परिचय

हमने पहले ही अध्ययन किया है कि अपवर्तन कैसे काम करता है; अर्थात्, जब प्रकाश एक माध्यम से दूसरे माध्यम में प्रवेश करता है तो क्या होता है। लेकिन हमने यह सब एक समतल सतह के संदर्भ में अध्ययन किया है जो दोनों माध्यमों को अलग करती है। हालांकि, प्राकृतिक और व्यावहारिक अनुप्रयोगों में गोलाकार सतहों पर अपवर्तन का अध्ययन करना कठिन नहीं है। इसके उदाहरण हैं मानव आँख (वास्तव में लगभग सभी जानवरों की आँखें) और अधिकांश ऑप्टिकल उपकरण जो दैनिक जीवन और औद्योगिक अनुप्रयोगों में उपयोग किए जाते हैं।

नीचे के चित्र में, हम देख सकते हैं कि कैसे दो गोलाकार सतहों के माध्यम से एक लेंस का निर्माण होता है।

इस प्रकार के उपकरण का विस्तृत अध्ययन करने के लिए यह जानना आवश्यक है कि जब प्रकाश एक माध्यम से दूसरे माध्यम में गोलाकार सतह के माध्यम से प्रवेश करता है तो वह कैसे व्यवहार करता है।

गोलाकार सतहों पर अपवर्तन के लिए वस्तु-चित्र संबंध

हम अपने अध्ययन की शुरुआत इस बात की जांच से करेंगे कि जब प्रकाश एक माध्यम से दूसरे माध्यम में गोलाकार सतह के माध्यम से प्रवेश करता है तो वह कैसे व्यवहार करता है। इसके लिए हम R त्रिज्या वाली एक गोलाकार वस्तु पर विचार करेंगे, जो एक ऐसे पदार्थ से बनी है जिसका अपवर्तनांक n_b है और जो एक माध्यम में डूबी हुई है जिसका अपवर्तनांक n_a. है।

कोणों के बीच संबंध निकालना

यदि हम इस चित्र में शामिल कोणों का विश्लेषण करें तो हम देखेंगे:

\begin{array}{rll} {(1)}& \theta_a & =\alpha + \phi \\ \\ {(2)}& \phi & =\beta + \theta_b \end{array}

सिद्धांत

पहला समीकरण इस तथ्य से प्राप्त किया गया है कि त्रिभुज के आंतरिक कोणों का योग दो समकोणों के बराबर होता है:

\begin{array}{rl} & \alpha + \phi + (\pi - \theta_a) = \pi\\ \\ \equiv & \alpha + \phi - \theta_a = 0 \\ \\ \equiv & \color{blue}{\theta_a = \alpha + \phi} \end{array}

दूसरा समीकरण इसी तरह से प्राप्त किया गया है:

\begin{array}{rl} & \beta + \theta_b + (\pi - \phi) = \pi\\ \\ \equiv & \beta + \theta_b - \phi = 0\\ \\ \equiv & \color{blue}{\phi = \beta + \theta_b } \end{array}

स्नेल के नियम की प्रस्तुति

चित्र से हम निम्नलिखित समीकरण भी प्राप्त कर सकते हैं:

\begin{array}{rll} {(3)}&\tan(\alpha) &=\displaystyle \frac{h}{s+\delta}\\ \\ {(4)}&\tan(\beta) &=\displaystyle \frac{h}{s^\prime - \delta}\\ \\ {(5)}&\tan(\phi) &=\displaystyle \frac{h}{R - \delta} \end{array}

और स्नेल के नियम से, हमारे पास है

\begin{array}{rl} {(6)} & n_a\sin(\theta_a) = n_b \sin(\theta_b)\end{array}

अब, यदि हम इस सन्निकटन को लें कि \theta_a और \theta_b छोटे हैं, तो \alpha, \beta और \phi भी छोटे होंगे, और यह होगा:

चित्र से हम निम्नलिखित समीकरण भी प्राप्त कर सकते हैं:

\begin{array}{rl} \sin(\theta_a) &\approx \theta_a \\ \\ \sin(\theta_b) &\approx \theta_b \\ \\ \delta &\approx 0 \\ \\ \tan(\alpha) &\approx \alpha \\ \\ \tan(\beta) &\approx \beta \\ \\ \tan(\phi) &\approx \phi \end{array}

