प्रपोज़िशनल लॉजिक की 5 समरूपताएँ

प्रकाशित किया गया द्वारा giorgio.reveco
प्रपोज़िशनल लॉजिक की 5 समरूपताएँ

प्रपोज़िशनल लॉजिक की 5 समरूपताएँ

सारांश:
इस कक्षा में, हम देखेंगे कि दोहरी नकार, परिकल्पित सिलोगिज़्म, निहितार्थ का प्रतिपक्ष, उपपत्ति के प्रमेय और संयोजक की परिभाषाएँ किस प्रकार प्रपोज़िशनल लॉजिक की समरूपताएँ बनाती हैं। स्पष्ट और सरल प्रदर्शनों के माध्यम से, आप समकक्षताओं में महारत हासिल करेंगे और उन्हें अपने तर्क चुनौतियों में लागू करना सीखेंगे।

कक्षा में शामिल समरूपताएँ: \downarrow-समरूपता, \vee-समरूपता, \wedge-समरूपता, \leftrightarrow-समरूपता और \veebar-समरूपता। इसके अतिरिक्त, प्रदर्शनों के बीच अंतःक्रियाओं और यह कैसे प्रत्येक अगले के लिए आसान बनाती हैं पर प्रकाश डाला गया है। यह कक्षा न केवल आपको प्रपोज़िशनल लॉजिक का गहरा ज्ञान देगी बल्कि यह भी सिखाएगी कि पिछले प्रदर्शनों का उपयोग करके अपने सीखने की प्रक्रिया को कैसे अनुकूलित करें।

लर्निंग उद्देश्यों:
इस कक्षा के अंत में, छात्र सक्षम होंगे

  1. स्मरण करें प्रपोज़िशनल लॉजिक की बुनियादी अवधारणाएँ, जैसे परिकल्पित सिलोगिज़्म और दोहरी नकार।
  2. पहचानें प्रपोज़िशनल लॉजिक की 5 समरूपताएँ।
  3. समझें समरूपता समकक्षताओं का प्रमाण प्रक्रिया।
  4. लागू करें मान्यता, उपपत्ति प्रमेय और इसके प्रतिपक्ष को प्रदर्शनों में।
  5. जोड़ें संयोजक तर्क की परिभाषाओं को समरूपताओं से।
  6. महत्व दें एक बार प्रदर्शन पूरा करने और भविष्य के प्रदर्शनों में पुन: उपयोग करने के महत्व को।
  7. विकसित करें तर्क प्रदर्शनों में विश्लेषणात्मक और आलोचनात्मक कौशल।

विषय-सूची
\vee – समरूपता
\downarrow – समरूपता
\wedge – समरूपता
\leftrightarrow – समरूपता
\veebar – समरूपता
अंतिम टिप्पणियाँ


परिकल्पित सिलोगिज़्म, दोहरी नकार और निहितार्थ का प्रतिपक्ष, उपपत्ति प्रमेय और संयोजक की परिभाषाओं का सीधा परिणाम प्रपोज़िशनल लॉजिक की 5 समरूपताएँ हैं जिन्हें हम आगे समीक्षा करेंगे।

(\alpha \downarrow \beta) \dashv\vdash (\beta\downarrow \alpha)\downarrow-समरूपता
(\alpha \vee \beta) \dashv\vdash (\beta\vee \alpha)\vee-समरूपता
(\alpha \wedge \beta) \dashv\vdash (\beta\wedge \alpha)\wedge-समरूपता
(\alpha \leftrightarrow \beta) \dashv\vdash (\beta\leftrightarrow \alpha)\leftrightarrow-समरूपता
(\alpha \veebar \beta) \dashv\vdash (\beta\veebar\alpha)\veebar-समरूपता

इन समकक्षताओं के प्रमाण पूरी तरह से सामान्य नहीं हैं, लेकिन कुछ प्रमाणों की तुलना में, ये काफी सरल हैं। निम्नलिखित में प्रत्येक के एक दिशा में प्रदर्शन को दिखाया गया है; उल्टी दिशा में प्रमाण लगभग समान है और इसे पाठक के लिए अभ्यास के रूप में छोड़ दिया गया है।

\vee-समरूपता

देखें

(1)\{(\alpha \vee \beta)\}\vdash (\alpha \vee\beta); पूर्व
(2)\{(\alpha \vee \beta)\}\vdash (\neg \alpha \rightarrow \beta); क्योंकि (\alpha \vee \beta) := (\neg \alpha \rightarrow \beta)
(3)\{(\alpha \vee \beta)\}\vdash (\neg \beta \rightarrow \alpha); CPI(2)
(4)\boxed{\{(\alpha \vee \beta)\}\vdash ( \beta \vee \alpha)}; क्योंकि ( \beta \vee \alpha) := (\neg\beta\rightarrow\alpha)

उल्टी दिशा में तर्क लगभग कुछ छोटे बदलावों के साथ प्राप्त होता है, प्रारंभिक धारणा \{(\beta\vee\alpha)\}\vdash (\beta\vee\alpha)

