हमने पहले ही तर्क की संरचना और सरल उदाहरण देखे हैं। अब हम इन ज्ञानों का परीक्षण 4 प्रस्तावनात्मक तर्क की निष्कर्षण तकनीकों के माध्यम से करेंगे। इसके माध्यम से, हम न केवल देखेंगे कि ये चीजें कैसे काम करती हैं, बल्कि हम कुछ प्रक्रियाओं की समृद्धि को भी देखना शुरू करेंगे जो प्रस्तावनात्मक गणना को उसकी प्रारंभिक अवस्था से बाहर ले जाएगी।

यदि \alpha, \beta और \gamma प्रस्तावनात्मक गणना के अभिव्यक्तियां हैं, तो निम्नलिखित निष्कर्षण तकनीकों को मूलभूत रूप से निकाला जा सकता है:

प्रिजम्प्शन नियम (Pre)

सबसे सरल निष्कर्षण नियम प्रिजम्प्शन का है। यह सीधे निष्कर्षण प्रमेय के प्रतिलोम को लागू करके प्रमेय \vdash(\alpha\rightarrow\alpha) पर प्राप्त होता है। यदि यह आपको कठिन भाषा लगती है, तो आपको जो कुछ भी जानना है वह यहां है।

\{\alpha\}\vdash \alpha

मोनोटोनिकिटी नियम के साथ मिलकर, यह आपको अपने निष्कर्षणों में सुविधाजनक अभिव्यक्तियों को जोड़ने की अनुमति देगा।

हाइपोथेटिकल साइलोजिज्म (SH)

हाइपोथेटिकल साइलोजिज्म, या निहितार्थ की संचरणता, मोडस पोन्स का एक प्रकार का विकास है। इसका सूत्रीकरण इस प्रकार है:

\{(\alpha\rightarrow\beta), (\beta\rightarrow\gamma)\}\vdash (\alpha\rightarrow\gamma)

इस निष्कर्षण नियम को प्राप्त करने के कई तरीके हैं, हम जल्द ही उनमें से कुछ को देखेंगे।

यदि हम अभिव्यक्तियों से तर्क करना शुरू करते हैं, तो निम्नलिखित तर्क का निर्माण करना आसान होगा:

इसलिए \{\alpha,(\alpha\rightarrow\beta),(\beta\rightarrow\gamma)\}\vdash\gamma

अंत में, इस अंतिम अभिव्यक्ति पर निष्कर्षण प्रमेय को लागू करके, हमारे पास है:

\{(\alpha\rightarrow\beta),(\beta\rightarrow\gamma)\}\vdash(\alpha\rightarrow \gamma)

इस नियम की प्रदर्शनी प्राप्त करने का एक और तरीका निष्कर्षणों से तर्क करना है, प्रिजम्प्शन और मोनोटोनिकिटी के माध्यम से निर्माण करना। निम्नलिखित निष्कर्षण से तर्क को देखें:

यहां ध्यान दें कि दोनों प्रदर्शनी समान हैं, केवल विभिन्न शैलियों में विकसित की गई हैं। व्यावहारिक रूप में, आप जो भी अधिक आरामदायक हो, उसके अनुसार दोनों शैलियों के बीच बारी-बारी से उपयोग कर सकते हैं।

डबल निगेशन समतुल्यता (DN)

डबल निगेशन समतुल्यता एक सरल अवधारणा की पुनरावृत्ति करती है कि किसी कथन का डबल निगेशन उसी कथन के समतुल्य होता है। यह सांकेतिक रूप में इस प्रकार लिखा जाता है:

\alpha\dashv\vdash\neg\neg\alpha

अब एक प्रदर्शनी देखते हैं:

इसलिए\{\neg\neg \alpha \} \vdash \alpha

दूसरी दिशा में प्रदर्शनी करने के लिए, हम इस एक का उपयोग कर सकते हैं जिसे हमने अभी किया है, और सरल प्रतिस्थापन के माध्यम से पुनः अनुकूलित कर सकते हैं, जिससे हमें निम्नलिखित परिणाम मिलता है:

\{\neg\neg \neg \alpha \} \vdash \neg \alpha

और इस बिंदु से हम विपरीत दिशा में प्रदर्शनी का निर्माण करते हैं:

इसलिए \{\alpha \} \vdash \neg\neg \alpha

अंत में, इन दोनों प्रदर्शनों से, हम पाते हैं कि \alpha \dashv\vdash \neg\neg \alpha ।

निष्कर्षण के प्रतिलोम की समतुल्यता (CpI)

यह संबंधित है निम्नलिखित समतुल्यता के साथ

(\alpha \rightarrow \beta) \dashv\vdash (\neg\beta \rightarrow \neg\alpha)

(\neg\alpha\rightarrow\beta)\dashv\vdash (\neg\beta\rightarrow\alpha)

(\alpha\rightarrow\neg\beta) \dashv\vdash (\beta\rightarrow\neg\alpha)

पहले संबंध की प्रदर्शनी इस प्रकार की जाती है:

एक दिशा से, इसे सीधे तीसरे स्वयंसिद्ध से प्राप्त किया जा सकता है

इसलिए \{(\neg\beta\rightarrow \neg\alpha)\}\vdash (\alpha \rightarrow \beta)

और दूसरी दिशा में, प्रदर्शनी निम्नलिखित तर्क से प्राप्त की जा सकती है:

इसलिए \{(\alpha \rightarrow \beta)\}\vdash (\neg \beta \rightarrow \neg \alpha )

इसलिए, पिछले दो तर्कों से, हमारे पास है:

(\alpha \rightarrow \beta) \dashv\vdash (\neg \beta \rightarrow \neg \alpha )

दूसरे समतुल्यता को प्रमाणित करने के लिए, हम निम्नलिखित दो तर्क कर सकते हैं:

इसलिए \{(\neg\alpha \rightarrow \beta)\} \vdash(\neg\beta\rightarrow \alpha)

अब हमें विपरीत दिशा में प्रदर्शनी करनी होगी। हम इसे निम्नलिखित तर्क के माध्यम से कर सकते हैं:

इसलिए \{(\neg\beta\rightarrow\alpha)\}\vdash (\neg\alpha \rightarrow \beta)

अंत में, इन दो तर्कों से, यह निष्कर्ष निकाला जाता है कि (\neg \beta\rightarrow\alpha) \dashv \vdash (\neg\alpha \rightarrow \beta) ।

अंतिम समतुल्यता को अभ्यास के रूप में छोड़ दिया जाएगा। इसे प्रमाणित करने के लिए, आप दिए गए दो प्रदर्शनों का उपयोग कर सकते हैं। यह निष्कर्षण तकनीकों को महारत हासिल करने का सबसे अच्छा तरीका है।