अध्ययन के उद्देश्य:

1. गणितीय तर्क क्या है और इसके मुख्य अनुप्रयोगों को समझें।
2. तर्क और सत्य की एक सिद्धांत के बीच का अंतर समझें।
3. यह समझें कि तर्क में औपचारिक भाषा का उपयोग क्यों किया जाता है और यह कैसे तर्क और तर्कशीलता का सटीक और कठोर तरीके से विश्लेषण करने की अनुमति देता है।
4. प्राकृतिक भाषाओं और औपचारिक भाषाओं के बीच का अंतर समझें।

क्या है गणितीय तर्क?

गणितीय तर्क तर्क का एक शाखा है जो गणितीय तर्कशीलता और तर्क के मौलिक सिद्धांतों का अध्ययन करता है। इसका उपयोग तर्कशीलता की वैधता का विश्लेषण और मूल्यांकन करने के लिए किया जाता है और गणितीय प्रमेयों की प्रूफ करने के लिए उपयोगी औपचारिक तरीकों को विकसित करने के लिए किया जाता है। गणितीय तर्क का उपयोग अन्य क्षेत्रों में भी होता है, जैसे कि कंप्यूटर विज्ञान और विज्ञान की दर्शनशास्त्र, और इसे औपचारिक भाषा प्रणालियों और स्वचालित निष्कर्षण के विकास के लिए आधार के रूप में उपयोग किया जाता है।

तर्क सत्य की एक सिद्धांत नहीं है

यह हमेशा जोर देना महत्वपूर्ण है कि तर्क सत्य के बारे में एक सिद्धांत नहीं है; इसका मतलब यह है कि यह सत्य या असत्य की परिभाषा के बारे में चर्चा नहीं करता। इसके बजाय, यह पहले से मानते हुए कि कुछ अभिव्यक्तियों के सत्य मान हैं, यह अध्ययन करता है कि वे एक-दूसरे से कैसे संबंधित हैं या कैसे कुछ दूसरों से निष्कर्षित किए जा सकते हैं।

तर्क के लिए एक उपयुक्त भाषा की आवश्यकता होती है

तर्क करने से पहले, इसे निष्पादित करने के लिए एक उपयुक्त भाषा होना आवश्यक है। इस भाषा को हम “औपचारिक भाषा” कहते हैं, इसमें वैध निष्कर्ष निकालने के लिए आवश्यक गुण होते हैं; इसका मतलब यह है कि यह एक तंत्र है जो पहले के सत्य से सही अभिव्यक्तियों को ढूंढने या उत्पन्न करने की अनुमति देता है।

तर्क को एक औपचारिक भाषा की आवश्यकता क्यों है?

तर्क को एक औपचारिक भाषा की आवश्यकता है क्योंकि यह एक विशेष रूप से डिज़ाइन की गई भाषा है जो तर्क और तर्कशीलता को स्पष्ट और सटीक रूप से व्यक्त करने के लिए बनाई गई है। एक औपचारिक भाषा का उपयोग करके, तर्क और तर्कशीलता की सामग्री को सटीक और कठोर रूप से प्रस्तुत करना संभव है, जो उनकी वैधता और संगति का विश्लेषण और मूल्यांकन करने की अनुमति देता है।

औपचारिक भाषा एक ऐसी भाषा है जो अवधारणाओं और उनके बीच के संबंधों का प्रतिनिधित्व करने के लिए कठोर और प्रणालीगत नियमों और सम्मेलनों पर आधारित होती है। एक औपचारिक भाषा का उपयोग करके, तर्कशील अवधारणाओं और तर्कों को अधिक सटीक और कठोर रूप से प्रस्तुत किया जा सकता है, जो तर्क में अस्पष्टता और गलतियों से बचने में मदद करता है। ऐसी भाषाओं को बनाने का एक उद्देश्य यह है कि यह सामान्य भाषा की असमानताओं और विरोधाभासों से बचने के लिए है: सामान्य भाषा की लचीलापन और अभिव्यक्ति की समृद्धि को औपचारिक भाषा की सटीकता के लिए बलिदान दिया जाता है।

प्राकृतिक भाषाएँ और औपचारिक भाषाएँ

प्राकृतिक भाषाएँ वे भाषाएँ हैं जो मनुष्य मौखिक या लिखित रूप से संवाद करने के लिए उपयोग करते हैं। प्राकृतिक भाषाओं के कुछ उदाहरण हैं: स्पेनिश, अंग्रेजी, फ्रेंच, चीनी, अरबी, और कई अन्य।

