परिचय

कलन के सबसे विशिष्ट तत्वों में से एक अनंत और अनंत सीमा है। अनंत किसी विशेष वास्तविक संख्या को नहीं दर्शाता है, बल्कि यह एक ऐसी परिमाण का वर्णन करने का प्रयास करता है जो किसी भी वास्तविक सीमा से परे है। उदाहरण के लिए, जब हमारे पास f(x) = 1/x फ़ंक्शन है और हम पूछते हैं कि जब x जितना संभव हो उतना बड़ा हो जाता है, तब x अनंत की ओर बढ़ता है (x\to \infty), तो हम देखते हैं कि f(x) शून्य की ओर अनंत रूप से पास हो सकता है। इसके लिए हम लिखते हैं:

\displaystyle \lim_{x\to + \infty}\dfrac{1}{x} = 0

ग्राफ़िक रूप से, यह इस प्रकार दिखाई देता है:

अनंत सीमा की परिभाषा

अभी-अभी प्रस्तुत किए गए इस विचार के आधार पर, हम अनंत सीमा की गणितीय परिभाषा तैयार कर सकते हैं:

\displaystyle \lim_{x\to +\infty}f(x) = L := (\forall\epsilon\gt 0) (\exists M\in\mathbb{R})(M\lt x \rightarrow |f(x) - L|\lt \epsilon )

\displaystyle \lim_{x\to -\infty}f(x) = L := (\forall\epsilon\gt 0) (\exists N\in\mathbb{R})(x\lt N \rightarrow |f(x) - L|\lt \epsilon )

इस सीमा की सहज धारणा हमें बताती है कि जब x मूल से जितना चाहें उतना दूर हो जाता है, चाहे वह दाएँ या बाएँ हो, तब f(x) का क्या होता है। अनंत सीमाओं की गणना के लिए रणनीति बहुत अधिक भिन्न नहीं है जितनी कि हम सीमित सीमाओं की गणना के लिए उपयोग करते हैं, क्योंकि इसका बीजगणित व्यावहारिक रूप से समान है, हमें केवल निम्नलिखित परिणामों पर ध्यान देना होगा:

अनंत सीमाओं के मूलभूत गुण

इन परिभाषाओं के आधार पर, हम निम्नलिखित सीमाओं को प्रमाणित कर सकते हैं।

1. \displaystyle \lim_{x\to \pm\infty}k = k
2. \displaystyle \lim_{x\to \pm\infty}\dfrac{1}{x} = 0

सिद्धांत:

1. अनंत सीमा की परिभाषा के अनुसार, हमें \displaystyle \lim_{x\to +\infty}k = k प्राप्त होता है, जो कि यह कहने के समान है: (\forall\epsilon\gt 0) (\exists M\in\mathbb{R})\left(M\lt x \rightarrow \left|k-k\right|\lt \epsilon \right)। लेकिन \left|k-k\right|=0\lt \epsilon किसी भी \epsilon \gt 0 के लिए हमेशा सत्य है, और M का मान कुछ भी हो सकता है, इसलिए सीमा सुनिश्चित हो जाती है।

    

2. हम जानते हैं कि, परिभाषा के अनुसार \displaystyle \lim_{x\to +\infty}k = k का मतलब है: (\forall\epsilon\gt 0) (\exists M\in\mathbb{R})\left(M\lt x \rightarrow \left|\dfrac{1}{x}\right|\lt \epsilon \right)। लेकिन यदि हम M=1/\epsilon लेते हैं, तो यह शर्त तुरंत संतुष्ट हो जाती है, जिससे सीमा सुनिश्चित हो जाती है।

    

इन प्रमाणों को x\to+\infty के लिए भी समान रूप से किया जा सकता है।

अनंत सीमाओं का बीजगणित

अनंत सीमाओं का बीजगणित सीमित सीमाओं के बीजगणित के समान है। यदि \displaystyle \lim_{x\to \pm \infty}f(x) = L और \displaystyle \lim_{x\to \pm \infty}g(x) = M है, तो निम्नलिखित नियम लागू होते हैं:

1. सीमाओं का जोड़ और घटाव: \displaystyle \lim_{x\to \pm\infty}(f(x)\pm g(x)) = L \pm M
2. सांख्यिक गुणा: \displaystyle \lim_{x\to \pm\infty}cf(x) = cL
3. सीमाओं का गुणन: \displaystyle \lim_{x\to \pm\infty}f(x)g(x) = LM
4. सीमाओं का भाग: जब M\neq 0 हो, तब \displaystyle \lim_{x\to \pm\infty}f(x)/g(x)=L/M
5. सीमाओं की घात: यदि p,q \in\mathbb{Z} और q\neq 0 हो, तो \displaystyle \lim_{x\to \pm\infty}[f(x)]^{p/q} = L^{p/q}। यदि q सम है, तो यह मान लिया जाता है कि L\geq 0 है।

वास्तव में, इन सभी गुणों के प्रमाण सीमित सीमाओं के प्रमाण के समान हैं।

तर्कशील कार्यों में अनंत सीमा

एक तर्कशील कार्य वह है जिसे दो बहुपदों के अनुपात के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। जब इस प्रकार के कार्य पर अनंत सीमाओं की गणना की जाती है, तो एक अत्यंत उपयोगी संपत्ति देखी जा सकती है:

मान लीजिए कि हमें \displaystyle \lim_{x\to \infty}P(x)/Q(x) की गणना करनी है:

• यदि P(x) की डिग्री Q(x) की डिग्री से अधिक है, तो जब x\to\infty, तब f(x) की परिमाण अनंत हो जाएगी (सीमा मौजूद नहीं होगी)।
• जब P(x) की डिग्री Q(x) की डिग्री से कम हो, तो सीमा शून्य होगी।
• और अंत में, यदि P(x) की डिग्री Q(x) की डिग्री के बराबर हो, तो सीमा उन शीर्ष डिग्री गुणांकों के अनुपात के बराबर होगी।

इस परिणाम की सबसे अच्छी बात यह है कि, जैसा कि हम आने वाले उदाहरणों में देखेंगे, यह तब भी काम करता है जब शामिल घातांक पूर्णांक न हों।

अनंत सीमाओं के उदाहरण

1. \displaystyle \lim_{x\to +\infty}\dfrac{x+1}{x^2+3} [समाधान]
2. \displaystyle \lim_{x\to -\infty}\dfrac{2x^3 + 7}{x^3 - x^2 + x + 7} [समाधान]
3. \displaystyle \lim_{x\to +\infty}\dfrac{9x^4 + x}{2x^4 + 5x^2 - x + 6} [समाधान]
4. \displaystyle \lim_{x\to +\infty}\dfrac{10x^5 + x4 + 31}{x^4 - 7x^3 + 7x^2 + 9} [समाधान]
5. \displaystyle \lim_{x\to +\infty}\dfrac{2\sqrt{x}+x^{-1}}{3x - 7} [समाधान]
6. \displaystyle \lim_{x\to -\infty}\dfrac{2x^{5/3} - x^{1/3} + 7}{x^{8/5}+3x + \sqrt{x}} [समाधान]
7. \displaystyle \lim_{x\to +\infty}\dfrac{\sqrt[3]{x}-5x+3}{2x + x^{2/3} - 4} [समाधान]
8. \displaystyle \lim_{x\to +\infty}\dfrac{x^{8/3}+2x + \sqrt{x}}{x^2+x-3} [समाधान]