)}{dx} \right)dx \\ \\ &=&\displaystyle \int_{x_1}^{x_2} \dfrac{\partial f}{\partial y(\alpha,x)}\eta(x) dx + \int_{x_1}^{x_2} \dfrac{\partial f}{\partial \frac{dy(\alpha,x)}{dx}} \dfrac{d\eta(x)}{dx} dx \end{array}

Deinde, si secundam integralem observamus, videbimus eam posse simpliciter uti integratione per partes:

\begin{array}{rll} \displaystyle \int_{x_1}^{x_2} \dfrac{\partial f}{\partial \frac{dy(\alpha,x)}{dx}} \dfrac{d\eta}{dx} dx &=& \left. \dfrac{\partial f}{\partial \frac{dy(\alpha,x)}{dx}} \eta(x)\right|_{x_1}^{x_2} - \displaystyle \int_{x_1}^{x_2}\eta(x) \dfrac{d}{dx}\left( \dfrac{\partial f}{\partial \frac{dy(\alpha, x)}{dx}} \right) dx\\ \\ &=& - \displaystyle \int_{x_1}^{x_2}\eta(x) \dfrac{d}{dx}\left( \dfrac{\partial f}{\partial \frac{dy(\alpha, x)}{dx}} \right)dx \end{array}

Et proinde

\begin{array}{rll} {} \dfrac{\partial J(x,y(\alpha,x))}{\partial \alpha} &=& \displaystyle \int_{x_1}^{x_2} \left[ \eta(x) \dfrac{\partial f}{\partial y(\alpha, x)} - \eta(x) \dfrac{d}{dx}\left( \dfrac{\partial f}{\partial \frac{dy(\alpha,x)}{dx}} \right) \right]dx \\ \\ &=& \displaystyle \int_{x_1}^{x_2} \left[ \dfrac{\partial f}{\partial y(\alpha, x)} - \dfrac{d}{dx}\left( \dfrac{\partial f}{\partial \frac{dy(\alpha,x)}{dx}} \right) \right] \eta(x) dx \end{array}

Itaque, ex conditione quod \left.\dfrac{\partial J (x,y(\alpha, x))}{\partial \alpha}\right|_{\alpha=0} = 0, et cum \eta(x) sit functio quaelibet sub unica condicione se annulandi in x_1 et x_2, habetur:

\dfrac{\partial f}{\partial y(0, x)} - \dfrac{d}{dx}\left( \dfrac{\partial f}{\partial \frac{dy(0,x)}{dx}}\right) = \dfrac{\partial f}{\partial y(x)} - \dfrac{d}{dx}\left( \dfrac{\partial f}{\partial \frac{dy(x)}{dx}}\right) = 0.

Denique, “notatione deposita” in hac ultima expressione pervenitur ad id quod vocatur Aequatio Euler‑Lagrange:

\boxed{\dfrac{\partial f}{\partial y}= \dfrac{d}{dx}\left( \dfrac{\partial f}{\partial y^\prime} \right)},

et hoc multo simplicius repraesentat conditionem necessariam ut functional J valorem extremum attingat.

Problema Brachistochronae

Formulatio problematis

Problema brachistochronae est classicum mechanicae physicae quod solvitur per calculum variationis. Situatio posita est haec: Supponamus nos habere objectum materiale quod movetur sub effectu campi virium constantis et quod se transfert ex puncto initiali (x_1,y_1) ad alterum punctum finalem (x_2,y_2), ubi punctum initiale maiori altitudine quam punctum finale sit. Quaestio quae ponitur est: Quae est trajectoria quam particula sequi debet ut ad punctum finalem quam brevissimo tempore perveniat?

Formulatio solutionis

Ad resolvendum problema brachistochronae, utile est considerare situationem simpliciter. Itaque punctum originis (x_1, y_1) in origine coordinatarum figi potest, dum punctum destinationis (x_2,y_2) ad dextram originis et infra axem \hat{x} positum est.

In hac situatione considerari potest campus vis qui agit deorsum (in directione -\hat{y}) a gravitate generatus, et supponi motum sine frictione fieri. In hoc contextu, particula variis trajectoriis coercetur quae puncta initii et finis conectunt cum proposito inveniendi quae earum tempus itineris minimat.