प्राकृतिक भाषाएँ जटिल संचार प्रणालियाँ हैं जो विचारों, विचारों और भावनाओं को स्पष्ट और सटीक रूप से व्यक्त करने की अनुमति देने वाले नियमों और सम्मेलनों के एक सेट पर आधारित होती हैं। इन भाषाओं में प्रतीकों का एक सेट होता है (जैसे कि अक्षर, शब्द, और वाक्यांश) जो अर्थ को संप्रेषित करने और जानकारी को संचारित करने के लिए उपयोग किया जाता है।

औपचारिक भाषाओं के विपरीत, जो तर्क और तर्कशीलता को स्पष्ट और सटीक रूप से व्यक्त करने के लिए विशेष रूप से डिज़ाइन की गई हैं, प्राकृतिक भाषाएँ अधिक लचीली और अनुकूलन योग्य होती हैं और विभिन्न स्थितियों और संदर्भों में संवाद करने के लिए उपयोग की जाती हैं।

गणितीय तर्क में, प्राकृतिक भाषाओं की तुलना में औपचारिक भाषाओं का उपयोग अधिक पसंद किया जाता है, मुख्यतः क्योंकि प्राकृतिक भाषाओं की लचीलापन और समृद्धि, जबकि यह अभिव्यक्तियों के क्षेत्र में इसकी सबसे बड़ी ताकत है, यह सटीकता के मामले में इसकी सबसे बड़ी कमजोरी भी है: इसकी समृद्ध अभिव्यक्ति और कड़ेपन की कमी कई विरोधाभासों को जन्म देती है जिन्हें तर्क में बचने की आवश्यकता होती है। इसलिए, औपचारिक भाषा की सटीकता के लिए प्राकृतिक भाषाओं की सभी अभिव्यक्ति की क्षमता को बलिदान किया जाता है।

भाषा के विरोधाभास

भाषा के विरोधाभास तर्क में उत्पन्न होने वाली तर्क समस्याएं हैं जिन्हें उनके आंतरिक विरोधाभास के कारण हल करना मुश्किल होता है। ये विरोधाभास आमतौर पर ऐसे कथन होते हैं, जिन्हें यदि सत्य के रूप में स्वीकार किया जाए, तो वे विरोधाभासी या असंगत निष्कर्षों की ओर ले जाते हैं।

हम अक्सर जो प्राकृतिक भाषाएँ उपयोग करते हैं वे एक शक्तिशाली उपकरण हैं जो हमें विचारों, विचारों, और भावनाओं को व्यक्त करने की अनुमति देती हैं, लेकिन यह कुछ शब्दों और वाक्यांशों की अस्पष्टता के कारण भ्रमित और समझने में कठिन भी हो सकती हैं। उदाहरण के लिए, कुछ शब्दों के कई विभिन्न अर्थ होते हैं, और कभी-कभी यह तय करना मुश्किल होता है कि वक्ता किस अर्थ का उल्लेख कर रहा है। इसके अलावा, कुछ वाक्यांशों के विभिन्न संदर्भों में विरोधाभासी व्याख्याएँ हो सकती हैं।

भाषा के विरोधाभासों से बचने के लिए औपचारिक भाषाएँ

औपचारिक भाषाओं का एक लाभ यह है कि वे अपनी सटीकता और अस्पष्टता की अनुपस्थिति के कारण भाषा के विरोधाभासों से बचाती हैं। एक औपचारिक भाषा का उपयोग करके, उन नियमों और सम्मेलनों को स्पष्ट रूप से निर्दिष्ट किया जा सकता है जिन्हें गलत व्याख्या या विरोधाभास से बचने के लिए पालन किया जाना चाहिए। उदाहरण के लिए, गणितीय तर्क में, एक औपचारिक भाषा जिसे “प्रस्तावनात्मक तर्क की भाषा” कहा जाता है, का उपयोग किया जाता है ताकि आधारशिला और सटीक रूप से प्रस्तावनाओं के आधार पर तर्कशीलता का प्रतिनिधित्व और अभिव्यक्ति की जा सके। यह भाषा उन नियमों और सम्मेलनों को निर्दिष्ट करती है जिन्हें कुछ भाषा विरोधाभासों से बचने के लिए पालन किया जाना चाहिए, और इसका उपयोग तर्कसंगत और व्यवस्थित तरीके से तर्क परीक्षण और प्रमाण करने के लिए किया जाता है।

प्रस्तावनात्मक तर्क की भाषा के अलावा, और भी भाषाएँ हैं जो अधिक जटिल स्थितियों के लिए डिजाइन की गई हैं और वे उसी लक्ष्य को पूरा करती हैं, जैसे कि प्रथम और द्वितीय क्रम के पूर्वकथन तर्क की भाषाएँ।