फिर, इससे और स्नेल के नियम से, हमें मिलता है:

\begin{array}{rl} {(7)} & n_a \theta_a \approx n_b \theta_b \\ \\ \equiv & \theta_b \approx \displaystyle \frac{n_a}{n_b} \theta_a \end{array}

अब, (7), (1) और (2) से हमें मिलता है

\begin{array}{rl} {(8)} & \phi - \beta \approx \displaystyle \frac{n_a}{n_b}(\alpha + \phi) \\ \\ \equiv & \phi \approx \beta + \displaystyle \frac{n_a}{n_b}(\alpha + \phi) \\ \\ {}\equiv & n_b\phi \approx n_b\beta + n_a \alpha + n_a\phi \\ \\ \equiv & \color{blue}{n_a \alpha + n_b\beta \approx (n_b - n_a) \phi } \end{array}

अंत में, (8), सन्निकटन और समीकरण (3), (4), और (5) से, हमें मिलता है:

\begin{array}{rl} {(9)} & \displaystyle n_a \left( \frac{\color{red}{h}}{S + \underbrace{\delta}_{\to 0}} \right) + n_b \left(\frac{\color{red}{h}}{S^\prime - \underbrace{\delta}_{\to 0} } \right) \approx (n_b - n_a) \left(\frac{\color{red}{h}}{R-\underbrace{\delta}_{\to 0}}\right) \\ \\ \equiv & \displaystyle \color{blue}{\frac{n_a}{S } + \frac{ n_b}{S^\prime } \approx \frac{n_b - n_a}{R} } \end{array}

यह अंतिम समीकरण वह है जिसे हमगोलाकार सतहों पर अपवर्तन के लिए वस्तु-चित्र संबंध कहते हैं।

गोलाकार सतहों के दूसरी ओर अपवर्तन से विस्तारित चित्रों का निर्माण

अब देखते हैं कि जब हम बिंदु स्रोत को विस्तारित वस्तु से बदलते हैं तो क्या होता है। यह नीचे के चित्र में दिखाया गया है:

पूर्व विश्लेषण पहले ही S और S^\prime, के बीच संबंध को इंगित करता है, अब हमें केवल वस्तु और चित्र के आकार के बीच का संबंध ढूंढना है।

चित्र से, हमारे पास है:

\begin{array}{rl} \tan(\theta_a) & =\displaystyle \frac{y}{S} \\ \\ \tan(\theta_b) & =\displaystyle - \frac{y^\prime}{S^\prime} \end{array}

हम इसे स्नेल के नियम के साथ मिलाएंगे

n_a\sin(\theta_a) = n_b\sin(\theta_b).

इसके लिए, हम इस तथ्य पर आधारित होंगे कि छोटे कोणों के लिए यह सन्निकटन सही है

\begin{array}{rl} \sin(\theta_a) & \approx \tan(\theta_a) \\ \\ \sin(\theta_b) & \approx \tan(\theta_b) \end{array}

इस प्रकार हम लिख सकते हैं

\begin{array}{rl} &\displaystyle n_a \frac{y}{S} \approx- n_b \dfrac{y^\prime}{S^\prime} \\ \\ \equiv & \displaystyle \dfrac{y^\prime}{y} \approx - \dfrac{n_a S^\prime}{n_b S} \\ \\ \end{array}

अब, यह याद रखते हुए कि हमने गोलाकार दर्पणों के लिए क्या देखा है, हमारे पास कुछ ऐसा ही है। इस बिंदु पर, हम आवर्धन कारक m को इस प्रकार परिभाषित कर सकते हैं:

m=\displaystyle \frac{y^\prime}{y}

इस प्रकार:

\displaystyle \color{blue}{m\approx -\frac{n_a S^\prime}{n_b S}}

सारांश

सारांश में, अब तक हमने दो परिणाम निकाले हैं जो हमें यह अनुमान लगाने की अनुमति देते हैं कि जब प्रकाश किसी वस्तु से निकलकर एक गोलाकार सतह से गुजरता है, तो चित्र कैसे बनते हैं। ये समीकरण इस प्रकार हैं:

\begin{array}{rl} \displaystyle \dfrac{n_a}{S} + \dfrac{n_b}{S^\prime} & \approx \dfrac{n_b - n_a}{R} \\ \\ m & \displaystyle \approx - \dfrac{n_a S^\prime}{n_b S} \end{array}