Examinatio energiae

Ad hoc problema solvendum, uti possumus conservatione energiae systematis gravitationalis. Energia totalis systematis constans manebit, considerata tum energia cinetica E_{cin}=\frac{1}{2}mv^2 tum energia potentiali gravitatoria E_{pot,g}, ubi m est massa particulae et v eius velocitas. Pro energia potentiali referentiam sumpsimus originem, ita ut E_{pot,g}(y=0)=0, dum in quacumque alia altitudine y habetur E_{pot,g}(y)=mgy.

Cum particula ab origine cum velocitate nulla incipiat, energia eius totalis aequalis est zero. Tunc habetur:

E_{cin} + E_{pot,g}=0

Cum particula infra punctum referentiae cadat, energia eius potentialis negativa erit et energia cinetica positiva. Hoc modo, velocitatem v ex aequatione conservationis energiae resolvere possumus et obtinere:

\begin{array}{rl} {} &\dfrac{1}{2}mv^2 + (-mgy) = 0 \\ \\ \vdash &\dfrac{1}{2}mv^2 = mgy \\ \\ \vdash &v^2 = 2gy \\ \\ \vdash &v = \sqrt{2gy} \end{array}

Ita velocitatem particulae in quovis puncto trajectoriae eius in functione altitudinis y ubi versatur computare possumus.

Examinatio temporis trajectoriae

Cum celeritatem motus obtinuerimus, elementa temporis itineris construere possumus utens elemento displacement ds=\sqrt{dx^2 + dy^2} hoc modo:

\begin{array}{rl} {} dt &= \dfrac{ds}{v} = \dfrac{\sqrt{dx^2 + dy^2}}{\sqrt{2gy}}\\ \\ &= \sqrt{\dfrac{dx^2 + dy^2}{2gy} } \end{array}

Ita tempus desplazamenti inter puncta (x_1,y_1) et (x_2,y_2) obtineri potest integrando

\begin{array}{rl} {} t &= \displaystyle \int_{(x_1,y_1)}^{(x_2,y_2)} dt \\ \\ &= \displaystyle \int_{(x_1,y_1)}^{(x_2,y_2)} \sqrt{\dfrac{dx^2 + dy^2}{2gy}} \\ \\ &= \displaystyle \dfrac{1}{\sqrt{2g}}\int_{y_1}^{y_2} \sqrt{\dfrac{1+ \left(\dfrac{dx}{dy}\right)^2 }{y}}dy \\ \\ \end{array}

Formulatio problematis variationalis

Cum hac ultima expressione tempus expressimus ut functional formae

{}t = J(y,x(y)) = \displaystyle \int_{y_1}^{y_2} f\left(y,x(y),\dfrac{dx(y)}{dy} \right) dy

ubi

f\left(y,x(y), \dfrac{dx(y)}{dy}\right) = \sqrt{\dfrac{1+ \left(\dfrac{dx(y)}{dy} \right)^2}{y}}

Hoc loco possumus praeterire factor \sqrt{2g}, quia optimizare J idem est ac optimizare \sqrt{2g}J.

His praeparatis, nunc aequationem Euler‑Lagrange construere possumus sequendo eundem procedendi modum antea usitatum, tandem ad

\dfrac{\partial f}{\partial x} = \dfrac{d}{dy} \dfrac{\partial f}{\partial x^\prime}

Attamen hic videre possumus quod \dfrac{\partial f}{\partial x} = 0, unde sequetur

\dfrac{d}{dy}\dfrac{\partial f}{\partial x^\prime} = 0,

sive aliter

\dfrac{\partial f}{\partial x^\prime} = \dfrac{1}{\sqrt{2a}},

ubi a est constans arbitraria ita scripta quia “commodum” est ad posteriores evolutiones.

