Æquatio Ellipsium et Circumferentiarum

Summarium:
In hac lectione exponitur quomodo æquatio ellipsium ex definitione geometrica obtineatur, quæ statuit summam distantiarum cuiuslibet puncti elliptici ad duo puncta fixa, quæ foci appellantur, esse constantem. Per explicatum processum algebraicum, deducitur æquatio generalis ellipsium eiusque forma canonica, necnon nexus inter ellipses et circumferentias, demonstrando circumferentiam esse casum particularem ellipsis cum semiaxes sunt æquales.

Propositi Discendi:
Hac lectione confecta, discipulus poterit

Deducere æquationem ellipsium ex eorum definitione geometrica.
Agnoscere formam generalem et formam canonicam æquationis ellipsium.

INDEX RERUM
Formatio geometrica
Æquationis ellipsium derivatio
Æquatio generalis ellipsium
Æquatio canonica ellipsium
Reductio ad Æquationem Circumferentiarum

Formatio geometrica

Ut æquationem ellipsium exprimamus, ratiocinari debemus, ut in parabolis, de earum significatione geometrica. Ellipsis est collectio omnium punctorum in plano, talium ut summa distantiarum inter illa et duo alia puncta, quæ foci nominantur, sit semper eadem.

Id est, verificabitur quod:

$d(f_1,p) + d(f_2,p) = constans$

Æquationis ellipsium derivatio

Ex definitione geometrica ellipsium exprimi potest æquatio algebraica quæ eam describit. Hoc autem facilius perfici potest per quasdam simplificationes. Sine detrimento generalitatis, supponamus foci sitos esse in $f_1 =(-c,0)$ et $f_2 =(c,0),$ ita ut, si punctum aliquod $p=(x,y)$ ad ellipsim pertinet, tunc verificabitur quod

$\sqrt{(x+c)^2 + y^2} + \sqrt{(x-c)^2 + y^2} = 2a$

Ubi $a\in\mathbb{R}$ est constantia fixa. Ex hoc ratiocinatio sequens constitui potest

(1)	$\sqrt{(x+c)^2 + y^2} + \sqrt{(x-c)^2 + y^2} = 2a$	; Definitio geometrica ellipsis
	$\sqrt{(x-c)^2 + y^2} = 2a - \sqrt{(x+c)^2 + y^2}$
(2)	$(x-c)^2 + \cancel{y^2} = 4a^2 -4a \sqrt{(x+c)^2 + y^2} + (x+c)^2 + \cancel{y^2}$	; Elevando ad quadratum (1)
	$(x-c)^2 = 4a^2 -4a \sqrt{(x+c)^2 + y^2} + (x+c)^2$
	$\cancel{x^2} -2xc + \cancel{c^2} = 4a^2 -4a \sqrt{(x+c)^2 + y^2} + \cancel{x^2} +2xc + \cancel{c^2}$
	$-2xc = 4a^2 -4a \sqrt{(x+c)^2 + y^2} +2xc$
	$4a \sqrt{(x+c)^2 + y^2} = 4a^2 +4xc = 4(a^2 + xc)$
	$a \sqrt{(x+c)^2 + y^2} = a^2 + xc$
(3)	$a^2 [(x+c)^2 + y^2] = (a^2 + xc)^2$	; Elevando ad quadratum (2)
	$a^2 [x^2 + 2xc + c2 + y^2] = a^4 +2a^2xc + x^2c^2$
	$a^2 x^2 + \cancel{2xca^2} + a^2 c2 + a^2 y^2 = a^4 + \cancel{2a^2xc} + x^2c^2$
	$a^2 x^2 + a^2 c2 + a^2 y^2 = a^4 + x^2c^2$
	$x^2 (a^2 - c^2) + a^2 y^2 = a^4 - a^2 c^2 =a^2(a^2-c^2)$
	$\dfrac{x^2}{a^2} +\dfrac{ y^2}{a^2-c^2} = 1$
(4)	$0\lt a^2 - c^2 =: b^2$	; Numerus a $b^2$ repraesentatus est positivus, ut ex imagine apparet.
(5)	${\dfrac{x^2}{a^2} +\dfrac{ y^2}{b^2} = 1}$	; Ex (3) et (4)
	$\boxed{\left(\dfrac{x}{a}\right)^2 + \left(\dfrac{y}{b}\right)^2 = 1}$

Hoc ultimum est quod “æquatio ellipsium” appellatur.

Æquatio generalis ellipsium

Æquatio quam modo obtinuimus ad formam generalem reduci potest per transformationes translationis, faciendo substitutiones $x\longmapsto (x-h)$ et $y\longmapsto (y-k).$ Hoc modo pervenimus ad formam generalem æquationis ellipsium

$\boxed{\left(\dfrac{x-h}{a}\right)^2 + \left(\dfrac{y-k}{b}\right)^2 = 1}$

Hæc est ellipsis cui centrum est in puncto $(h,k)$

Æquatio canonica ellipsium

Per operationes algebraicas hinc pervenitur ad æquationem canonicam ellipsium:

(1)	$\left(\dfrac{x-h}{a}\right)^2 + \left(\dfrac{y-k}{b}\right)^2 = 1$	; æquatio generalis ellipsium
	$b^2 (x-h)^2 + a^2(y-k)^2 = a^2 b^2$	; Multiplicatio totius per $a^2b^2$
	$b^2 [x^2-2xh+h^2] + a^2[y^2-2yk + k^2] = a^2 b^2$	; evolutio quadratorum
	$b^2 x^2-2hb^2 x + h^2b^2 + a^2 y^2-2ka^2y + k^2a^2 = a^2 b^2$	; explicatio parenthesium
	$b^2 x^2- 2hb^2 x + a^2 y^2-2ka^2y +(h^2b^2 + k^2a^2 - a^2 b^2) = 0$	; aggregatio terminorum constantium

In hac ultima expressione fieri possunt substitutiones $A:=b^2,$ $B:=-2hb^2,$ $C:=a^2,$ $D:=-2ka^2$ et $E:=h^2b^2 + k^2a^2 - a^2 b^2.$ Ita videre possumus ellipses describi per æquationes huiusmodi

$Ax^2 + Bx + Cy^2 + Dy + E = 0$

Hoc est quod “æquatio canonica ellipsium” appellatur.

Ex his deductionibus extrahi possunt quædam restrictiones circa constantes æquationis canonicæ. Maxima momenti est quod $A$ et $B$ eandem significationem habere debent; si aliter, non iam de ellipsi, sed de hyperbola agitur. Sunt etiam aliæ conditiones in constantibus huius repraesentationis canonicæ, sed nunc eas tractare non est opportunum: eas exacte tractabimus cum ad ellipsium et hyperbolarum characterizationem pervenerimus.

Reductio ad Æquationem Circumferentiarum

Aliquid quod tractabimus cum disseremus de characterizatione ellipsium est quod constantes $a$ et $b$ in æquatione generali ellipsis correspondent semiaxibus eius. Si utrumque semiaxem æquamus, scilicet $a=b=r,$ tunc ellipsis in circumferentiam radii $r$ convertetur.

Æquatio generalis circumferentiarum

Hoc modo obtinetur æquatio generalis circumferentiarum, nempe:

$(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2$

Æquatio canonica circumferentiarum

Similiter, obtinetur æquatio canonica circumferentiarum