भाषा के विरोधाभासों के 5 उदाहरण

1. झूठ न बोलने का विरोधाभास: यह तब उत्पन्न होता है जब कहा जाता है “जो कुछ भी कहा जाता है वह झूठ है”। यदि जो कुछ भी कहा जाता है वह झूठ है, तो यह कथन कि “जो कुछ भी कहा जाता है वह झूठ है” भी झूठ है, इसलिए यह गलत है। यदि “जो कुछ भी कहा जाता है वह झूठ है” यह कथन झूठ नहीं है, तो जो कुछ कहा जाता है उसमें से कुछ सच है, इसलिए यह कथन गलत है। परिणामस्वरूप, यदि यह सच है, तो यह गलत है, और इसके विपरीत भी।
2. झूठा व्यक्ति का विरोधाभास: यह “मैं झूठ बोल रहा हूँ” कथन से उत्पन्न होता है, जो यदि यह सच या झूठ है तो यह तर्कसंगत विरोधाभास प्रस्तुत करता है। यदि यह सच है, तो व्यक्ति झूठ बोल रहा है, इसलिए यह कथन गलत है। यदि यह गलत है, तो व्यक्ति झूठ नहीं बोल रहा है, इसलिए यह कथन सही है। अंत में, पिछले विरोधाभास की तरह, यदि यह सच है, तो यह गलत है, और इसके विपरीत भी।
3. आत्म-संदर्भात्मक गुणों का विरोधाभास: आत्म-संदर्भात्मक विरोधाभास उन अभिव्यक्तियों से उत्पन्न होते हैं जो स्वयं का संदर्भ देते हैं, जिससे एक विरोधाभास उत्पन्न होता है, जैसे कि जब कहा जाता है “सबसे छोटा नंबर जिसे बीस से कम शब्दों में नहीं लिखा जा सकता”। यह स्वयं में एक विरोधाभास है क्योंकि स्वयं अभिव्यक्ति में बीस से कम शब्द होते हैं।
4. नाई का विरोधाभास: इसे इस प्रकार प्रस्तुत किया जाता है: “एक गाँव में, एक नाई है जो गाँव के सभी पुरुषों को शेव करता है जो खुद को शेव नहीं करते। क्या नाई खुद को शेव करता है?” पहली नज़र में, यह कथन कोई समस्या नहीं दिखता, लेकिन नाई के साथ क्या होता है? यह स्पष्ट है कि नाई एक पुरुष है (अन्यथा हम “नाई” के बारे में बात नहीं करेंगे) और यदि वह खुद को शेव कर सकता है, तो वह खुद को शेव नहीं कर सकता; दूसरी ओर, यदि वह खुद को शेव नहीं कर सकता है, तो वह खुद को शेव कर सकता है, और इस प्रकार फिर से एक चक्र में फंस जाता है।
5. खाली सेट के अस्तित्व का विरोधाभास: यह कथन पर आधारित है कि खाली सेट (या सेट जिसमें कोई तत्व नहीं होते) का अस्तित्व है, लेकिन इसके साथ ही इसके किसी भी तत्व का अस्तित्व नहीं होता (क्योंकि इसमें कोई नहीं होते)। इसलिए, हमारे पास एक वस्तु है जो मौजूद है और जिसे अस्तित्वहीन वस्तुओं से बनाया गया है।

गणितीय तर्क या प्रतीकात्मक तर्क

गणितीय तर्क, जिसे प्रतीकात्मक तर्क भी कहा जाता है, तर्क का एक शाखा है जो प्रतीकों और गणितीय प्रतीकों का उपयोग करके तर्क और अभिव्यक्तियों का प्रतिनिधित्व और विश्लेषण करता है। इस तर्क रूप का आधार यह विचार है कि विचार और तर्कशीलता ऐसी प्रक्रियाएँ हैं जिन्हें गणितीय रूप से मॉडल, विश्लेषण, और अध्ययन किया जा सकता है, और प्रतीक और गणितीय प्रतीक इन प्रक्रियाओं को सुसंगत और सटीक रूप से प्रस्तुत और प्रबंधित करने में सहायक होते हैं।

गणितीय तर्क का अध्ययन उस भाषा की समीक्षा के साथ शुरू होता है जिसका उपयोग उसके तत्वों का प्रतिनिधित्व करने के लिए किया जाएगा, इसलिए हम सबसे सामान्य प्रकारों के बीच अंतर करते हैं: प्रस्तावनात्मक तर्क और प्रथम और द्वितीय क्रम के पूर्वकथन तर्क। इनमें से प्रत्येक में, गणितीय तर्कशीलता की तकनीकों का विकास होता है जो असंख्य गणितीय परिणामों और प्रमेयों का सटीक प्रमाण प्रदान करने की अनुमति देते हैं।