Resolutio problematis variationalis

Substituendo functionem f in hac ultima expressione habetur:

\begin{array}{rl} {} &\dfrac{\partial }{\partial x^\prime} \sqrt{\dfrac{1+ x^{\prime 2}}{y}} = \dfrac{1}{\sqrt{2a}} \\ \\ \vdash & \dfrac{1}{2}\left( \dfrac{1 + x^{\prime 2} }{y} \right)^{-1/2} \left(\dfrac{2x^\prime}{y} \right) = \dfrac{1}{\sqrt{2a}} \\ \\ \vdash & \dfrac{1}{2}\sqrt{\dfrac{y}{1 + x^{\prime 2}}} \left(\dfrac{2x^\prime}{y} \right) = \dfrac{1}{\sqrt{2a}} \\ \\ \vdash & \sqrt{\dfrac{4x^{\prime 2} y}{4y^2 (1 + x^{\prime 2})} } = \sqrt{\dfrac{1}{2a}} \\ \\ \vdash & \dfrac{y x^{\prime 2} }{y^2 (1 + x^{\prime 2})} = \dfrac{1}{ 2a} \\ \\ \vdash & 2ayx^{\prime 2} = y^2 + y^2 x^{\prime 2} \\ \\ \vdash & x^{\prime 2} (2ay - y^2) = y^2 \\ \\ \vdash & \left(\dfrac{dx}{dy}\right)^2 = \dfrac{y^2}{2ay - y^2} \\ \\ \vdash & \dfrac{dx}{dy} = \pm \sqrt{\dfrac{y^2}{2ay - y^2}} \\ \\ \vdash & dx = \pm \dfrac{y\,dy}{\sqrt{2ay - y^2}} \\ \\ \vdash & x = \displaystyle \pm \int \dfrac{y}{\sqrt{2ay - y^2}}\,dy \end{array}

Ad hanc integralem resolvendam, optio consideranda est substitutio sequens

\begin{array}{rl} {} y &= a[1-\cos(\theta)] \\ dy &= a\sin(\theta) d\theta \end{array}

Cum hoc habetur:

\begin{array}{rl} {} x= & \pm \displaystyle \int \dfrac{y}{\sqrt{2ay - y^2}}\,dy = \displaystyle \int \dfrac{a[1-\cos(\theta)]a\sin(\theta)}{\sqrt{2a^2[1-\cos(\theta)] - a^2[1-\cos(\theta)]^2 }}\,d\theta \\ \\ & = \pm \displaystyle \int \dfrac{a^2[1-\cos(\theta)]\sin(\theta)}{\sqrt{a^2[1-\cos(\theta)]\left\{ 2 - [1-\cos(\theta)] \right\} }}\,d\theta \\ \\ & = \pm \displaystyle \int \dfrac{a[1-\cos(\theta)]\sin(\theta)}{\sqrt{[1-\cos(\theta)] [1 + \cos(\theta)] }}\,d\theta \\ \\ & = \pm \displaystyle \int \dfrac{a[1-\cos(\theta)]\sin(\theta)}{\sqrt{ 1-\cos^2(\theta)}}\,d\theta \\ \\ & = \pm \displaystyle \int \dfrac{a[1-\cos(\theta)]\sin(\theta)}{\sin(\theta)}\,d\theta \\ \\ & = \pm \displaystyle \int a[1-\cos(\theta)]\,d\theta \\ \\ & = \pm a(\theta - \sin(\theta)) + C \end{array}

Observare possumus curvam brachistochronam exprimi posse ut curvam parametricam in coordinatis polaribus, quae coincidet cum cycloide quae suum punctum initium in origine habet.

\begin{array}{rl} {} x(\theta) &= \pm a(\theta - \sin(\theta)) \\ y(\theta) &= a(1-\cos(\theta)) \end{array}

Constans integrationis C annihilata est ut conditioni initiali satisfiat quod trajectoria in origine incipit. Praeterea, observare possumus par aequationum solutiones possibilis problema dare, ubi constans a accommodari potest ut curva transeat per punctum (x_2,y_2) in fine itineris. Hae aequationes sunt:

Optio 1: \boxed{\begin{array}{rl} {} x(\theta) &= a(\theta - \sin(\theta)) \\ y(\theta) &= a(1-\cos(\theta)) \end{array}}

Optio 2: \boxed{\begin{array}{rl} {} x(\theta) &= - a(\theta - \sin(\theta)) \\ y(\theta) &= a(1-\cos(\theta)) \end{array}}

Solutio idonea pro hoc problema datur per secundam optionem, et constantem a ut negativum valorem accommodando, accipimus curvam quae condiciones necessarias ad solutionem complendas satisfacit.