इन दो समीकरणों के माध्यम से, आप चित्र की स्थिति के साथ-साथ चित्र की दिशा और आकार की गणना कर सकते हैं, और ये दोनों ही उस स्थिति में काम करेंगे जब सतह उत्तल या अवतल हो। इस बिंदु पर, हालांकि, संकेतों के लिए नियमों पर ध्यान देना आवश्यक है।

संकेतों के लिए नियम

इन दो समीकरणों के माध्यम से, आप चित्र की स्थिति के साथ-साथ चित्र की दिशा और आकार की गणना कर सकते हैं, और ये दोनों ही उस स्थिति में काम करेंगे जब सतह उत्तल या अवतल हो। इस बिंदु पर, हालांकि, संकेतों के लिए नियमों पर ध्यान देना आवश्यक है।

सतह अंतरिक्ष को दो क्षेत्रों में विभाजित करती है, एक जहाँ हम वस्तु को पा सकते हैं और दूसरा जहाँ चित्र स्थित है। इस पर आधारित है:

• वस्तु की स्थिति S: सकारात्मक यदि यह वस्तु की ओर है, नकारात्मक यदि यह चित्र की ओर है।
• चित्र की स्थिति S^\prime और वक्रता त्रिज्या R: सकारात्मक यदि यह चित्र की ओर है, नकारात्मक यदि यह वस्तु की ओर है।
• वस्तु और चित्र का आकार, y और y^\prime: सकारात्मक यदि यह ऑप्टिकल धुरी के ऊपर है, नकारात्मक यदि यह ऑप्टिकल धुरी के नीचे है।

गोलाकार सतहों का सीमांत मामला: समतल सतहें

जो कुछ भी हमने गोलाकार सतहों के लिए विकसित किया है वह समतल सतहों को बेहतर ढंग से समझने में भी मदद करता है। वास्तव में, हम समतल सतह को गोलाकार सतह के एक हिस्से के रूप में समझ सकते हैं जिसका वक्रता त्रिज्या बहुत बड़ा है; वास्तव में, यदि हम गोलाकार सतहों के लिए वस्तु-चित्र संबंध पर सीमाएँ लेते हैं जब त्रिज्या अनंत हो जाती है, तो हमारे पास है:

\displaystyle \frac{n_a}{S } + \frac{ n_b}{S^\prime} = \lim_{R\to \infty} \frac{n_a}{S } + \frac{ n_b}{S^\prime } \approx \lim_{R\to \infty} \frac{n_b - n_a}{R} = 0

और यदि हम इसके आधार पर आवर्धन कारक की गणना करते हैं, तो हमें मिलता है:

m=1

यानी चित्र अपने आकार और दिशा को बनाए रखता है, जो बदलता है वह उसका देखा गया स्थान है।

अभ्यास

1. एक सिलेंडर ग्लास रॉड के सामने, जैसा कि नीचे दिखाया गया है, एक कण रखा गया हैयदि कण रॉड से 30[सेमी] दूर है और इसका सिरे लगभग R=1,5[सेमी], त्रिज्या का गोलाकार है, तो रॉड के अंदर बनने वाले चित्र की स्थिति की गणना करें।
2. पिछले अभ्यास की तरह ही रॉड मान लें, लेकिन अब यह पानी के नीचे है। यदि इसके सामने 1[सेमी] ऊँचाई की सुई 30[सेमी], की समान दूरी पर रखी गई है, तो चित्र की स्थिति और ऊँचाई की गणना करें।
3. एक व्यक्ति पूल के तल को देख रहा है, जिसका उद्देश्य उसकी गहराई का अनुमान लगाना है। मार्गदर्शक के रूप में, वह तल पर खींचे गए एक तीर का उपयोग करता है। वास्तविक गहराई और स्पष्ट गहराई के बीच क्या संबंध है?