प्रतीकात्मक तर्क का अध्ययन गणित के मूलभूत स्तंभों में से एक का हिस्सा है।

गणित के चार मूलभूत स्तंभ

गणितीय तर्क गणित के मूलभूत आधारों का एक महत्वपूर्ण हिस्सा है। इन आधारों में निम्नलिखित चार स्तंभ शामिल हैं:

1. प्रमाण का सिद्धांत: यह अध्ययन करता है कि गणितीय और वैज्ञानिक तर्क कैसे प्रस्तुत और मूल्यांकित किए जा सकते हैं। इस सिद्धांत का आधार यह है कि प्रमाण को कठोर, तर्कसंगत, और औपचारिक सिद्धांतों पर आधारित होना चाहिए। प्रमाण का सिद्धांत विभिन्न प्रकार के प्रमाणों पर शोध करता है, जैसे कि प्रेरण प्रमाण और निगमन प्रमाण, और कैसे इन प्रकार के प्रमाणों का उपयोग गणितीय और वैज्ञानिक समस्याओं को हल करने के लिए किया जा सकता है। यह वही है जो हम गणितीय तर्क का अध्ययन करते समय करते हैं।
2. समूह सिद्धांत: यह गणित का एक शाखा है जो समूहों का अध्ययन करता है, जो तत्वों या वस्तुओं के संग्रह होते हैं। इस सिद्धांत में समूहों को परिभाषित और वर्गीकृत करने और उन पर संचालन करने के तरीके पर शोध शामिल होता है। समूह सिद्धांत आधुनिक गणित का एक मूलभूत हिस्सा है और इसे गणित के कई मौलिक अवधारणाओं और सिद्धांतों को विकसित और लागू करने के लिए उपयोग किया गया है।
3. गणना सिद्धांत: इसके मौलिक भाग शामिल हैं:
   1. जटिलता सिद्धांत: यह कंप्यूटर विज्ञान का एक शाखा है जो समस्याओं और एल्गोरिदम की जटिलता का अध्ययन करता है। इस सिद्धांत में विभिन्न समस्याओं और एल्गोरिदम की जटिलता को मापने और तुलना करने के तरीके पर शोध शामिल होता है, और इन समस्याओं को हल करने के लिए अधिक कुशल एल्गोरिदम को कैसे विकसित और उपयोग किया जा सकता है।
   2. गणनायोग्यता सिद्धांत: यह कंप्यूटर विज्ञान का वह भाग है जो अध्ययन करता है कि कौनसी समस्याएँ और कार्य कंप्यूटर द्वारा हल की जा सकती हैं और कौनसी नहीं। इस सिद्धांत में गणनायोग्य समस्याओं और कार्यों को परिभाषित और वर्गीकृत करने के तरीके पर शोध शामिल होता है, और कैसे उन्हें विकसित और उपयोग किया जा सकता है।
4. मॉडल सिद्धांत: तर्क और गणित में, यह औपचारिक सिद्धांतों (औपचारिक भाषा में लिखे गए कथन, जो किसी गणितीय संरचना के बारे में दावे स्थापित करने के लिए उपयोग किए जाते हैं) और उनके मॉडलों (जो उन संरचनाओं के तहत रहते हैं) के बीच संबंधों का अध्ययन करता है। ये गणितीय संरचनाएँ समूह, क्षेत्रों, ग्राफ आदि हो सकते हैं। मॉडल सिद्धांत औपचारिक रूप से शुद्ध अभिव्यक्तियों के लिए एक अर्थव्यवस्था की व्याख्या की अनुमति देता है और इसके अलावा, पूर्णता, संगति, और कथनों के बीच स्वतंत्रता की समस्याओं का अध्ययन करने की अनुमति देता है।

इन स्तंभों में से प्रत्येक का गहराई से अध्ययन करना बहुत कठिन है बिना अन्य स्तंभों के कुछ पहलुओं को छूए। इन स्तंभों का अध्ययन आमतौर पर एक-दूसरे से जुड़े हुए होते हैं। जब हम स्वयं से पूछते हैं कि गणितीय तर्क क्या है, तो आमतौर पर हम इस प्रश्न का उत्तर एक अध्ययन के संयोजन के साथ देते हैं जो इन चार स्तंभों के बीच चलता है।