\downarrow-समरूपता

देखें

(1)\{\neg(\alpha \downarrow \beta)\}\vdash \neg(\alpha \downarrow \beta) ; पूर्व
(2) \{\neg(\alpha \downarrow \beta)\}\vdash (\alpha \vee \beta) ; (1) से क्योंकि (\alpha\vee\beta) := \neg(\alpha \downarrow \beta)
(3) \{\neg(\alpha \downarrow \beta)\}\vdash (\beta \vee \alpha) ; \vee-समरूपता
(4) \vdash (\neg(\alpha \downarrow \beta) \rightarrow (\beta \vee \alpha)) ; TD(3)
(5) \vdash (\neg(\beta \vee \alpha) \rightarrow (\alpha \downarrow \beta)) ; CPI(4)
(6) \vdash ((\beta \downarrow \alpha) \rightarrow (\alpha \downarrow \beta)) ; (5) से क्योंकि (\beta\vee\alpha) := \neg(\beta \downarrow \alpha)
(7)\boxed{\{(\beta \downarrow \alpha) \} \vdash (\alpha \downarrow \beta)}; RTD(6)

अंत में, उल्टी दिशा में तर्क प्रारंभिक धारणा से प्राप्त होता है \{\neg(\beta\downarrow\alpha)\}\vdash \neg(\beta\downarrow\alpha)

\wedge-समरूपता

देखें

(1)\{(\alpha \wedge \beta)\} \vdash (\alpha \wedge \beta); पूर्व
(2)\{(\alpha \wedge \beta)\} \vdash (\neg\alpha \downarrow \neg\beta); (1) से क्योंकि (\alpha \wedge \beta) := (\neg\alpha \downarrow \neg\beta)
(3)\{(\alpha \wedge \beta)\} \vdash (\neg\beta \downarrow \neg\alpha); \downarrow-समरूपता (2)
(4)\boxed{\{(\alpha \wedge \beta)\} \vdash ( \beta \wedge \alpha)}; (3) से क्योंकि (\beta \wedge \alpha) := (\neg\beta \downarrow \neg\alpha)

पिछले एक की तरह, उल्टी दिशा में तर्क प्राप्त होता है प्रारंभिक धारणा \{( \beta \wedge \alpha)\}\vdash ( \beta \wedge \alpha)

\leftrightarrow-समरूपता

देखें

(1)\{(\alpha \leftrightarrow \beta)\} \vdash (\alpha \leftrightarrow \beta); पूर्व
(2)\{(\alpha \leftrightarrow \beta)\} \vdash ((\alpha \rightarrow \beta) \wedge (\alpha \rightarrow \beta)); (1) से क्योंकि (\alpha \leftrightarrow \beta) := ((\alpha \rightarrow \beta) \wedge (\beta \rightarrow \alpha))
(3)\{(\alpha \leftrightarrow \beta)\} \vdash ((\beta \rightarrow \alpha) \wedge (\alpha \rightarrow \beta) ); \wedge-समरूपता(2)
(4)\boxed{\{(\alpha \leftrightarrow \beta)\} \vdash (\beta \leftrightarrow \alpha)}; (3) से क्योंकि (\beta \leftrightarrow \alpha) := ((\beta \rightarrow \alpha) \wedge (\alpha \rightarrow \beta))

पिछले एक की तरह, लेकिन प्रारंभिक धारणा \{( \beta \leftrightarrow \alpha)\}\vdash ( \beta\leftrightarrow \alpha)

\veebar-समरूपता

देखें

(1)\{(\alpha \leftrightarrow \beta)\} \vdash (\alpha \leftrightarrow \beta) ; पूर्व
(2)\{(\alpha \leftrightarrow \beta)\} \vdash ( \beta \leftrightarrow \alpha) ; \leftrightarrow-समरूपता(1)
(3) \vdash ((\alpha \leftrightarrow \beta) \rightarrow ( \beta \leftrightarrow \alpha)) ; TD(2)
(4) \vdash (\neg ( \beta \leftrightarrow \alpha) \rightarrow \neg (\alpha \leftrightarrow \beta)) ; CPI(3)
(5)\{\neg ( \beta \leftrightarrow \alpha)\} \vdash \neg (\alpha \leftrightarrow \beta) ; RTD(4)
(6)\boxed{\{ ( \beta \veebar \alpha)\} \vdash (\alpha \veebar \beta)} ; (5) से क्योंकि ( \beta \veebar \alpha) := \neg\beta \leftrightarrow \alpha) और (\alpha \veebar \beta) := \neg (\alpha \leftrightarrow \beta)

जैसा कि सभी अन्य मामलों में, यह पर्याप्त है कि यह परीक्षण किया जाए कि प्रारंभिक धारणा से उल्टी दिशा में \{(\beta \leftrightarrow \alpha)\} \vdash (\beta \leftrightarrow \alpha) प्राप्त करें।

अंतिम टिप्पणियाँ

एक पहलू जिस पर पाठक को ध्यान देना चाहिए यह है कि प्रपोज़िशनल लॉजिक की इन 5 समरूपताओं को साबित करने के लिए चुने गए क्रम में। ध्यान दें कि प्रत्येक प्रदर्शन को इस तरह से तैयार किया गया है कि यह पहले से किए गए कुछ प्रदर्शन का उपयोग करता है। यह दृष्टिकोण प्रदर्शनों के समय पालन करना चाहिए: प्रदर्शन केवल एक बार (और कभी नहीं!) किया जाता है; इसके बाद, आपका उद्देश्य पूर्व प्रदर्शन का उपयोग करके भविष्य के प्रदर्शन को सरल बनाना होना चाहिए।

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