Aptatio finalis solutionis

Post ultimos aptationes factas, curva brachistochrona formam parametricam habet:

\begin{array}{rl} x(\theta) &= b(\theta - \sin(\theta)) \\ y(\theta) &= -b(1-\cos(\theta)) \end{array}

Substitutum est a=-b, ubi 0\lt b. Curva periodum 2b\pi habet et satisfacere debet conditioni x_2 \in ]0,2b\pi[ et y_2 \in ]-2b,0[. Hoc ultimum est cruciale, quia postulat ut curva brachistochrona repraesentetur tamquam unus arcus cycloidei, quia solutio invalidabit si particula ad quietem redit redit ad punctum altitudinis zero.

Ad aptandas has aequationes problemati, necesse est invenire valores \theta et b qui systemati satisfaciant:

\begin{array}{rl} {} x_2 &= b(\theta - \sin(\theta))\\ y_2 &= - b(1-\cos(\theta)) \end{array}

Hoc systema non lineare solutiones analyticas non habere videtur, itaque methodis numericis in Wolfram Mathematica utimur. Infra, series graduum ad problematis solutionem praebetur:

Gradus 1: Systema constituere

Constituere aequationes quae systema solvendum formant

eq1 = x2 == b*(theta - Sin[theta])
eq2 = y2 == -b*(1 - Cos[theta])

Gradus 2: punctum destinationis definire

Definire punctum ad quod particula in fine sui itineris perveniet. Hoc casu id statuimus in (x_2,y_2)=(1,-2). Hos valores mutare potes ut alias configurationes similes probes.

x2val = 1; y2val = -2;

Gradus 3: valores quaesitos numerice computare

Uti functione “FindRoot” ad solutionem problematis numerice computandam

sol = FindRoot[{eq1, eq2} /. {x2 -> x2val, y2 -> y2val}, {{b,1}, {theta, 1}}]

Hic usi sumus valoribus b=1 et \theta=1 ut puncto initii pro approximatione numerica solutionis. Cum hoc, obtinetur solutio b\approx 2.4056 et \theta \approx 1.40138

Gradus 4: Resultatorum corroboratio

Meminerimus ut hae responsiones sensum physicum habeant, necesse esse x_2 \in ]0,2b\pi[ et y_2 \in ]-2b, 0[. Cito id confirmare possumus per sequens procedens

Primum extrahimus valores b et \theta obtentos ut solutionem

bval = sol[[1, 2]]; thetaval = sol[[2, 2]];

Et deinde iubemus fieri confirmationem

If[0 < x2val < 2*Pi*bval && -2*bval < y2val < 0, "Valores válidos", "Valores inválidos"]

Si omnia bene processerunt, debet erui "valores válidos" in exitu. Hoc fragmentum codicis adiuvabit te ad explorandum si situatio physica recte est modelata.

His proceduris tandem perfectissime aptata est nostra curva solutio, quae connectit puncta (x_1,y_1)=(0,0) et (x_2,y_2)=(1,-2). Curva resultans est:

\begin{array}{rl} {} x(\theta) &\approx 2.4056(\theta - \sin(\theta)) \\ y(\theta) &\approx -2.4056(1-\cos(\theta)) \end{array}\;\;;\theta\in [0, 1.40138]

Quae graphice sic videtur:

Repositorium Github cum algorithmo Wolfram

Codex completus solutionis ad problema brachistochronae, incluso algorithmo evoluto in Wolfram Mathematica, praesto est ad download et consultationem in meo reposito GitHub. Hoc repositum includit fasciculum .nb cum codice in forma notebook interactivo, itemque versionem in textu plano .m pro iis qui codicem directe videre malunt.

Potes repositum ex GitHub hic download.

Praeter codicem, repositum continet fasciculum "README" cum instructionibus accuratis quomodo uti et intelligere algorithmum, itemque explicationem gradatim de solutione problematis brachistochronae. Spero id tibi utile fore!